八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第三章第04講 難點探究專題：旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點題型講練)（解析版）

第04講難點探究專題：旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一線段繞某點旋轉(zhuǎn)綜合問題】 1【類型二直角三角形繞點旋轉(zhuǎn)綜合問題】 14【類型三等腰直角三角形繞點旋轉(zhuǎn)綜合問題】 22【類型四等邊三角形繞點旋轉(zhuǎn)綜合問題】 37【類型一線段繞某點旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24九年級上·貴州遵義·階段練習）如圖，在等腰直角中，，D為邊上一點，連接，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接．(1)求證：．(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關鍵．（1）證明，利用全等三角形的對應邊相等即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的面積相等，將所求面積轉(zhuǎn)化為等腰直角的面積，進而利用直角三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，又，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴四邊形的面積為．【變式訓練】1．（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，等邊三角形內(nèi)一點D，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)請判斷的形狀__________，并寫出判斷的依據(jù)__________；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形(2)【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，結合旋轉(zhuǎn)角為60度，可證是等邊三角形；（2）先證，推出，再根據(jù)是等邊三角形，得出，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，是等邊三角形（有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形），故答案為：等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形；（2）解：是等邊三角形，，，由（1）知，，，在和中，，，，是等邊三角形，，．2．（23-24八年級上·四川成都·期末）（1）【問題】如下圖，中，，，D為邊上一點（不與點B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，則線段，之間滿足的數(shù)量關系式為______；直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為______；（2）【探索】如圖2，中，，，D為外一點，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長，交于點F．試問：（1）中的結論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（3）【應用】在（2）的條件下，，．求四邊形的面積．【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3）【分析】本題考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．（1）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可得；（2）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可得；（3）先求出，過點作于點，過點作于點，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：（1）∵在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，，∴直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為，故答案為：，；（2）（1）中的結論成立，證明如下：同理可得：，在和中，，，，，又，，解得，即直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為；（3），∴，如圖，過點作于點，過點作于點，，，，，，，，，在中，，即，解得（負值已舍），則，所以四邊形的面積為．3．（23-24八年級上·河南安陽·期末）實踐與探究點和線是最基本的圖形，點、線運動帶來的動態(tài)幾何問題是常見的熱點題型之一．解這類題目要“以靜制動”，把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解．一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變．為了培養(yǎng)學生的數(shù)學思維與探究能力，在數(shù)學實踐與探究課上，王老師讓同學們以“圖形的運動”為主題開展數(shù)學學習活動．在中，，，點D是直線上的一點，連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)操作發(fā)現(xiàn)①當點D在線段上時，如圖1．請你直接寫出與的位置關系______；②請寫出線段、、的數(shù)量關系，并進行證明．(2)猜想論證當點D在直線上運動時，如圖2，點D在射線上．請寫出線段、、的數(shù)量關系______；(3)拓展延伸如圖3，點D在射線上．若，，請求出的面積．【答案】(1)①；②，見解析(2)(3)2【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，正確找出全等三角形是解題關鍵．（1）①先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；（2）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；（3）連接，先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后證出，利用三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）解：①∵在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，，，故答案為：；②，證明如下：，，，．（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，在和中，，，，，，故答案為：．（3）解：如圖，連接，∵，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，在和中，，，，，，即，則的面積為．4．