2021-2022學(xué)年高中新教材數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)學(xué)案:第5章 54 第2課時(shí) 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用含解析_第1頁
2021-2022學(xué)年高中新教材數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)學(xué)案:第5章 54 第2課時(shí) 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用含解析_第2頁
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文檔簡(jiǎn)介

第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

u爭(zhēng)分奪秒一刻件.狠抓廢肥零失誤1/

必備知識(shí)-基礎(chǔ)練

基礎(chǔ)分組正通關(guān)

?題組一利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值或范圍

I.已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},則a+b等于()

A.-1B.1C.0D.2

選A.因?yàn)橐粋€(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義

域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以a與b有一個(gè)等于1,一個(gè)等于-2,

所以a+b=1+(-2)=-1.

2.函數(shù)f(x)在x£(-oo,+8)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(l)=-

1,則滿足-tf(x-2)<1的x的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.[0,4]D.[1,3]

選D.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),f(l)=-1,

所以f(-1)二L

因?yàn)?l<f(x-2)<1,

所以f(l)<f(x-2)<f(-1).

又因?yàn)閒(x)在xe(-oo7+8)上單調(diào)遞減,

所以-l<x-2<1z

所以l<x<3.

3.設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在x£[0,1)上單調(diào)遞增,且有

f(l?m)+&2m)<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A-(24)B.(0,0

eg,+oo)D.(-8,J

選A.由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),

(-1<1-m<13

則有1J1Q…解得0<m<4?

-1<--2m<14

2

又f(l-m)+Q-2m,<0,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

所以f(l-m)<-@-2m)=1+2m,.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),且在x£[0,1)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)在定義域(?1,1)上單調(diào)遞增,

則有1-m<-g+2mz解得m>|,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為匕,管.

?題組二函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用

1.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增且f(6)=9,則它在區(qū)間[-6,

-3]上()

A.最小值是9B.最小值是-9

C.最大值是-9D.最大值是9

選D.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增,

所以f(x)在區(qū)間[-6,-3]上單調(diào)遞減.

因此,f(x)在區(qū)間[-6,-3]上最大值為f(-6)=f(6)=9.

2.f(x)是定義在R上的增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是()

A.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)目是增函數(shù)

B.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)

C.f(x)-f(-X)是奇函數(shù)且是增函數(shù)

D.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)目是減函數(shù)

選C.A錯(cuò)誤,設(shè)f(x)=x,是增函數(shù),但f(x)+f(-x)=x-x=0是常

數(shù)函數(shù);同理B錯(cuò)誤;C正確,

設(shè)g(x)=f(x)-f(-X),則g(-X)=f(-X)-f(x)

=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),函數(shù)g(x)是奇函數(shù).

任取Xi,X26R,且X)<X2,

則?X1>-X2,g(Xi)=f(xi)-f(-X1),

g(X2)=f(X2)-f(-X2),

因?yàn)閒(x)是定義在R上的增函數(shù),

所以f(Xi)<f(X2),f(-Xi)>f(-X2),

BP-f(-Xi)<-f(-X2).

所以f(Xi)-f(-Xi)<f(X2)-f(-X2),

即g(x))<g(x2).

所以函數(shù)g(x)=f(x)?f(-x)是增函數(shù),D錯(cuò)誤.

3.已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,

0]上的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是

設(shè)h(x)=f(x)g(x),

補(bǔ)全f(x),g(x)的圖象(圖略),由圖象可知:

當(dāng)-4<xv-2時(shí),f(x)>0,g(x)<0,此時(shí)h(x)<0;

當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<0,g(x)>0,此時(shí)h(x)<0,

所以h(x)<0的解集為(-4,-2)U(0,2).

答案:(-4,-2)0(0,2)

?題組三函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用

1.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)遞減,若X|<0且xi

+x2>0,則()

A.f(-Xi)>f(-x2)

B.f(-Xi)=f(-x2)

C.f(-X|)<f(-X2)

D.f(-X])與f(-X2)的大小不確定

選A.因?yàn)閤i<0,Xi+X2>0,

所以X2>-Xi>0,

又f(x)在X£(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以所2)Vf(-Xi),

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),

所以f(-X2)=f(x2)<f(-Xi).

