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文檔簡(jiǎn)介
第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
u爭(zhēng)分奪秒一刻件.狠抓廢肥零失誤1/
必備知識(shí)-基礎(chǔ)練
基礎(chǔ)分組正通關(guān)
?題組一利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值或范圍
I.已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},則a+b等于()
A.-1B.1C.0D.2
選A.因?yàn)橐粋€(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義
域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以a與b有一個(gè)等于1,一個(gè)等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
2.函數(shù)f(x)在x£(-oo,+8)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(l)=-
1,則滿足-tf(x-2)<1的x的取值范圍是()
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
選D.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),f(l)=-1,
所以f(-1)二L
因?yàn)?l<f(x-2)<1,
所以f(l)<f(x-2)<f(-1).
又因?yàn)閒(x)在xe(-oo7+8)上單調(diào)遞減,
所以-l<x-2<1z
所以l<x<3.
3.設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在x£[0,1)上單調(diào)遞增,且有
f(l?m)+&2m)<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()
A-(24)B.(0,0
eg,+oo)D.(-8,J
選A.由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),
(-1<1-m<13
則有1J1Q…解得0<m<4?
-1<--2m<14
2
又f(l-m)+Q-2m,<0,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
所以f(l-m)<-@-2m)=1+2m,.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),且在x£[0,1)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)在定義域(?1,1)上單調(diào)遞增,
則有1-m<-g+2mz解得m>|,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為匕,管.
?題組二函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用
1.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增且f(6)=9,則它在區(qū)間[-6,
-3]上()
A.最小值是9B.最小值是-9
C.最大值是-9D.最大值是9
選D.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[-6,-3]上單調(diào)遞減.
因此,f(x)在區(qū)間[-6,-3]上最大值為f(-6)=f(6)=9.
2.f(x)是定義在R上的增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是()
A.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)目是增函數(shù)
B.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)
C.f(x)-f(-X)是奇函數(shù)且是增函數(shù)
D.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)目是減函數(shù)
選C.A錯(cuò)誤,設(shè)f(x)=x,是增函數(shù),但f(x)+f(-x)=x-x=0是常
數(shù)函數(shù);同理B錯(cuò)誤;C正確,
設(shè)g(x)=f(x)-f(-X),則g(-X)=f(-X)-f(x)
=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),函數(shù)g(x)是奇函數(shù).
任取Xi,X26R,且X)<X2,
則?X1>-X2,g(Xi)=f(xi)-f(-X1),
g(X2)=f(X2)-f(-X2),
因?yàn)閒(x)是定義在R上的增函數(shù),
所以f(Xi)<f(X2),f(-Xi)>f(-X2),
BP-f(-Xi)<-f(-X2).
所以f(Xi)-f(-Xi)<f(X2)-f(-X2),
即g(x))<g(x2).
所以函數(shù)g(x)=f(x)?f(-x)是增函數(shù),D錯(cuò)誤.
3.已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,
0]上的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是
設(shè)h(x)=f(x)g(x),
補(bǔ)全f(x),g(x)的圖象(圖略),由圖象可知:
當(dāng)-4<xv-2時(shí),f(x)>0,g(x)<0,此時(shí)h(x)<0;
當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<0,g(x)>0,此時(shí)h(x)<0,
所以h(x)<0的解集為(-4,-2)U(0,2).
答案:(-4,-2)0(0,2)
?題組三函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)遞減,若X|<0且xi
+x2>0,則()
A.f(-Xi)>f(-x2)
B.f(-Xi)=f(-x2)
C.f(-X|)<f(-X2)
D.f(-X])與f(-X2)的大小不確定
選A.因?yàn)閤i<0,Xi+X2>0,
所以X2>-Xi>0,
又f(x)在X£(0,+8)上單調(diào)遞減,
所以所2)Vf(-Xi),
因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),
所以f(-X2)=f(x2)<f(-Xi).