（23-24八年級上·福建泉州·期末）在中，，，D在邊上運動（點D不與B，C重合），連接，把線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接，交于點F．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，當時，請用等式表示線段，，三者之間的數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖2，若，G為中點，連接，四邊形的面積是否會改變？若會改變請說明理由，若不會改變，請求出它的面積．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)不變，面積是16【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）先證明，根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結論；（3）先求出，根據(jù)證明得，可證，從而，進而可求出四邊形的面積．【詳解】（1）∵繞點A旋轉(zhuǎn)得到，∴為等腰直角三角形，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∴．（2），理由如下：由（1）得，當時，∴∴，∴，由（1）得，，∴，∴，∵，∴．（3）四邊形的面積不變，理由如下：連接、，∵在中，，，G為中點，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．5．（23-24八年級上·重慶大渡口·期末）在中，，以為斜邊作，，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接分別交，于點，點．(1)如圖1，在右側(cè)，，，求的面積；(2)如圖2，在右側(cè)，點是的中點，求證：；(3)如圖3，在左側(cè)，的延長線過的中點，當點在的中垂線上時，交于點，直接寫出的值．【答案】(1)(2)詳見解析(3)【分析】（1）本題過點作，由題知，為等腰直角三角形，得出，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，利用勾股定理算出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，得出，，為等腰直角三角形，設，則，由勾股定理可知，根據(jù)建立方程，求出，最后利用即可求解．（2）本題過點作交于點，連接，由題意得出為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，得到，由勾股定理推出，證明，推出，，證明，推出，再根據(jù)即可解題．（3）連接，作，，證明，為的角平分線，推出，設，利用等腰三角形直角三角形兩腰相等和勾股定理表示出，，，，在利用，即可解題．【詳解】（1）解：過點作，如圖所示：，由題知，為等腰直角三角形，，，在中，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，設，則，由勾股定理可知，，，解得，，．（2）證明：過點作交于點，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，，，，為等腰直角三角形，由題知，為等腰直角三角形，，，，由勾股定理可知，在與中，，，，點是的中點，，在與中，，，．（3）解：，理由如下：連接，作，，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，，，，，，為等腰直角三角形，點在的中垂線上，，，由題知，為等腰直角三角形，又點是的中點，，即，，為等腰直角三角形，，，在與中，，，，為的角平分線，，設，，，，，，，又，，，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度所對的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)和判定、中垂線性質(zhì)，解題的關鍵在于作輔助線構造全等三角形，再結合相關性質(zhì)定理即可解題．【類型二直角三角形繞點旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24九年級上·江西上饒·期末）如圖，在中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，交于點．若，求：(1)的長；(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，再求出，即可得到，根據(jù)勾股定理即可求出；（2）根據(jù)，得到，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含角直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定等知識，熟知相關定理，正確解直角三角形是解題關鍵．【變式訓練】1．（22-23九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在中，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)度后，得到，點剛好落在邊上．(1)求的值；(2)若，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是等邊三角形，即可求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）易得是含角的直角三角形，則可求得，根據(jù)，求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，在直角三角形中求出；【詳解】（1）解：將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度后得到，在中，，是等邊三角形，（2），，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到，，；【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．2．（22-23九年級上·四川德陽·期中）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點O，點B的對應點為E，點A的對應點D落在線段上，連接．(1)求證：平分；(2)試判斷與的位置關系，并說明理由；(3)若，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)BE⊥AB，理由見解析(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，因此，得到，即可證明平分；（2）由余角的性質(zhì)推出，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)，即可證明；（3）作于，由三角形內(nèi)角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，平分；（2）解：，理由如下：，，，，，，，；（3）解：作于，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，的面積．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，求三角形面積等知識，關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，，分別交于點F，G，連接．