2.已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(l)=1,若a,b£[-

f(a)+f(b)

1,1],a+b#0時(shí),有------------->0成立.若fi(x)<m2-2am+1

a+b

對(duì)所有的ae[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

任取xi,x2^[-1,1],

且X]<X2,則-X2^[-1,1].

因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),

所以f(xi)-f(x2)=f(Xi)+f(-X2),

f(X1)+f(-X2)

由已知得>0,

X|-X2

又X]-X2<0,

所以f(xi)-f(x2)<0,

即f(X])<f(X2),

所以f(x)在上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(D=l,且f(x)在x£[-1,1]上單調(diào)遞增,

所以在x£[-1,1]上,f(x)d

f(x)<m2-2am+1等價(jià)于m2-2am+1>1,

即m2-2am>0,對(duì)a£[-1,1]成立.

設(shè)g(a)=-2m-a+m2,

①若m=0,則g(a)=020,對(duì)a£[-1,1]恒成立.

②若m#0,則g(a)為關(guān)于a的一次函數(shù),

若g(a)次對(duì)a£[-1,1]恒成立,

則必有g(shù)(-1)>0,且g(l)>0,

onI/+2m>0

HU,

m2-2m>0,

解得mW-2或m>2.

綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,-2]U{0}U[2,+8).

易錯(cuò)易混6場(chǎng)型

易錯(cuò)點(diǎn)一沒有搞清分段函數(shù)及奇偶性的概念致錯(cuò)

2

x+2x+3,x<0

1.關(guān)于函數(shù)f(x)=3/=0的性質(zhì)描述正確的是()

-X2+2x-35x>0

A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)是奇函數(shù),也是偶函數(shù)

D.f(x)不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

選D.當(dāng)x<0時(shí),

-x>0,

f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x),

當(dāng)x>0時(shí),-x<0,

f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x),

但是f(0)=3,

所以f(x)不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

x^(x>0)

2.已知函數(shù)f(x)=|一小,則不等式f(|2x-“)04的解是

-xz(x<0)

;不等式2f(x)>f(4-x2)的解是_______.

容易作出函數(shù)f(x)=x^;(x二>二0)、的圖象如圖,

<0)

顯然函數(shù)f(x)在XeR上單調(diào)遞增,

又4=22=f(2),

所以f(|2x-l|)<4=>f(|2x-l|)<f(2),

所以2x-152,-2<2x-1<2,

i3

所以.

x>0,2f(x)=2x2=(y[2x)2=f(嫄x);

x<0,2f(x)=-2x2=■(啦x)2=f(^2x).

所以x£R時(shí),2f(x)=f(啦x),

2f(x)>f(4-x2)=>f(V2x)>f(4-x2),

所以誨x>4-x2,x2+-\/2x-4>0,

(x+2yf2)(x■啦)>0,

所以止血或爛-2啦.

答案:|x-^<x<|>{x[x^V^或X0_2g}

【易錯(cuò)誤區(qū)】分段函數(shù)的奇偶性要分段討論,不能只驗(yàn)證一部分.

易錯(cuò)點(diǎn)二判斷含參函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略對(duì)參數(shù)的討論致錯(cuò)

(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,xeR,ae-11,則函數(shù)

f(x)的性質(zhì)為()

A.a=O時(shí),是偶函數(shù)

B.a^O時(shí),既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

C.f(x)的最小值為a2+1

D.f(x)的最小值為1

選ABC.因?yàn)閍=0時(shí),f(x)=x2+|x|+1是偶函數(shù),所以A正確;

因?yàn)?0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,

所以f(a)-f(-a)=-2|a|#0,

所以f(x)不是偶函數(shù),f(a)+f(-a)=2a2+2|a|+2*0,

所以f(x)不是奇函數(shù),所以B正確;

x2+x-a+lx>a.