2.已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(l)=1,若a,b£[-
f(a)+f(b)
1,1],a+b#0時(shí),有------------->0成立.若fi(x)<m2-2am+1
a+b
對(duì)所有的ae[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
任取xi,x2^[-1,1],
且X]<X2,則-X2^[-1,1].
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),
所以f(xi)-f(x2)=f(Xi)+f(-X2),
f(X1)+f(-X2)
由已知得>0,
X|-X2
又X]-X2<0,
所以f(xi)-f(x2)<0,
即f(X])<f(X2),
所以f(x)在上單調(diào)遞增.
因?yàn)閒(D=l,且f(x)在x£[-1,1]上單調(diào)遞增,
所以在x£[-1,1]上,f(x)d
f(x)<m2-2am+1等價(jià)于m2-2am+1>1,
即m2-2am>0,對(duì)a£[-1,1]成立.
設(shè)g(a)=-2m-a+m2,
①若m=0,則g(a)=020,對(duì)a£[-1,1]恒成立.
②若m#0,則g(a)為關(guān)于a的一次函數(shù),
若g(a)次對(duì)a£[-1,1]恒成立,
則必有g(shù)(-1)>0,且g(l)>0,
onI/+2m>0
HU,
m2-2m>0,
解得mW-2或m>2.
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,-2]U{0}U[2,+8).
易錯(cuò)易混6場(chǎng)型
易錯(cuò)點(diǎn)一沒有搞清分段函數(shù)及奇偶性的概念致錯(cuò)
2
x+2x+3,x<0
1.關(guān)于函數(shù)f(x)=3/=0的性質(zhì)描述正確的是()
-X2+2x-35x>0
A.f(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),也是偶函數(shù)
D.f(x)不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
選D.當(dāng)x<0時(shí),
-x>0,
f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x),
當(dāng)x>0時(shí),-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x),
但是f(0)=3,
所以f(x)不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
x^(x>0)
2.已知函數(shù)f(x)=|一小,則不等式f(|2x-“)04的解是
-xz(x<0)
;不等式2f(x)>f(4-x2)的解是_______.
容易作出函數(shù)f(x)=x^;(x二>二0)、的圖象如圖,
<0)
顯然函數(shù)f(x)在XeR上單調(diào)遞增,
又4=22=f(2),
所以f(|2x-l|)<4=>f(|2x-l|)<f(2),
所以2x-152,-2<2x-1<2,
i3
所以.
x>0,2f(x)=2x2=(y[2x)2=f(嫄x);
x<0,2f(x)=-2x2=■(啦x)2=f(^2x).
所以x£R時(shí),2f(x)=f(啦x),
2f(x)>f(4-x2)=>f(V2x)>f(4-x2),
所以誨x>4-x2,x2+-\/2x-4>0,
(x+2yf2)(x■啦)>0,
所以止血或爛-2啦.
答案:|x-^<x<|>{x[x^V^或X0_2g}
【易錯(cuò)誤區(qū)】分段函數(shù)的奇偶性要分段討論,不能只驗(yàn)證一部分.
易錯(cuò)點(diǎn)二判斷含參函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略對(duì)參數(shù)的討論致錯(cuò)
(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,xeR,ae-11,則函數(shù)
f(x)的性質(zhì)為()
A.a=O時(shí),是偶函數(shù)
B.a^O時(shí),既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
C.f(x)的最小值為a2+1
D.f(x)的最小值為1
選ABC.因?yàn)閍=0時(shí),f(x)=x2+|x|+1是偶函數(shù),所以A正確;
因?yàn)?0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
所以f(a)-f(-a)=-2|a|#0,
所以f(x)不是偶函數(shù),f(a)+f(-a)=2a2+2|a|+2*0,
所以f(x)不是奇函數(shù),所以B正確;
x2+x-a+lx>a.
因?yàn)閒(x)=?
x2-x+a+1.x<a.
in
ae2r2jr
所以f(x)在x>a時(shí)單調(diào)遞增,在x<a時(shí)單調(diào)遞減,
所以f(x)的最小值為f(a)=a2+1.