(1)求證：；(2)若，，．①求的長；②連接，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可證得結論；（2）①利用平行線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，然后利用勾股定理求解即可；②過E作交延長線于M，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理求得，，由求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，，∵，，，∴，即；（2）解：①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∵，，∴，，∴，∴；②如圖，過E作交延長線于M，

則，，∴，∴，，∵，∴．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．4．（23-24九年級上·安徽淮北·期末）如圖1，把兩個完全相同且有一個角為的直角三角板重合在一起，將固定，將繞直角頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當B，D，E三點在同一條直線上時，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，連接，請判斷和的面積的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見詳解【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角以及全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）由題意得，由旋轉(zhuǎn)得，可得．即可求得旋轉(zhuǎn)角；（2）過點D作于點M，延長交于點N，由旋轉(zhuǎn)得和．進一步求得和，可證，則有，結合面積公式即可求得相等．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，．∴．∵點B，D，E在同一條直線上，∴，∴旋轉(zhuǎn)角．（2）．理由：過點D作于點M，延長交于點N，如圖，

∵是由繞點C旋轉(zhuǎn)得到，∴，．由（1）可得，∴，．∵，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，，，∴．5．（23-24九年級上·天津河北·期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點，，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，點旋轉(zhuǎn)后的對應點為，記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當時，求的長；(2)如圖②，當時，求點的坐標；(3)K為線段上一點，且，S為的面積，求的取值范圍（直接寫出結果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．（1）根據(jù)勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得．繼而得出；（2）作軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，在中，由得的長，繼而得出答案；（3）如圖中，當點在上時，的面積最小，當點在的延長線上時，的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題．【詳解】（1）∵點，點，∴．在中，由勾股定理得：．根據(jù)題意，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴；（2）如圖②，過作軸于D，則，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，在中，由．∴，由勾股定理得：，∴，∴點的坐標為；（3）∵的值不變，∴當點K到的距離最小時的面積最小，當點K到的距離最大時的面積最大．當點在上時，的面積最小，如圖③所示，

∵，∴，此時，，∴最小面積；當點在的延長線上時，的面積最大，如圖④所示：

此時，，∴最大面積；綜上所述，．【類型三等腰直角三角形繞點旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24八年級上·海南儋州·期末）如圖1，把兩個大小不同的等腰直角三角形，如圖所示擺放，使得點D、A、B在同一直線上，連結，．

(1)求證：；(2)如圖2，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)某個角度后，使得點B、C、E在同一直線上，與交于點O．①求證：；②求證：；③連結，如圖3，若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析；③1【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）①先證明，即可證明，②如圖，由可得，再結合角的和差運算可得結論；③證明，求解如圖，過點A作于點F，求解，，再利用割補法求解面積即可．【詳解】（1）證明：∵和是等腰直角三角形∴，，在和中，∴；（2）①∵，∴即在和中，∴，②如圖，

∵是等腰直角三角形，∴，又∵∴，∴，∴③∵，∴又∵，∴又∵，∴如圖，過點A作于點F，

又∵是等腰直角三角形∴，∴∴在中，∴∴【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應用，等腰三角形的性質(zhì)，二次根式的乘法運算，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（23-24九年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）把兩個等腰直角三角形和按圖1所示的位置擺放，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，，設旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖1，與的數(shù)量關系是______，與的位置關系是______；(2)如圖2，（1）中與的數(shù)量關系和位置關系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)當旋轉(zhuǎn)角______填度數(shù)時，的面積最大．【答案】(1)，且，理由見解析(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）由，，則，可得答案；（2）利用證明，得，作的延長線交于點，交于點，由全等知，又，則，從而證明；（3）點的軌跡是以為圓心為半徑的圓，在中，當為底時，點到的距離最大時，的面積最大，從而得出答案．【詳解】（1）解：結論：，且，理由如下：，，，；，點，分別在，上，；故答案為：；；（2）解：成立，理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，作的延長線交于點，交于點，

，，，，；（3）解：由題意知，點的軌跡是以為圓心為半徑的圓，在中，當為底時，點到的距離最大時，的面積最大，

當時，的面積最大，旋轉(zhuǎn)角為或，故答案為：或．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，證明是解題的關鍵．2．（23-24九年級上·山東日照·期末）如圖，在中，，，，分別為，的中點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到（如圖），使直線恰好過點，連接．(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)求的長；(3)若將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當直線過的一個頂點時，請直接寫出長的其它所有值．【答案】(1)，理由見解析；(2)的長為；(3)的長為或．【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．（）由，得，證明，，再利用角度和差即可求解；（）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，的中點，再通過勾股定理得，，設，列出，然后求解即可；（）分當直線恰好過點時當直線恰好過點時幾種情況討論即可．【詳解】（1），理由，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵恰好過點，∴，∴，∴；（2）∵，，∴在中，由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，的中點，∴同上可得，，由（），，∴，設，在中，由勾股定理得，，整理得：，解得：，（舍去），∴；（3）當直線恰好過點時，如圖，由（）得：，當直線恰好過點時，如圖，同（）理，，如圖，同（）理，，∴，設，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，，解得：，（舍去），∴，綜上的長為或．3．（23-24八年級上·山西呂梁·期中）綜合與實踐將一塊含角的大直角三角板和一塊含角的小直角三角板按如圖1所示的方式擺放．如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連結．

