線性代數(shù)期末考試試題卷答案合集

XXX大學(xué)線性代數(shù)期末考試題

一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分）

131-

1.若q=z=

05x,貝\o_

122

[九++=

x.,xx0.

《H■兒2+3=%

2.若齊次線性方程組lxXx0只有零解，則應(yīng)滿足。

[1+廿3=

xxx0

123

=x=

3.己知矩陣A,B,C（cQ”.就ACCB.財A分腮階矩陣。

4.矩陣Aaa的彳相要組繪性。

aa—

312

2AE

5.n階方陣A滿足30

A,則

二、判斷正誤（正確的他括號內(nèi)填“，錯誤的在括號內(nèi)填“義”。每小題2分，共10.分）

1??;行列式D中何個元看都人展仔DOo0

2.冬向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（）

3.向量組IK,a」,a*布，如果為與am對應(yīng)的分量成比例，則向量組小，a2,a,線性相關(guān)。

()

yoo

1000o0

4X1

A.則AA~A

0001

0010

I1=II11=

為可逆矩陣A為特很值，則

-A的特征值祝()

三、單項(xiàng)選擇題（每小題僅有一個正確答案，將正確答案題號填入括號內(nèi)。每小題2分，共10分）

aa?*,a4f

1.MA為n階"A2.則AAc、

①ana

①2②a2nl?2"'@4

2.n維向量組2（3sn）線性無關(guān)的充要條件是（）。

aaa，，

s

aa…a

①”2,,,中任意兩個向量都線性無關(guān)

②”2,,,中存在一個向量不能用其余向量線性表示

③中任一個向量都不能用其余向量線性表示

④I,q,,a中不含零向量

2,下列命題中正確的是()。

①任迄nnlamftfsttfri>；

②住,n小nl解iR瀏東主

?a?nl<i、n*"sfessfttn*

④叱nl”細(xì)句量線性無關(guān)

3.設(shè)A,B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是()。

①若A,B均可逆.期AB可逆②?；A.B均可逆.%AB可逆

③若AB可逆,％AB可逆④若AB可逆.則A,B均可逆十

4.若“，，v2患繾性方程組A0的基礎(chǔ)解歡,』IJ123,是A0的()v+v+v+vX

①解向量②基礎(chǔ)解系③通解④A的行向量

四、計算題(每小題9分,共63分)

xjitcd

axbcd+

6.計算行列式

abxcd+

abcxd+

解?

xaocdxabcdbcd+

axbcdxaocdxbcd+++++

abxcdxabcdbxcd+++

十

abcxdxabcdbcxd+++++

Ibcdlbcd

IxbcddxOO

++++++++3

(xabcd)(xabcd)vxabcd)x

IbxcdOOxO

lbcxdOOOx

=+301

7.iiABA2B,nA,求B

o\10,

014「一

211522

(1|~

解.(A2E)BA<A2E)221,

111223

fl1003134

o11O

BA0213

wOI1

o-C巨鉆陣滿足關(guān)系式X(CB)T,求產(chǎn)

0021

30010002I7

-L

2

a1a

5.問a取何值時，下列向量組線性相關(guān)？°a

2

-4-17

123

22

1

la

2

+Z2

?xx:x3

123

6.為何值時，線性方程組Xx:x2有唯一解,無解和有無窮多解？當(dāng)方程組有無

123窮多

Xx:x2

123

解時求其通解。

[-1「-1「-

①當(dāng)工心時,方程姐在哦一解;

X+

②當(dāng)2時方程娟無解

211

③當(dāng)1時,行無窮多細(xì)解,通例為0ale0

2

a

7.設(shè)，，

1求此向量鸚J秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向

1137

0317

量用該極大無關(guān)組線也表示。

100T_

A.求A的特證位及對應(yīng)的待證向咕.

0107.設(shè)

021

五、證明題（7分）

?Aan階方陣，且AAI,AL證明AIO.其中I為地位矩陣.

XXX大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案

一、填空題

8.52.13.ss,nn4.相關(guān)加8XX

8.A3E-

二、判斷正誤

3.X2.J3.J4.J5.X

三、單項(xiàng)選擇題

1.③2.③3.③4.②5.①

四、計算題

1.

xafrcdxabcdbccl++++

axbcdxatfcdxbcd++++

abxcdxabcdbxcd+++++

abcxdxabcdbcxd++++

Ibcdlbcd

IxbcddxOO

++++++=++++3

(xabcd)(xabcd)(xabcd)x

IbxcdOOxO

IbcxdOOOx

2.r

211522

-1=

(A2E)BA(B(A2E)432

A2E)221,rr

111223

3.rr

12341000

01232100

CB(CB

)

00123210

1

10001000

)7=

21002100

CBXECB

12101210

01210121

9.

