數(shù)學(xué)中的小問題大定理-6-最短線(蘇)柳斯捷爾尼克著越民義譯

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。全文共頁-word可編輯《數(shù)學(xué)中的小問題大定理》叢書（第六輯）我X迅磔端斗包沙薛尊尊[洪]上式（藏斗瓣）共《備砂米陽可二李丹桃燁》三聯(lián)等號中陶回牙米叫惑月母姘苗米炳吉◎?qū)⒅T湖牙斤風(fēng)垂雄回沿當(dāng)2行>2行>2行>內(nèi)容簡介一只蒼蠅要想從一道墻壁上的點A爬到臨近一道墻壁上的點B,怎樣爬路程最短?用一定長短的一道籬笆,怎樣圍所包含的面積最大?解決這一類問題,在數(shù)學(xué)上是屬于變分學(xué)的范圍的.這本小冊子徹低用初等數(shù)學(xué)作基礎(chǔ),來向中等程度的讀者推薦變分學(xué).作者把一些數(shù)知識題聯(lián)系到物理問題上去,證實固然不是很鄭重,卻很容易而直觀,使讀者很容易領(lǐng)略,而且對于讀者發(fā)展這方面的數(shù)學(xué)才干也有協(xié)助.圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)最短線/(蘇)柳斯捷爾尼克著;越民義譯.一哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2023年年.3ISBN978-7-5603-7237-2I.①最...II.①柳...②越...III.①初等數(shù)學(xué)-普及讀物IV.①012-49中國版本圖書館CIP數(shù)據(jù)核字(2023年年)第018911號策劃編輯劉培杰張永芹責(zé)任編輯劉春雷封面設(shè)計孫茵艾出版發(fā)行哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社社址哈爾濱市南崗區(qū)復(fù)華四道街10號郵編150006傳真0451-9網(wǎng)址http://hitpress.hit.edu.cn印刷哈爾濱市工大節(jié)能印刷廠開本787?m版次2023年年年3月第1版2023年年年8書號ISBN978-7-5603-7237-7定價38.00元(如因印裝質(zhì)量問題影響閱讀,我社負(fù)責(zé)調(diào)換)在這本小冊子里,我們從初等數(shù)學(xué)的觀點來研究一系列的所謂變分問題.這些問題研究一些和曲線有關(guān)的量,并且尋求那些使這種量達(dá)到它的極大值或極小值的曲線.下列問題就是例子:序在某個面上聯(lián)結(jié)兩定點的一切曲線當(dāng)中求出最短的;在平面上有一定長度的閉曲線當(dāng)中求出包圍最大面積的曲線,等等.本書的材料基本上曾經(jīng)由作者在國立莫斯科大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)小組上講過.第一講(第0-10節(jié))的內(nèi)容基本上和1940年出版的作者所著的小冊子《短程線》的內(nèi)容一致.我只假定讀者認(rèn)識初等數(shù)學(xué)課程.第一章徹低是帶初等數(shù)學(xué)性質(zhì)的,其余幾章也不要求專門知識,不過要求對數(shù)學(xué)課程有較好的素質(zhì),并且善于思索.本書的所有材料可以看成是變分學(xué)的初步推薦(所謂變分學(xué)就是數(shù)學(xué)當(dāng)中系統(tǒng)地研究有關(guān)求泛函數(shù)的極大、極小問題的一個分支).變分學(xué)不屬于比較精簡的例如工科大學(xué)里所學(xué)的“高等數(shù)學(xué)”課程范圍之內(nèi).然而對于開始學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”課程的人來說,我們認(rèn)為事先輕微多看一些書也不是毫無用處的.對于認(rèn)識初等數(shù)學(xué)分析的讀者來說,要把書本里所講述的一些不鄭重的定義和論證改得很鄭重,當(dāng)不會有什么艱難,例如,不應(yīng)該說極小的量和它的近似等式(大致等于),而應(yīng)該說無窮小量和它的等價.倘若那些要求更高的讀者總算對于這里的研究里所容許的鄭重程度和邏輯上的完美程度感到不滿意,那么可以對他說明,這需要有一些數(shù)學(xué)分析的基本概念的邏輯上的磨煉,就像他在大學(xué)分析課程里所碰到的.沒有這樣的磨煉,在分析里像變分學(xué)這樣的部分就不可能作鄭重的和系統(tǒng)的講述.