因?yàn)閒(x)=?

x2-x+a+1.x<a.

in

ae2r2jr

所以f(x)在x>a時(shí)單調(diào)遞增,在x<a時(shí)單調(diào)遞減,

所以f(x)的最小值為f(a)=a2+1.

所以C正確,D錯(cuò)誤.

【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性都要分類討論,因?yàn)閰?shù)

會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì),所以不要忽略對(duì)參數(shù)的分類討論.

C3盹間小練半小時(shí),突破課堂空難點(diǎn)!/

關(guān)鍵能力-綜合綜

限時(shí)30分鐘分值60分戰(zhàn)報(bào)得分

一、選擇題(每小題5分,共30分)

1.若函數(shù)f(x)(f(x)#))為奇函數(shù),則必有()

A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0

C.f(x)<f(-x)D.f(x)>f(-x)

選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(f(x)的為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以

f(x)-f(-x)=-[f(x)]2<0.

2.若(p(x),g(x)都是奇函數(shù),f(x)=a(p(x)+bg(x)+3在x£(0,+

上有最大值10,則f(x)在x£(-8,0)上有()

A.最小值-4B.最大值-4

C.最小值-1D,最大值-3

選A.由已知對(duì)任意x£(0,+8),

f(x)=a(p(x)+bg(x)+3<10.

對(duì)任意x£(-8,0),貝-x£(0,+oo).

又因?yàn)?p(x),g(x)者B是奇函數(shù);

所以f(-x)=a(p(-x)+bg(-x)+3<10,

即-a(p(x)-bg(x)+3<10,

所以a(p(x)+bg(x)>-7,

所以f(x)=a(p(x)+bg(x)+3>-7+3=-4.

、—(l+x)2

3.設(shè)函數(shù)f(x)=:的最大值為M,最小值為m,則M+m

x2+1

=()

A.OB.1C.2D.3

(1+x)2?x?x

選C.因?yàn)閒(X)=2i=1+告,函數(shù)已是奇函數(shù),圖象

x2+1x2+1x2+1

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱,所以最大值與

最小值的和為2.

4.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x£[-1,0]時(shí),

f(x)=2?x,貝[Jf(2022.5)等于()

A.0.5B.2.5C.-0.5D.-2.5

選B.因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),

所以f(-X)=-f(x),

因?yàn)閒(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以f(2022.5)=f(4x505+2.5)=f(2.5)=-f(0.5)

=f(-0.5)=2+0.5=2.5.

5.(多選題)已知定義在區(qū)間[-7,7]上的一個(gè)偶函數(shù),它在[0,7]上

的圖象如圖,則下列說法正確的是()

A.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間

B.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間

C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7

D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7

選BC根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對(duì)稱性,作出其在[-7,7]

上的圖象,如圖所示,

由圖象可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)增區(qū)間,有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間,在其定

義域內(nèi)有最大值7,最小值不是-7.

6.(多選題)若函數(shù)f(x)對(duì)任意x£R者|5有f(x)+f(-x)=0成立,m£R,

則下列的點(diǎn)一定在函數(shù)y=f(x)圖象上的是()

A.(0,0)B.(-m,-f(m))

C.(m,-f(-m))D.(m,f(-m))

選ABC.因?yàn)槿我鈞£R滿足f(x)+f(-x)=0,

所以f(x)是奇函數(shù),

又x£R,所以令x=0,

則f(-0)=-f(0),得f(0)=0,

所以點(diǎn)(0,0),

點(diǎn)(-m,-f(m))與(m,-f(-m))也一定在y=f(x)的圖象上.

二、填空題(每小題5分,共2()分)

7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+4(a,b均不為零),且f(5)=10,則f(-

5)=.

令g(x)=ax3+bx(a,b均不為零),

易知g(x)為奇函數(shù),從而g(5)=-g(-5).

因?yàn)閒(x)=g(x)+4,

所以g(5)=f(5)-4=6,

所以f(-5)=g(-5)+4=-g(5)+4=-2.