111

aa或al時,向量組a”a2,a：,線性相

222

=-+11+

2

演，a,aa(2al：(2a2)當(dāng)

23--

228

11

a

22

關(guān)。

10.

①當(dāng)1且2時,方程處有時?解;

②當(dāng)句氈理出無解

X=

③當(dāng)1時，有無窮多fn解,通解為

r0卬r

11.

1213T2131713

IDJLo一4-2Lo1一4一2」

(a「3.2933,3-i)

113703410001616

03170317001313

1002

bl02

oqii

)=++

oooo

則3

鼠飛,

rai,a,其中a>a2,+構(gòu)成極大無關(guān)組，&2al2a2為

234

,-I=X—=X-=

12.

100

3rn

EA010￡l)Q八

XX+

021I」

oooio

量為k010

RW低岫+T+1沁

K+k02001

五、證明題

AIAAAA1AIA1A

.'.2IA0,VIAO

一、選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求)

1、設(shè)A,B為n階方陣，滿足等式ABO,貝U必有=()

(A)AO或BO;(BMBO；(CHAO或BO;(D)ABO。||=|=|+|=

2、A和B均為n階矩陣，且3加2：鼠貝幽有(t

(A)AE；⑻BE；(C)AB.(DMBBA?==

3、設(shè)A為mn矩陣，齊次方程組AxO僅有零解的充要條件是()

(A)A的列向量線性無關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；

(C)A的行向量線性無關(guān)；(D)A的行向量線性相關(guān).

4、n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是()

(A)A的秩小于n；(B)AO；|#

(OA的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；

二、填空題(本題共4小題，每題4分，滿分16分)

5、若4階矩陣A的行列式A5,，界明伴隨痔陣，則A=。|[

6、A為nn階矩陣，且A%2E0,Wjl(AJE),,,=f_=

A21yX］、A

7、已知方程組23a2不3尢解，“°=

la24

-Ek/

。、一久土f(x,x,x)2x@xtx2忐2xx是正定的，則七的取值范圍

(231231213

是。----------------------

三、計算題(本題共2小題，每題8分，滿分16分)

1XH1

11x11一

9、計算行列式D=+

lllyl

lllly

10、計算n階行列式

x3xkIII

12n

xx3xIII

DJ2n

n

+3

XXX川

12n

四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過程）

aaaaaa

11、若向量組

I,2,3線性相關(guān)，向量組2,3…線性無關(guān)。證明：

aaa

⑴I能有2,3線性表出；

aaaa

（2）4不能由I,2,3線性表出。

=+一

12、設(shè)A是n階矩方陣，E是n階單位矩陣，AE可逆，且i

f(A)(EA)(EA)o

證明++=

(D(Ef(A))(EA)2E；

(2)f(f(A))A?

五、解答題題共3＜］調(diào)，每小題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟）

200

「個正交&陣P使得

13、設(shè)A,月

PAP為對角矩陣。

032

023

TT=

++=++

*x+x-0

1123-

14、已知方程組x2xax0與方程組21

求a的值。nnn

15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知

是它的三個解向量,

且

，21、

ni,=—n

也

求該方程組的通解。

解答和評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題

1、C；2、D；3、A；4、Ao

二、填空題

3

5、一125;6、；7、-1；8、

1t?~

2

5

三、計算題

9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得:

xxOO

=llxlT

D

OOyy

lllly

xOOO

第二列減第一列，第四列減第三列得：D=1X10

（4分）

OOyO

101y

按第一行展開得

*xlO

DxOyO

Oly一

按第三列展開得

一一xO一

一一一220（4分）

Dxyxy

ly

溫+]