數(shù)學(xué)分析產(chǎn)生了有力的分析工具,它偶爾自動地解決了許多艱難問題.但在控制數(shù)學(xué)的所有階段當(dāng)中,異常重要的是看出所要解決的問題的容易幾何意義和物理意義.要學(xué)會像數(shù)學(xué)家們所說的“在手上”解決問題,就是說,要學(xué)會去發(fā)現(xiàn)那些固然并不鄭重、卻很簡單而直觀的證實.假若這本小冊子對于讀者發(fā)展這方面的數(shù)學(xué)才干多少有些協(xié)助,著者就認(rèn)為他編寫本書沒有白費氣力.柳斯捷爾尼克第1章最容易的面上的最短線//3錄第一講80從一道南京大學(xué)自主招生試題談起//3§1多面角的面上的最短線§2圓柱面上的最短線§3錐式曲面上的最短線//19§4球面上的最短線//31第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題//41§5平面曲線的切線和法線以及有關(guān)的一些問題//41§6平面曲線和空間曲線論里的幾點知識/§7曲面論里的幾點知識//52第3章短程線(測地線)//55§8關(guān)于短程線的約翰?伯努利定理//55§9關(guān)于短程線的補(bǔ)充說明//62§10回轉(zhuǎn)曲面上的短程線//68第二講第4章和緊張細(xì)線的位能有關(guān)的問題//73§11線的不改變長度的運動§12漸屈線和漸伸線//80§13彈性細(xì)線系統(tǒng)的平衡問題//82第5章等周問題//88§14曲率和短程曲率//88§15等周問題//93第6章費馬原理和它的推論/§16費馬原理//100§17§18捷線問題//108§19懸鏈線和最小回轉(zhuǎn)曲面問題//111§20力學(xué)和光學(xué)之間的關(guān)聯(lián)編輯手記/第一講最容易的面上的最短線§0從一道南京大學(xué)自主招生試題談起在2023年年年南京大學(xué)自主招生試題第中有一道題如下:圓柱形玻璃杯高8?cm,杯口周長12?cm.內(nèi)壁距杯口2?cm的點A處有一點蜜糖,點A正對面的外壁(不是點A的外壁)距杯底2?章小蟲的尺寸)解見圖0.解法也很容易.圖0最短線將圓柱體的側(cè)面展開,并將點A從內(nèi)部翻折出來,易得線段AB最短,AB此題背景深遠(yuǎn),屬于最短線問題.§1多面角的面上的最短線1.二面角上的最短線讀者固然知道,聯(lián)結(jié)平面上兩點的所有線當(dāng)中,最短的線是線段.我們現(xiàn)在來研究隨意一個面上圖1的兩點A和B,它們可以用這個面上的無數(shù)多條線來聯(lián)結(jié).但是這些線當(dāng)中哪一條最短?換句話說,要想沿這個面從點A到點B,應(yīng)該怎樣走路程最短?我們先就一些最容易的面來解這一問題.我們從這樣的一個問題開始:給定一個二面角?1,它的兩個面是Q1和Q2,棱是MN;在這兩個面上給定兩點:Q1上的點A和Q2上的點B(圖1).點A和點B可以用無數(shù)多條在這個二面角的面Q若二面角等于平角180°,那么面Q1和Q2當(dāng)中的一面是另一面的延續(xù)(也就是合成一個平面),因而所尋求的最短線也就是聯(lián)結(jié)點A和點B的直線段①圖1上所畫的只是這個無限延伸的二面角的一部分.但若這個二面角不等于平角,面Q1和Q2就不可能一面是另一面的延續(xù),因而直線段AB就不在這兩個面上.我們把這兩面當(dāng)中的一面繞著直線MN轉(zhuǎn),使這兩面變成一面是另一面的延續(xù),換句話說,把這個二面角展在一個平面上(圖2).面Q圖2變成了半平面Q1?′和Q2?′;直線MN變成了分開Q1?′和Q2?′的直線M′N′;點A和B變成了點A′和B′A′落在Q1?′上,B′落在Q2?′上);在二面角的面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的每一條線也都變成了我們的平面上聯(lián)結(jié)A′,B我們現(xiàn)在把Q1?′和Q2?′繞M′N′轉(zhuǎn),使得又重新得到本來的二面角.半平面Q1?′和Q2?′再變成這個二面角的面Q1和Q2,M′N′變成棱MN,而點A′和B′變成點A(在面Q1上)和點B(在面Q2上),直線段A′B′就變成在這個二面角的面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的最短線.這條最短線顯然就是折線ACB,它的AC那一段在面Q1上,CB這一段在面Q2上.顯然,由兩個互等的角∠A′C′M′和我們偶爾給現(xiàn)在所研究的這個問題帶上一點半開玩笑的性質(zhì).