答案:-2

8,下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為.(填序號(hào))

①f(x)=(x+l)居;

2

②/f(X)=f-{x2+…2x+l?xC>0;

2

[x+2x-l?x<0

A/4-x2

③f(x)="i-;

A

@f(x)=|x-l|-|x+l|.

展有意義,

①因?yàn)閒(x)=(x+l)

1-X

則----X)且1+X翔,

1+X

解得■1<X<1,

所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-1,1],不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

因此,函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).

②當(dāng)x>0時(shí))f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2x(-x)-

1

=x2-2x-1=-f(x);

當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=

-(-x)2+2x(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).

所以函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).

③由題意可得20/

所以-2<x<2且x和,

所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,0)U(0,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).

④對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,

都有f(-x)

=|-x-l|-|-x+l|

=|x+1|-|x-1|

=-f(x),

所以f(x)是奇函數(shù).

答案:②④

9.已知函數(shù)f(x)=12:陽"之;是奇函數(shù),且在+3上單調(diào)遞減,

則實(shí)數(shù)a=;實(shí)數(shù)m的取值范圍用區(qū)間表示為.

因?yàn)楹瘮?shù)貽尸【";。""2:是奇函數(shù),

-x^-x.x<0

所以f⑴+f(-l)=O,

即1-a+(-l)+1=0,解得a=l;

x2-x.x>0

C,

(-x£2-x.x<0

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間(0,)上單

調(diào)遞減,在區(qū)間G,+8)上單調(diào)遞增;

又因?yàn)閒(0)=0,所以由奇函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)f(x)在區(qū)間上單

調(diào)遞減;

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(m,m+3上單調(diào)遞減,

m+i

22

解得一<m<0.

2

答案:1[-p°

10.已知函數(shù)f(x)是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)

單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式f(x-l)>f(a)的解集為.

由題意可得a-1+2a=0,

所以a二!,

所以f(x-l)>f(a)等價(jià)于|x-1總,

24

所以X<j或X>j.

所以所求的解集為[8,|)U(!?+oo)

答案(。0,§嗯,+00)

三、解答題

(\x+l|,x<0,

II.(10分)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=+>>0

?3-2-10123x

-1

-2

-3

⑴在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(X)的圖象,并指出f(X)的單調(diào)區(qū)間

(不需證明);

⑵若方程f(x)+2a=0有兩個(gè)解,求出a的取值范圍;

⑶設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),g(x)=f(x),求

g(x)的解+析式.

⑴如圖.

單調(diào)增區(qū)間:[-1,0],U,+8),單調(diào)減區(qū)間(-8,-1],[0,1].

(2)在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出y=f(x),y=-2a的圖象,由圖可知f(x)

+2a=0有兩個(gè)解,貝[J-2a=0或-2a>1,

即a=0或a<-;.

(3)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,

所以g(-x)=(-x)2-(-2x)+1=x2+2x+1,

因?yàn)間(x)為奇函數(shù),

2

所以g(x)=-g(-x)=-x-2x-1z

且g(0)=0,

(x2+2x+l(x>0),

所以g(x)=0Q=0),

t-x2-2x-l(x<0).

自我挑戰(zhàn)區(qū)

設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且對(duì)任意a,b£[-1,1],當(dāng)a

f(a)+f(b)

+b和時(shí),都有------------->0.

a+b

⑴若a>b,試比較f(a)與f(b)的大小;

(2)解不等式《X-<f(x-?;

(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x?c?)這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是

空集,求c的取值范圍.

(1)任取-1<X1<X2<1,

f(X2)-f(Xi)f(X2)+f(-Xi)

貝(J----------------------=----------7-------;—>0,

X2-XiX2+(-Xi)

所以f(X2)>f(X|),

所以f(x)在x£[-l,1]上是增函數(shù).

因?yàn)閍,b可-1,1],且a>b,

所以f(a)>f(b).

(2)因?yàn)閒(x)是x£[-1,1]上的增函數(shù),

所以由不等式&-3-§

<x--<1,

得<-13%-:W1,

4

%--1<-x--1.

I24

(-;<%<;,

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