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子、=x3/再通過行列式的變換化

i

il

為上三角形行列式

1XXIII

2n

（4分）

n

nix(4分)33

iil

四、證明題

aaaaa

11、證明：

aa

、線性無關(guān)。，

又“，線性相關(guān)，故?能由2,線性表出。色相°

aaaa

,)3,

123

a=a+a+a

?能由，，落不，則

aaa

不妨設(shè)4kkko

112233

a=a+a

由（1）知，

a=他自曲z,礴i*表由，+a

不妨設(shè)a

所以4k（tt）kk,

112232233

這表明。啰生相賣，矛盾。+-+一+

=++—+-+=++

12、證明

(Ef(A7)(EA)[E(EA)(EA)](EA)

1

(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)2E(4分)

(2)f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]'

由醺A2微入任武霖）

T=-2T

JU

f(f(A))[E(EA)(EA)](EA)(EA)(EM(EA)(EA)_

=2+=

11

=4EA)4EA)kU分;122=

五、解答題

13、解：

(D由EAO得A的特征值為11,22.5。(4分)

X—|=X=X=X

0

(2)(1

勾1=的特征向量為1,t=-

1

X=X=1

22的特征向量為20

Mn

k=t=1°

。(3分)35的特征向量為3“

(3)因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則

(2分)，、(1

1,2,3正交。

Fmu=7

1111'

(4)將i￥i/?/1/爾1

\?2,力單位化得Pl1>p20,31

22

P(2分)

101

=()='TT

TT

(5)取D八11

PP'P由23(\

-22=

11

0k

22

100

(6)1

PAP(1分）

020

005

14、解：該非齊次線性方程組Axb對應(yīng)的齊次方程組為

AxO

因R(A)3,則齊次線性方程組的基石I;解系有1個非零解構(gòu)成，即任何一個非零解都是它的

基礎(chǔ)解系。(5分)

另一方面，記向量2()t=n_n+n

，則

23

n.

AA(2123)2A1A2A32bbb0

t=w匕

宜做陶友魏酬游系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

知，原方程組的通解為/X/X

1=32+

=巴+，€

43

xklk,kR

0(7%儲1；

65

小解丁將亦與②聯(lián)更得非齊次線制

￡方程組：

++=

<xxx0,

42+3=

x2xax0,

1+2+3=-

2

x4x.x0,

12d3

x2xxal.

12-

3

若此非齊次線性方程組有解,則①〒②有公共解,且③耳解陟為所求全部公共解.

對③的增廣矩陣A作初等行交:燒得：一一

T

11101110-J1-一

12a001a10

A—9

==*攵a000(a2)(a1)0

121al001aal

3與②有公共R,其全部公共解即

1°當(dāng)al時，有r(A)r(A)23,方程組③有解，即

為③的通解，此時T

J010,

0100

A,/X

0000

0000

1>

1

則方程組③為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為:，

0

1

所以①與②的全部公共解為kO,k（4分）

2°當(dāng)a2國，有「6）「6）3,=方程組亳）有唯一解,此時

‘1000’

0101

A,T

0011-

^0000,

’00、

故方程組③的解為:，即①與⑷有唯?公共解x.（4分）

11

1力

線性代數(shù)習(xí)題和答案

第一部分選擇題（共28分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符

合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。

13.設(shè)行列aill2二m,1311=n,則仃列式111213等于()

+

式OOaaaaa

21222321212223

A.m+nB.-(m+n)

C.n-mD.m-iy

100

14.設(shè)矩陣A二平0,則A

等于（）

(0心

1

l00

co

B.ls

00O

-

-

1

2

7

00D.V001

OO

4030

00200

312

15.設(shè)矩陣A=101,A.A的伴隨矩陣，則A.位于（L2）的元素是（）

214

A.-6B.6豐

C.2Dy2*

16.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有（）

A.A=0B.BC時A=0

。人0時8=?口.A0時B=C

17.已知3M矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩(A)等于()

A.1B.2

C.3D.4

18.設(shè)兩個向量組a1,a2,as和Bl,B2,…，Bs均線性相關(guān)，則()

A.有不全。我數(shù)X1,入2,As使Ala1+X2a2+-+入sas=0和Alp1+X202+-入sBs=0

B.有不全0曲數(shù)入i,X,,3使入?(a1+BJ+X2(a2+02)+-?■+Xs(as+gs)=0

C.有不全偽的數(shù)Ai,A2,入w使入?(a「Bi)+X,(a2-g2)+-■■+Xs(as-3s)=0

D.有不全優(yōu)的數(shù)Ai,X2,3和不全優(yōu)的數(shù)U”U2,U*使Ma計入2az+T入,a*=0

和UiPi+P2P2+-+ps0a=0

19.設(shè)矩陣A的秩內(nèi)則A中()