一只蒼蠅要想從一道墻壁上的點A爬到臨近一道墻壁上的點B.假若它要沿墻壁從點A爬過最短的路徑到達(dá)點B,試問它應(yīng)該怎樣爬?我們現(xiàn)在要得出解答已經(jīng)不難了.2.多面角面上的最短線我們現(xiàn)在來研究比較復(fù)雜一點的情形.給定一個多面角的面(圖3),它是由幾個面Q1,Q2,Q3,Q4,?,Qn和棱M1N1,M2N2,M3N3,?,M圖3假設(shè)最短的是線AB,又設(shè)這條線通過面Q1,Q2,Q3,Q4.我們現(xiàn)在把這些面所組成的這一部分多面角展在一個平面上(圖4).這時候這些面變成了這個平面上的多邊形Q1?′Q2?′Q3?′Q4?′,而把面Q1,Q2,Q3,Q4兩兩接連起來的棱M1N1,M2N2,M3N3變成了多邊形Q1?′Q2?′Q3?′Q4?′的邊M1?′N1?′,M2?′N2?′,M3?圖4假若重新把構(gòu)成這些多邊形的這一部分平面彎折成多面角的面,使得多邊形Q1?′重新變成面Q1,多邊形Q2?′重新變成面Q2,多邊形Q3?′變成面Q3,多邊形Q4?′變成面Q4,那么點①A′B′A′B′變成線AB,變成多面角的面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的最短線.這條最短線是一條折線,它的頂點在多面角的面的一些棱M1N1,M2N2,M3N3上.而由它的相接的兩條邊和棱所作成的角3.棱柱側(cè)面上的最短線圖5在圖5上畫的是一個棱柱?1和聯(lián)結(jié)這個棱柱上不在同一側(cè)面上的兩點A和B的最短線.這條最短線是一條折線,它的頂點是棱柱的棱上的C1α但除此之外,我們還有β1=實際上,這兩個角是平行線M1N1,M2N2和截線α換句話說,棱柱側(cè)面上的最短折線AB4.棱錐的面上的最短線設(shè)在頂點是O的棱錐?2的兩個側(cè)面上給定了兩點A和B(圖6).這兩點可以在錐面上用無數(shù)多條線聯(lián)結(jié)起來,這些線當(dāng)中有一條最短的線AB.按照前面所說,線A①棱柱的側(cè)面應(yīng)該想象成是無限延伸的.②棱錐的側(cè)面應(yīng)該想象成是無限延伸的.頂點C1,C2,C3,?在棱錐的棱上,而由這條折線的各邊和棱錐的棱所作成的角α1和β圖6α我們現(xiàn)在來研究邊C1C2所在的面P1OP2;若γ1表示∠P1OP2,則在△Cα但因β1=α1,所以同理,α3?α2=γ2,這里γ2是相鄰的兩個側(cè)棱因此,最短線和棱錐的隨意兩個棱相交的角的差等于在頂端的相應(yīng)幾個平面角的和.§2圓柱面上的最短線1.圓柱面上的最短線我們現(xiàn)在來求某些最容易的曲面上的最短線.先從圓柱面開始?1我們先要注重,圓柱面可以用一組和圓柱面的軸平行、因而自身也就互相平行的直線所有蓋滿.這些直線叫作圓柱面的母線.在圓柱面上給定兩點A和B(圖7).圖7我們要從那些在圓柱面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的曲線當(dāng)中找出最短的那一條.用AB來記這一條聯(lián)結(jié)A,B兩點的最短線.我們先我們把圓柱面沿著某一條母線PQ(和AB不相交的)剪開,并且把它展開在一個平面上;于是就得到一個矩形(圖8)(它的一對邊P′P′′和Q′Q′′是由展開圓柱面兩端的圓周而得到的;另一對邊P′Q′和P′′Q′′是由切口PQ的兩邊所作成).圓柱的母線變成和矩形的邊P′Q′相平行的直線.A,B兩點變成聯(lián)結(jié)矩形里面的A′,B′兩點.在圓柱面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的線變成聯(lián)結(jié)矩形里面A′,B′兩點的平面上的線.圓柱面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的最短弧AB變成聯(lián)結(jié)A′,B①現(xiàn)在所研究的有限圓柱面(圖7)是無限圓柱面的一部分.圖8我們現(xiàn)在把矩形P′Q′Q′′P′′卷起來(把它的對邊P′Q′和P′′Q′′粘在一起),使得它又重新回到本來圓柱的形式.點A′和B′又再變成圓柱面的點A和B,而A′,B′的連線A′B′又再變成圓柱面上的最短弧AB;直線A′B′和直線P1?′Q我們再來研究A,B兩點在同一條母線上的這種異常情形(圖9).顯然,在這種情形,母線上的這一段線AB就是圓柱面上圖9我們還要把A,B兩點在圓柱的同一圓截線上的這種異常情形挑出來談一談(圖10).這條截線的弧AB和所有的母線垂直.