(1)求證：．(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖3，當三點共線時，設與交于點．①試判斷的形狀，并說明理由；②若是的中點，請直接寫出和的面積關系．【答案】(1)見解析(2)①直角三角形，理由見解析；②相等【分析】該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“旋轉(zhuǎn)前后對應角相等，對應邊相等，旋轉(zhuǎn)角相等”，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的常用方法“”；（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明；（2）①等腰直角三角形可得，再根據(jù)三點共線，可得，再根據(jù)得出，即可求解．②根據(jù)是的中點，可得，再根據(jù)，可得，由即可解答；【詳解】（1）證明：和都是等腰直角三角形，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得．在與中，，．（2）解：①是直角三角形．理由：根據(jù)題意，得．三點共線，．由（1），得．．是直角三角形．②是的中點，又由（1）知，，和的面積相等．4．（23-24七年級上·河南駐馬店·期末）如圖1，將三角板與三角板擺放在一起；如圖2，其中，，．固定三角板，將三角板繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角（）．(1)當為_________度時，，并在圖3中畫出相應的圖形；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究與之間的關系；(3)當旋轉(zhuǎn)速度為秒時．且它的一邊與平行（不共線）時，直接寫出時間t的所有值．【答案】(1)15，圖見解析(2)當時，；當時，；當時，(3)或21或30【分析】（1）根據(jù)得出，根據(jù)即可求解；（2）設，，在旋轉(zhuǎn)過程中，分當時，當時，當9時，三種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）分①當，②當，③當時，分別畫出圖形即可求解．【詳解】（1）當時，，如圖：故答案為；（2）設：，，①如圖，當時，，，故，即；②當時，，即③當時，，，即，即；（3）①當時，由（1）可知，∴，∴；②當時，則，∴，∴，∴∴；③當時，則，∴，∴；綜上，或或或或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角尺中角度的計算，解答此題的關鍵是通過畫圖，確定旋轉(zhuǎn)后△ADE的位置，還注意分類求解，避免遺漏．5．（23-24九年級上·河南洛陽·階段練習）一副三角板如圖1擺放，，，，點F在上，點A在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點F以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當點落在射線上時停止旋轉(zhuǎn)），設旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當秒時，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點記為P，如圖2，若有兩個內(nèi)角相等，求t的值；(3)當邊與邊、分別交于點M、N時，如圖3，連接，設，，，試問是否為定值？若是，請直接寫出答案；若不是，請說明理由．【答案】(1)3(2)為6或15或24(3)是定值，，理由見解析【分析】（1）由平行求出旋轉(zhuǎn)角，結合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值；（3）找出與，，，有關的數(shù)量關系，再把無關的角消去，得出結論．【詳解】（1）∵，，，∴，，如圖，當時，，平分，，，又為的一個外角，，；故答案為：3；（2）①如圖，當時，