A.所有r-1階子式都不的.所有r-1階子式全為

C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不的

20.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，n?n：是其任意2個解，則下列結(jié)論鐲銀0

A.n1+n2是Ax=o的一個解B.-ni+ln2是Ax=b的一個解

22

C.n「n2是Ax=o的一個解D.2n「n2是Ax=b的一個解

21.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有()

A.秩(A)〈nB.秩(A)=n-1

C.A=0D.方程組Ax=0只有零解

22.設(shè)A是一個n(23)階方陣，下列陳述中正確的是()

A.如存在數(shù)X和向量a使Aa=入a,則a是A的屬于特征值人的特征向量

B.如存在數(shù)X和非零向量a,使(入E-A)a=0,則入是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如人”入2,入-是A的3個互不相同的特征值，a”a2I依次是A的屬于人”X2,入、的特征

向量，則aa2,a,有可能線性相關(guān)

11設(shè)80是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于X0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)的則必有()

A.kW3B.k<3

C.k=3D.k>3

9.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論鍍候0

A.|A|

-必甥.IA|必為

-11

C.A=AD.A的行(列)向量組是正交單位向量

組

T

10.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CAC.則()

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A那B0同

11.卜k矩4中是正定矩陣的為)

A.冷

34

100H1

C.D.

023120

035102

第二部分非選擇題部分）

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空

格內(nèi)。錯填或不填均無分。

123

"24.則A+2B=.

25.設(shè)A二(由。3乂3,|A二2,A”表示A中元素電的代數(shù)余子式(i,j=l,2,3)，則

222________

(anApi+ai2A22+ai3A23)+(amAzi+a22A”+a23A*)+(a3iA2i+a32A&+a33A”)=.

26.設(shè)向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關(guān)，則a=.

27.設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若n1,n2為非齊次線性方程組人乂丸的2個不同的解，則它的通解

為:

28.設(shè)A是mXn矩陣，A的秩為r(〈n),則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)

為^

29.設(shè)向量a、B的長度依次為2和3,則向量a+B與a-B的內(nèi)積(a+B,a-B)=.'

30.設(shè)3階矩陣’的行列式|)|=8,已知A聲、個特征值T和4,則另一特征值為.

01062__

31.設(shè)矩陣A=,g乳a=是可的一個特征前嘮則a所對應(yīng)的特征值為.

21082_______

32.設(shè)實(shí)二次型￡小1小2,乂314e5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為.

三、計算單(本大題卜7小部每小蚪6分，共42分)

12°G3\T

33.設(shè)A=%40-.B=.求(1)AB.(2)

2407

121_|4A|.

■3112-

34.試計算行列式5134

2011

(1533、

423

35.設(shè)矩陣A=,《矩陣B施其滿足矩陣方程AB=A+2B.

.3419

試判斷a逃3療a；a2,a2的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。

12102

p'幾什?汗a24266,

37.設(shè)矩陣A=、).

21023

33334

求⑴秩(A)；

(2)A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。

022-

-'AT=D.

38.設(shè)矩陣A=-234-

的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T

、243一，

39.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

2筮一+--

f(XI;X2,X3)=X1XXXXXXXX

23444,

23121323

并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)

J-1Z

40.設(shè)方陣A滿足A=0,試證明E-A可逆，且(E-A)=E+A+A.

41.設(shè)n0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，€1,W2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.試證明

(1)n1=n0+€Ln2=n(Hg2均是Ax=b的解；

(2)no,n1,n2線性無關(guān)。

答案：

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共14小題，每小題2分，共28分)

12.D2.B3.B4.D5.C

4.D7.C8.A9.A10.B

2.A12.B13.D14fC)

二、填空題(L大題共空，每空2分，共20分)

4.616.*17.418.-1019.ni+c(斗廠站)(或n2+c(n2-n)),c為任意常數(shù)

137

2222

2O.n-r21.-522.平3.124.z懷z_1,X

234

三、計算題(本如共7小趾每小力(分，

為42分)

1202286

￡

25.解(1)AB-.

340341810

_12110310

(2)|4A|=4__

：，TA|=6^1A1;而

1--:-<-=+=

120_=

|A|：

-3402.0.14AT=64-(-2)=L128

121

X-/\

3112(5111——

、-511511”

26解.51341F131=--62