它就是聯(lián)結(jié)若把圓柱面沿著和弧AB不相交的母線剪開,并把它展成平面上的矩形,那在剛才所研究的兩種異常情形里,最短弧變成和矩形的邊平行的線段.在所有的其他情形中,最短線都和母線相交成一個不等于直角的角(同時也不等于0)?1圖102.螺旋線圓柱面上截所有母線成等角(不等于直角)的曲線叫作螺旋線.我們用α記螺旋線和圓柱母線的交角.和圓柱母線相交成直角的線是圓截線.我們可以把圓截線看成是螺旋線的一個極限情形,這時候α變成直角.同理,圓柱的母線也可以看成是另一個極限情形,這時候α①讀者如能把尋求圓柱面上的最短線這一問題和前文尋求棱柱上的最短折線問題比較一下,倒很存心思(前一問題是后一問題的極限情形).變成0.我們現(xiàn)在來研究圓柱面上的兩個運動:和軸平行(沿母線)的運動與用一定速度繞著軸轉(zhuǎn)(沿圓截線)的運動.這兩個運動任何一個都可以朝著兩個相反的方向舉行.我們把在豎立圓柱上的向上的運動作為正,向下的運動作為負(fù),又把在豎立圓柱上從右到左的轉(zhuǎn)動(對于頭上腳下沿著圓柱的軸站著的人來說)或逆時針轉(zhuǎn)作為正轉(zhuǎn)動;從左到右的轉(zhuǎn)動或順時針轉(zhuǎn)作為負(fù)轉(zhuǎn)動.沿螺旋線的運動可以從兩個運動相加得到:這兩個運動就是和圓柱的軸平行的運動和繞軸的轉(zhuǎn)動.假若沿著一條螺旋線向上運動同時做著正圖11轉(zhuǎn)動一從右到左(圖11),這條螺旋線就叫作右螺旋線,若是向上運動同時做著負(fù)轉(zhuǎn)動一從左到右,這條螺旋線就叫作左螺旋線.許許多多繞著豎立的支桿爬的蔓生植物(牽?；ā⒉硕?都取右螺旋線的形式(圖12).另外,例如蛇麻草,卻取左螺旋線的形式(圖13).假設(shè)一點在沿螺旋線運動的時候,交某一母線于點M,而在繼續(xù)沿這條螺旋線運動的時候,它又再交這最短線條母線于點N;當(dāng)這點走完螺旋線的弧MN的時候,它就繞著圓柱的軸轉(zhuǎn)了一個全周;同時它還向上走了一段距離,等于直線段MN的長(圖11).假若轉(zhuǎn)動的速度是0,因而點只是沿著母線平行圓柱的軸移動,這時就浮上了第一種極限情形;假若平行圓柱的軸的移動速度是0,因而點只是繞軸沿圓周轉(zhuǎn)動,這時就圖12圖13按照以上所說,我們就得出:定理1.1圓柱面上聯(lián)結(jié)給定的A,B兩點的最短弧A3.聯(lián)結(jié)給定的兩點的螺旋線圓柱面上的兩點可以用不同的螺旋線弧聯(lián)結(jié)起來.假定圓柱面上的兩點是由最短弧AB聯(lián)結(jié)在一起的;這段弧一定是一條螺旋線的弧,而當(dāng)把圓柱面展開(沿一條和弧AB我們現(xiàn)在把圓柱面沿一條和最短弧AB相交于點C的母線P1Q1剪開(圖7).弧AB就被切成AC和CB兩段,假若把圓柱面展開成平面上的矩形,A,B兩點就分離變成矩形里面的A′′和B′′兩點(圖14),而弧AB的兩個部分AC和CB分離變成直線段A′′C′′和B′′C′.但點A′圖14現(xiàn)在把我們矩形的側(cè)邊P1?′Q1?′和P1?′′Q1?′′粘在一起,使得C′和C′′合在一起占領(lǐng)了位置C,這樣重新把這個矩形卷成圓柱;這時A′′和B′′兩點重新變成圓柱面上的A,B兩點,直線段A′′C′′和B′′C和矩形的邊P1?′Q1?′或P1?′′Q1?′′不相交的線,在矩形卷成圓柱之后,變成了和母線P1Q1也不相交的線(因為矩形的邊P1?′Q1?′和P現(xiàn)在過點A和圓柱的軸引半平面R1,又過點B和圓柱的軸引半平面R2這兩個半平面做成兩個二面角.這兩角當(dāng)中的一角包含弧AB,另一角包含弧AB但若半平面R1和R2一個是另一個的延續(xù)(也就是它們的夾角等于一個平角),那弧AB和AB在長度上相等.在這種情形,圓柱面上聯(lián)結(jié)圖15圖16我們所研究的聯(lián)結(jié)A,B兩點的螺旋線弧AB和AB有一個共通的性質(zhì):沿這兩條弧的任何一條從點A到點現(xiàn)在把一張狹長的矩形紙條(假定它圖17的寬等于圓柱的高(圖17))繞圓柱里纏許多層.在這張紙上用針在A,B兩點各穿一孔,然后把它展開成平面上的矩形.紙條上的某些地方會有點A的穿孔足跡,在圖18里,這些足跡用字母A1?′,A2?′,A3?′,?來記.這些足跡在一條和矩形橫邊平行的水平直線上.若過點A1?′,A2?′,A3?′,?引直線P1?圖18紙條上的點B1?′,B2?′,B3?′,用直線把點A1?′和點B1?′,B2?′,B3?′?聯(lián)結(jié)起來.然后重新把我們的紙條卷在圓柱上,使得點A1?′,A2?