，，；②如圖，當時，

，，，；③如圖，當時，

，，綜上所述：當為6或15或24時，有兩個內(nèi)角相等；（3）是為定值105，理由如下：是的一個外角，是的一個外角，，，又，，，，．【點睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時間為背景，考查了學生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關鍵，第（3）問找到三個角之間的關系是關鍵．6．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）數(shù)學活動課上，老師出示兩個大小不一樣的等腰直角和擺在一起，其中直角頂點重合，，，．(1)用數(shù)學的眼光觀察．如圖1，連接，，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；(2)用數(shù)學的思維思考．如圖2，連接，，若是中點，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)用數(shù)學的語言表達．如圖3，延長至點，滿足，然后連接，，當，，繞點旋轉(zhuǎn)得到，，三點共線時，求線段的長．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)或【分析】（1）用證明，即可求解；（2）證明、，即可求解；（3）①如圖所示，過點作于，求出，，得到，即可求解；②如圖所示，過點作于，同理可解．【詳解】（1）解：，理由：，，，，則；（2）解：，理由：點作交的延長線于點，，，是中點，則，，，，，，，，，，則；（3）解：旋轉(zhuǎn)得到，，三點共線，①如圖所示，過點作于，是等腰三角形，，，，，在中，，，，即旋轉(zhuǎn)得到，，三點共線時，；②如圖所示，過點作于，同理，，即旋轉(zhuǎn)得到，，三點共線時，，綜上所述，線段的長為：或．【點睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運算是解題的關鍵．【類型四等邊三角形繞點旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24九年級上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊中，點D是等邊內(nèi)一點，連結，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關系為，度；【嘗試應用】：如圖2，在等腰中，，，點D是內(nèi)一點，連結，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點D為平面內(nèi)一點，且，，則的值為．

【答案】【問題背景】：，60；【嘗試應用】：；【拓展創(chuàng)新】：或；【分析】問題背景：是等邊三角形，根據(jù)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出；嘗試應用：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，推出，再證明C，D，T共線，可得結論；

拓展創(chuàng)新：分兩種情形：當點D在的上方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設，則.再求出，，可得結論；當點D在的下方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設，則，過點D作交的延長線于點H.再求出，，可得結論.【詳解】問題背景：由題意可知，是等邊三角形，，；故答案為：，；嘗試應用：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接.

，,共線，.拓展創(chuàng)新：①當點D在的上方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，設，則.

，，，，過點B作于點H，則，，，，，.②當點D在的下方時，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接，設則過點D作交的延長線于點H.

同法可證，，，綜上所述，的值為或故答案為：或【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.【變式訓練】1．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接、．(1)在圖①中證明；(2)如圖②，當時，連接，求的面積；(3)在的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出的面積S的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)和為等邊三角形得到對應邊和角相等，再利用角度的變化即可求證全等；（2）利用得，過點A作交與點H，過點D作交與點G，再利用含的直角三角形解得的值，結合面積公式即可求得；（3）利用第二問結論，分析出的面積最大時與在同一條直線上，且點D在外部，的面積最小時與在同一條直線上，且點D在內(nèi)部，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．【詳解】（1）證明：∵、均為等邊三角形，∴，∵∴，在和中，∴．（2）連接，同理有成立，得，∵，∴，過點A作交與點H，過點D作交與點G，如圖，∵為等邊三角形，∴，，∴，在中，在中，，∴，則．（3）過點A作交于點H，當與在同一條直線上，且點D在外部時的面積最大，如圖，

∵，，∴，則；當AD與AH在同一條直線上，且點D在內(nèi)部時的面積最小，如圖，

則，那么，的面積S的取值范圍：．【點睛】本題主要考查幾何圖形的變化，利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和含的直角三角形性質(zhì)判定三角形的全等、求三角形面積的知識點，解題的關鍵為作輔助線求面積．2．（20-21九年級上·河南周口·期中）如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點F．(1)如圖1，當A，C，D三點在同一直線上時，的度數(shù)為______，線段與的數(shù)量關系為______．(2)如圖2，當繞點C順時針旋轉(zhuǎn)時，（1）中的結論是否還成立？若不成立，請說明理由：若成立，請就圖2給予證明．(3)若，，當繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周時，請直接寫出長的取值范圍．【答案】(1)，；(2)成立，理由見解析(3)【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時證明三角形全等是關鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明，結合三角形的外角就可以得出結論；（2）同（1）中方法證明，得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出；（3）當B、C、D三點共線時得出的最大和最小值，即可得出結論．【詳解】（1）解：是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，，且（2）（1）中結論仍成立，是等邊三角形，，，是等邊三角形