所以C正確,D錯(cuò)誤.
【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性都要分類討論,因?yàn)閰?shù)
會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì),所以不要忽略對(duì)參數(shù)的分類討論.
C3盹間小練半小時(shí),突破課堂空難點(diǎn)!/
關(guān)鍵能力-綜合綜
限時(shí)30分鐘分值60分戰(zhàn)報(bào)得分
一、選擇題(每小題5分,共30分)
1.若函數(shù)f(x)(f(x)#))為奇函數(shù),則必有()
A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0
C.f(x)<f(-x)D.f(x)>f(-x)
選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(f(x)的為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以
f(x)-f(-x)=-[f(x)]2<0.
2.若(p(x),g(x)都是奇函數(shù),f(x)=a(p(x)+bg(x)+3在x£(0,+
上有最大值10,則f(x)在x£(-8,0)上有()
A.最小值-4B.最大值-4
C.最小值-1D,最大值-3
選A.由已知對(duì)任意x£(0,+8),
f(x)=a(p(x)+bg(x)+3<10.
對(duì)任意x£(-8,0),貝-x£(0,+oo).
又因?yàn)?p(x),g(x)者B是奇函數(shù);
所以f(-x)=a(p(-x)+bg(-x)+3<10,
即-a(p(x)-bg(x)+3<10,
所以a(p(x)+bg(x)>-7,
所以f(x)=a(p(x)+bg(x)+3>-7+3=-4.
、—(l+x)2
3.設(shè)函數(shù)f(x)=:的最大值為M,最小值為m,則M+m
x2+1
=()
A.OB.1C.2D.3
(1+x)2?x?x
選C.因?yàn)閒(X)=2i=1+告,函數(shù)已是奇函數(shù),圖象
x2+1x2+1x2+1
關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱,所以最大值與
最小值的和為2.
4.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x£[-1,0]時(shí),
f(x)=2?x,貝[Jf(2022.5)等于()
A.0.5B.2.5C.-0.5D.-2.5
選B.因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),
所以f(-X)=-f(x),
因?yàn)閒(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(2022.5)=f(4x505+2.5)=f(2.5)=-f(0.5)
=f(-0.5)=2+0.5=2.5.
5.(多選題)已知定義在區(qū)間[-7,7]上的一個(gè)偶函數(shù),它在[0,7]上
的圖象如圖,則下列說法正確的是()
A.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間
B.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間
C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7
D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7
選BC根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對(duì)稱性,作出其在[-7,7]
上的圖象,如圖所示,
由圖象可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)增區(qū)間,有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間,在其定
義域內(nèi)有最大值7,最小值不是-7.
6.(多選題)若函數(shù)f(x)對(duì)任意x£R者|5有f(x)+f(-x)=0成立,m£R,
則下列的點(diǎn)一定在函數(shù)y=f(x)圖象上的是()
A.(0,0)B.(-m,-f(m))
C.(m,-f(-m))D.(m,f(-m))
選ABC.因?yàn)槿我鈞£R滿足f(x)+f(-x)=0,
所以f(x)是奇函數(shù),
又x£R,所以令x=0,
則f(-0)=-f(0),得f(0)=0,
所以點(diǎn)(0,0),
點(diǎn)(-m,-f(m))與(m,-f(-m))也一定在y=f(x)的圖象上.
二、填空題(每小題5分,共2()分)
7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+4(a,b均不為零),且f(5)=10,則f(-
5)=.
令g(x)=ax3+bx(a,b均不為零),
易知g(x)為奇函數(shù),從而g(5)=-g(-5).
因?yàn)閒(x)=g(x)+4,
所以g(5)=f(5)-4=6,
所以f(-5)=g(-5)+4=-g(5)+4=-2.
答案:-2
8,下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為.(填序號(hào))
①f(x)=(x+l)居;
2
②/f(X)=f-{x2+…2x+l?xC>0;
2
[x+2x-l?x<0
A/4-x2
③f(x)="i-;
A
@f(x)=|x-l|-|x+l|.