′,A3假若沿著圓柱面上的曲線AB從點A到點B,我們繞圓柱的軸完成了多于n個而少于n+1個正(負(fù))的全周,或恰好n個全周,為容易起見,我們就說,這條曲線AB繞圓柱的軸轉(zhuǎn)了當(dāng)把平面裹纏在圓柱上的時候,直線段A1?′B2?′也變成聯(lián)結(jié)A,B兩點的一條螺旋線弧AB1(圖19);同樣,直線段A1?′B3?′,圖19圖20圖21弧AB1是聯(lián)結(jié)A,B兩點并繞圓柱軸轉(zhuǎn)一個正整周的弧當(dāng)中最短的一條.同樣,上面所研究的弧都是右螺旋線弧.同樣也可以得到聯(lián)結(jié)A,B兩點繞圓柱軸轉(zhuǎn)一個、兩個、三個...負(fù)整周的左螺旋線弧(圖21).這些弧每一條都是聯(lián)結(jié)A我們現(xiàn)在來說明,一根在點A和點B固定并且繃得緊緊的彈性細(xì)線,比如一根橡皮筋在圓柱面上是落在什么樣的位置的.繃緊的時候,這根細(xì)線落在一條最短線上,就是說,落在一條聯(lián)結(jié)A,B兩點的螺旋線上.比如說,假若我們把細(xì)線纏在圓柱上,使得沿著這根細(xì)線移動的時候,必須繞軸作正轉(zhuǎn)(從右到左),那么這根細(xì)線就落在螺旋線AB,AB1,AB2,?事實上,在平面上的矩形上,緊繃在點A1?′和點B1?′,B2?′,B3?′,?當(dāng)中某一點的細(xì)線必落在直線段A1?′B1?§3錐式曲面上的最短線1.錐式曲面上的最短線設(shè)從點O引兩條射線OA和ON,使射線OA繞射線ON轉(zhuǎn).這時候射線OA所描出的面叫作錐式曲面(圓錐曲面)(圖22),ON叫作圓錐的軸.過點O①圖22里所畫的只是無限圓錐的一部分.最短線假若過母線OA和OC所引的平面也過圓錐的軸,這兩條母線就叫作對母線.兩條對母線把圓錐分成兩個相等的(全同的)部分.我們把錐式曲面沿母線OA剪開;剪開以后,錐式曲面就可以展開在平面上.圓錐的頂點O變成平面上的點O′,圓錐的母線變成平面上過點O′的射線.囫圇錐式曲面就變成平面上的某一個∠A1?′O′A2?′(圖23),這個角叫作圓錐的展開角,它總小于360°.角的邊O′A1?′和O′A2?′是由錐式曲面上的母線OA做成的,我們就是沿著這條母線把錐式曲面剪開的.和母線OA相對的母線OC變成了∠A1?′O′A2?′的平分線O′C′圖22圖23我們已經(jīng)把剪開了的錐式曲面展開在平面上.現(xiàn)在我們做一個相反的動作——把∠A1?′O′A2?′卷成圓錐.這時候點O′變成了圓錐的頂點我們把平面沿角的邊O′A1?′剪開.再把剪開了的平面裹在圓錐上.普通說來,這時候平面要把圓錐面裹上幾層.比如說,假若圓錐的展開角等于90°,那平面就要把圓錐面裹上四層;這就是說,假若過點O′引射線O′A2?′,O′A3?′,O′A4?′但若展開角等于,比如說100°,那剪開了的平面就會有三層徹低蓋滿圓錐面,此外,圓錐有一部分還裹上了第四層(平面是由三個用O′作頂點的互相鄰接的100°的角和一個60°的角所組成,100°2.錐式曲面上的短程線我們現(xiàn)在來研究平面上一條隨意直線l′.假設(shè)直線l′經(jīng)過點O′,因而它就是由兩條射線O′D′和O′E′所組成(圖24).把平面裹在圓錐上的時候(這時點O′落在圓錐的頂點O上),射線O現(xiàn)設(shè)直線l′不過點O′(圖25).我們沿一條和直線l′平行的射線O′A′把平面剪開,并把剪開了的平面裹在錐式曲面上.這時直線l′變成了錐式曲面上的某一條曲線①這兩條母線可能合并成一條.假若圓錐展開角的度數(shù)是180°的一個因數(shù),就是說,倘若這個角等于180°,90°,60(也叫測地線).直線l′上的每一段都變成曲線l上的一段弧.反過來,曲線l的每一段弧,在把錐式曲面展開在平面上的時候,又變成了直線l圖24圖25圖26這樣得到的曲線在圓錐面上所起的作用和螺旋線在圓柱面上所起的作用相似.我們現(xiàn)在把錐式曲面上的A,B兩點用這個曲面上的一切可能的線聯(lián)結(jié)起來,并設(shè)它們當(dāng)中的一條,弧AB,長度最短.當(dāng)把錐式曲面展開在平面上的時候,弧AB就變成平面上的弧A′B′;因為弧AB是錐式曲面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的線當(dāng)中最短的一條,所以A′B′是平面上聯(lián)結(jié)A′我們現(xiàn)在看得出來,短程線的形狀實質(zhì)上是按照圓錐的展開角而不同的.3.短程線上的二重點我們先引進(jìn)下面的定義.假設(shè)沿某一條線q移動,我們兩次經(jīng)過同一點A,這點A就叫作線q的二重點Φ.圖27里的點B是線l的一個二重點:沿線l順著箭頭的方向移動,我們就兩次經(jīng)過點B.定理1.2若圓錐的展開角大于或等于180°,則在它上面的短程線就沒有二重點.但若圓錐的展開角小于180°我們現(xiàn)在來看平面上的一點O′和不過O′的直線l(圖28).若把平面裹在圓錐上,使得O′落在圓錐的頂點O上,則直線l′就變成一條短程線圖27圖28設(shè)C′是從O′到l′上的垂線的垂足,在把平面裹在圓錐上的時候,射線O′C′就變成圓錐的一條母線OC.點C偶爾叫作錐式曲面上的短程線的頂點.我們用OA來記圓錐的對母線,OA和OC把圓錐的面分成兩個相等的部分S和T.把圓錐面沿母線O①二重點偶爾又叫作耦點.最短線OC重新變成射線O′C′,這時短程線l重新變成直線l′.囫圇錐式曲面變成了∠A′O′A′′,它的兩半部分S和T變成了這個角的兩半我們現(xiàn)在分成兩種情況來研究.(1)∠A′O′A′′(圓錐的展開角)大于或等于180°(圖29).直線l′徹低在這個角的里面.假若重新把這個角裹在錐式曲面上使得角的兩邊O′A′和O′A′′和母線OA圖29(2)∠A′O′A′′小于180°.和角的平分線O′C′垂直的直線l′△B′O′B′′是一個等腰三角形,因為它的高O′C′就是它的角平分線.我們把∠A′O′A′′重新裹在圓錐面上,使得O′變成圓錐的頂點,而角的兩邊O′A′和O′A′′變成母線OA.點B′和B′′,因為線段O′B′和O′B′′相等,所以落在這條母線上的同一點B(圖27).直線l′變成了短程線l,直線l′包含在∠B′O′B′′里的S′這一半里面的一段B′C′變成了線l在錐式曲面上S這一半聯(lián)結(jié)B,C兩點的一段弧BC我們現(xiàn)在來說明:一條短程線究竟有多少個二重點?下面的定理回答了這個問題,這個定理是上面一個定理的改進(jìn).定理1.3假定圓錐的展開角等于α(α1.若180°不能被α所整除,則短程線的二重點的數(shù)目等于分?jǐn)?shù)180°2.若180°能被α所整除,則二重點的數(shù)目等于若α>180°,則分?jǐn)?shù)180°α的整數(shù)部分等于0;若α=180°還需要研究的是α<180°的情形.我們依然用上面一個定理的記號.∠A′O′A′′(圖30)是圓錐的展開角.過點O′引直線l′的垂線O′C′和平行線KL,KL分平面成兩個半平面.我們只看直線l′所在的這一半平面.過點O′在這半平面上引一系列射線,它們和射線O′C′的交角是α2的倍數(shù).這就是射線O′B′,O′B′′,O′B1?′,O′B1?′′,?它們和直線l′分離交于點B′,B′′,B1?′,B1?′′,?注重O′B′=O′B′′,圖30圖31因為直線段O′B′=O′B′′,O′B1?′=O′B1?′′,所以每一對點B′和B′′,B1?′和B1?′′,??同落在一條母線上,而且兩兩重合:點B′和B′′重合而且都落在母線OA的點B上,B1?′和B1?′′都落在母線OC的點B1上,等等.因此,點B,B1,?都是直線l′在把半平面裹在圓錐上的時候所變成的線l的二重點,這種點的數(shù)目等于直角K要把這個定理徹低證實,我們還應(yīng)該指出,短程線上所有的二重點正是從直線l′上的點B1?′和事實上,假若在把半平面裹在圓錐上的時候,直線l′上的兩個點變成了圓錐上的同一個點,那么我們就得到了短程線l上的一個二重點.這就必須讓這兩點都距O′同樣遠(yuǎn),而且同在l′上.也就是說,這兩點必須在l′上關(guān)于C′對稱.現(xiàn)設(shè)有兩點,一點我們叫它作F′(參看圖30),是在C′的左邊,而另一點F′是在C′的右邊.假若點F′不是點B最短線角我們用字母St?′和Tt?′分離標(biāo)出.假若點F′是在角Si?′里面,那么和它對稱的點F′′就在角Ti?′里面,就是說,把半平面裹在圓錐上的時候,若點F′變成半圓錐S上的一點,則點F′′就變成半圓錐T上的一點;反過來,若點F′變成半圓錐T上的一點,則點F′′就變成半圓錐S上的一點.無論哪一種情形,F′現(xiàn)在來研究兩條平行直線KL和l′之間的帶形區(qū)域.我們建議讀者自己去研究一下,對于圓錐展開角α的各種不同數(shù)值(對于α>180°,重復(fù)上節(jié)末尾所作的論證,我們可以斷定,繃緊了的彈性細(xì)線在圓錐面上是取短程線的位置.注在圓錐面上也可以研圖32究螺旋線,也就是和圓錐的所有母線交成等角α的線(圖32).當(dāng)α=0°和α=90°的時候,圓錐上的螺旋線4.關(guān)于圓錐上的短程線的克萊拉定理設(shè)C是圓錐面上短程線s的頂點,它和圓錐的頂點的距離是直線段OC=c,和圓錐的軸相距r0(圖33).