展有意義,
①因?yàn)閒(x)=(x+l)
1-X
則----X)且1+X翔,
1+X
解得■1<X<1,
所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-1,1],不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
因此,函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).
②當(dāng)x>0時(shí))f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2x(-x)-
1
=x2-2x-1=-f(x);
當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=
-(-x)2+2x(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).
所以函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).
③由題意可得20/
所以-2<x<2且x和,
所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,0)U(0,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,
都有f(-x)
=|-x-l|-|-x+l|
=|x+1|-|x-1|
=-f(x),
所以f(x)是奇函數(shù).
答案:②④
9.已知函數(shù)f(x)=12:陽"之;是奇函數(shù),且在+3上單調(diào)遞減,
則實(shí)數(shù)a=;實(shí)數(shù)m的取值范圍用區(qū)間表示為.
因?yàn)楹瘮?shù)貽尸【";。""2:是奇函數(shù),
-x^-x.x<0
所以f⑴+f(-l)=O,
即1-a+(-l)+1=0,解得a=l;
x2-x.x>0
C,
(-x£2-x.x<0
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間(0,)上單
調(diào)遞減,在區(qū)間G,+8)上單調(diào)遞增;
又因?yàn)閒(0)=0,所以由奇函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)f(x)在區(qū)間上單
調(diào)遞減;
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(m,m+3上單調(diào)遞減,
即
m+i
22
解得一<m<0.
2
答案:1[-p°
10.已知函數(shù)f(x)是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)
單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式f(x-l)>f(a)的解集為.
由題意可得a-1+2a=0,
所以a二!,
所以f(x-l)>f(a)等價(jià)于|x-1總,
24
所以X<j或X>j.
所以所求的解集為[8,|)U(!?+oo)
答案(。0,§嗯,+00)
三、解答題
(\x+l|,x<0,
II.(10分)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=+>>0
?3-2-10123x
-1
-2
-3
⑴在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(X)的圖象,并指出f(X)的單調(diào)區(qū)間
(不需證明);
⑵若方程f(x)+2a=0有兩個(gè)解,求出a的取值范圍;
⑶設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),g(x)=f(x),求
g(x)的解+析式.
⑴如圖.
單調(diào)增區(qū)間:[-1,0],U,+8),單調(diào)減區(qū)間(-8,-1],[0,1].
(2)在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出y=f(x),y=-2a的圖象,由圖可知f(x)
+2a=0有兩個(gè)解,貝[J-2a=0或-2a>1,
即a=0或a<-;.
(3)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
所以g(-x)=(-x)2-(-2x)+1=x2+2x+1,
因?yàn)間(x)為奇函數(shù),
2
所以g(x)=-g(-x)=-x-2x-1z
且g(0)=0,
(x2+2x+l(x>0),
所以g(x)=0Q=0),
t-x2-2x-l(x<0).
自我挑戰(zhàn)區(qū)
設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且對(duì)任意a,b£[-1,1],當(dāng)a
f(a)+f(b)
+b和時(shí),都有------------->0.
a+b
⑴若a>b,試比較f(a)與f(b)的大小;
(2)解不等式《X-<f(x-?;
(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x?c?)這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是
空集,求c的取值范圍.
(1)任取-1<X1<X2<1,
f(X2)-f(Xi)f(X2)+f(-Xi)
貝(J----------------------=----------7-------;—>0,
X2-XiX2+(-Xi)
所以f(X2)>f(X|),
所以f(x)在x£[-l,1]上是增函數(shù).
因?yàn)閍,b可-1,1],且a>b,
所以f(a)>f(b).
(2)因?yàn)閒(x)是x£[-1,1]上的增函數(shù),
所以由不等式&-3-§
<x--<1,
得<-13%-:W1,
4
%--1<-x--1.
I24
(-;<%<;,
解
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