這樣,短程線在點C和母線OC垂直.又設(shè)A是短程線上的隨意一點,r是點A和圓錐的軸的距離,α是短程線s和母線OA的交角,ll(1.1)圖33要證實公式(1.1),可以把圓錐面展開在平面上(圖34).這時候OC和OA變成O′C′和O′A′(長度c和l這時保持不變),短程線s的弧AC變成直線上的線段A′C′,同時O′C′和直線A′C′l這就是我們所要證實的.注重,假若δ是圓錐的母線和它的軸之間的交角(參看圖33),那么r=lsinδ.用l圖34或r(1.2)這里的c1=上面的等式證實了下面的定理.定理1.4對于錐式曲面上的短程線s上的所有的點,量rsinαr(1.3)這里r是點A到圓錐的軸的距離,α是母線OA和短程線s這個定理是克萊拉定理的一個異常情形(參看第10節(jié)).圓柱可以看作圓錐的極限情形(圓錐的頂跑到無窮遠(yuǎn)處),圓錐上的短程線就相當(dāng)于圓柱上的螺旋線.顯然,公式(1.3)對圓柱依然保持有效:圓柱上所有的點到軸的距離r都是一樣的,螺旋線和圓柱母線之間的交角α對于螺旋線上所有的點也徹低相同.§4球面上的最短線1.線的長度在研究圓柱面和圓錐面上的最短線的時候,我們利用了這樣的一個事實,就是圓柱面和圓錐面可以展開在平面上.但在研究球面上的最短線的時候,這個主意并不適用,球面不能展開在平面上.我們現(xiàn)在往返憶一下,在初等幾何學(xué)里我們是怎樣證實,在所有聯(lián)結(jié)兩定點的線當(dāng)中,直線段有最小的長度.這個性質(zhì)是從三角形兩邊的和大于第三邊這一定理推出來的.換句話說,按照這一定理,我們可以證實:直線段AB比所有有同樣端點A0=A和An=B的折線A0A1A2?A圖35會縮短折線(因為△A0A1A2里A0A2邊小于A0A1和①倘若A0,A1,A2在同向來線上,那么線段A0A1和A1A2長的和就等于A0A2代替折線A0A1A2?An?1An,這樣就減少了一邊.同理,在這條折線里,相鄰的兩段A0A2和A2A3又可以用一邊A0A3去代替,這不會增大折線的長度.我們得到了折線A0A3?An?1An,它的邊數(shù)又減少了一邊.這樣,我們就可以順次把折線的邊數(shù)減少,向來到把它減少到惟獨一邊一向來線段A0要想對聯(lián)結(jié)A,B兩點的隨意線導(dǎo)出類似的結(jié)論,我們必須先對曲線的長度下一個同理,我們也可以對隨意曲線的長下定義.假設(shè)已經(jīng)給定了一條聯(lián)結(jié)A,B兩點的線q(圖36).我們沿這條線順著從A到B的方向移動,并順次標(biāo)出n+1個點:A0=A,A1,A圖36因為直線段AB比任何聯(lián)結(jié)A,B兩點的折線的長都要短,而聯(lián)結(jié)這兩點的曲線的長是聯(lián)結(jié)這兩點的折線的長的極限,所以可以推知,直線段是所有聯(lián)結(jié)2.球面上的最短線我們現(xiàn)在來尋求球面上的最短線.我們注重到,若球面上的兩點A,B不是在同一直徑的兩端,那過這兩點只能做唯一的一個大圓.過同向來徑的兩個端點卻可以引無數(shù)多個大圓.后面這一情形我們暫時不來研究:說到球面上的兩點,我們都假定這兩點不在同過球面上給定的兩點A和B我們引一個大圓.A,B兩點(因為它們不是同一條直徑的端點)把大圓分成兩個不相等的弧.我們用AB假設(shè)我們在球面上給定了三點:A,B,C,兩兩用大圓的弧AB,BC,C對于球面三角形也有一個和普通(平面)三角形里關(guān)于邊長的基本定理類似的定理.定理1.5球面三角形的任一邊小于其他兩邊的和.我們現(xiàn)在來研究用點O做心的球面上的球面三角形ABC(圖37).這個三角形的AB邊是一個大圓的弧,也就是用O做心的圓弧;在這個圓所在的平面上,弧AB對圓心角AOB.同理,在BC邊和CA邊所在的平面上,這兩個弧分離對圓心角BOC和C我們大圓所在的三個平面做成一個三面角,它的頂點是O,平面角是AOB,B假設(shè)在球面上給定了一系列的點A0,A1,A2,A3,?,An圖37圖38對于平面來說,從三角形任一邊小于其他兩邊的和,就可以證實直線段AB短于聯(lián)結(jié)A,B兩點的折線.對于球面來說,同樣也可以從球面三角形任一邊小于其他兩邊的和,推出大圓的弧AB小于所有聯(lián)結(jié)同樣兩點的折線.再有,對于球面也正和對于平面一樣,聯(lián)結(jié)A,B兩點的曲線的長可以從聯(lián)結(jié)這兩點的球面折線的長的極限得出.因為大圓的弧A弧AB短于任何聯(lián)結(jié)A,B兩點的折線這一定理的證實基本上是重復(fù)了平面上關(guān)于折線的類似定理的證明.現(xiàn)設(shè)已經(jīng)給定了弧AB和折線A0A在球面三角形A0A1A2里,A0A2邊小于A0A1和A1A2兩邊的和?1.我們用弧A0A2去代替兩邊A0A1和A1A2①假若點A1,A0和A2在同一大圓上,那么,假若A0A1和A1A2兩邊的和小于半圓周的話,A0A2邊就等于這兩邊的和,假若這兩邊的和大于半圓周的話,A0AB的折線,最后總算得到了惟獨一條邊的折線,也就是弧AB自己.在這一過程當(dāng)中,折線的長總是減小或保持不變.但折線的長不可能每步都保持不變,因為這就是說點A0,A1,?,An都在同一個大圓的弧A我們現(xiàn)在來研究A,B兩點是在球的同向來徑的兩端的情形.在這種情形,有無數(shù)多個大圓的弧聯(lián)結(jié)A,B,并且用AB作它的直徑.它們一致是一樣長的.另外,所有聯(lián)結(jié)A,B兩點的其他曲線q都有比大圓的半周更大的長度.事實上,設(shè)點C(A,B以外的)在q上,把這條線分成兩條線AC和CB.作大圓的半周ACB,它由兩段弧AC和CB組成.這兩段弧當(dāng)中任一段都短于球面上聯(lián)結(jié)同樣兩點的任何其他曲線.因為我們的曲線q不是半圓,所以它的兩部分AC和CB當(dāng)中至少有一部分不和相應(yīng)的弧AC或CB重合.于是,AC的長大于A對于在直徑兩端的兩點A和B,有無數(shù)多條聯(lián)結(jié)這兩點的最短線;這就是所有聯(lián)結(jié)A,B3.注假若不改變球面的形狀,就是說,假若不改變球面上的線的長度,球面是不可能展開在平面上的.但是球面上沿著某一條線q的極其狹窄的帶形,只要允許這條狹窄帶形上的線的長度可以有一點輕微的改變的話,卻可以展開在平面上.而在球面上所取的帶形越窄,這種長度的改變就越小,就可以越確切地把這條帶形展開在平面上.用極限論的話來說,那就是帶形上的線的長度的改變和帶形的寬度比較起來是一個高階無窮小的量.倘若把球面上的一狹窄帶形展開在平面上,那么這條帶形里的一段大圓的弧就變成一條直線段(逆命題也是對的).事實上,球面帶形上的大圓的弧AB是帶形上面聯(lián)結(jié)A,B兩點的弧當(dāng)中最短的一條.假若在把帶形展開在平面上的時候,A,B兩點分離變成了A′和B′,那么弧AB變成了平面上聯(lián)結(jié)A′和B′推論我們在球面上沿著大圓兩側(cè)剪下一條狹窄的帶,然后把它剪斷再展開在平面上.這條帶形就變成平面上的矩形長條;大圓變成長條的中線.反過來,假若把一平面上的矩形的狹窄長條(帶子)卷在球面上,那么這個長條在球面上必沿著大圓纏繞(圖39).最短線我們現(xiàn)在來研究包含小圓(就是球面上大圓以外的圓)q圖39我們先指出下面的事實.我們用一個和圓錐的軸垂直的平面去截圓錐的面,這個平面交圓錐的面于圓q.各母線從圓錐的頂點O到圓q的一段都相等(例如在圖40里,OA=OB=OC).假若沿母線OC剪開圓錐的面并把這個面展開在平面上,那么圓q變成半徑等于OC的一個圓q′我們現(xiàn)在回到球面上來(圖42).過小圓r1的中心O1和球心O引直徑AB;用AB作直徑作大圓p,交小圓p1于點C.設(shè)r是p1的半徑,R是球的半徑,α圖40圖41第1章最容易的面上的最短線圖42cos過點C引p的切線CD,和直徑AB的延伸線交于點D.我們有:∠CDO=C==現(xiàn)在把圖形繞軸AB轉(zhuǎn)一周.這時直線CD就轉(zhuǎn)成一圓錐面;圓p就描成一個半徑為R的球.這個圓錐面和球面沿著圓r圓p上包含點C的一段極小的弧C1C2可以看成最短線和切線上的一段極小線段一樣?1.當(dāng)這段弧繞AB轉(zhuǎn)的時候,它就描出一個包含小圓p1的球面帶形.這條帶形可以看成和圓錐上的帶形一樣?②,這個圓錐就是剛才所說的沿著圓p1和我們的球面相切的一個(圓錐面上的這條帶形就是由切線上我們認(rèn)為和弧C1C2一樣的那一段轉(zhuǎn)成的).若把這條帶形沿l所以球面上用圓p1作中線的狹窄帶形,也就展開成一個平面上的帶形,它圍繞著用l反過來,我們現(xiàn)在要把一個用半徑l的圓弧作中線的狹窄的平面上的帶形卷在球面上,它一定沿一個小圓裹在球面上,這小圓的半徑是由下式l決定的.不難證實r①這里所謂一樣是說,把和C1C②這里所謂一樣,也是指在和上一個注里同樣的意義下說的.平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題§5平面曲線的切線和法線以及有關(guān)的一些問題第1.曲線的切線設(shè)在平面上或空間里有某一曲線q和q上的一點A(圖43).章圖43我們現(xiàn)在來看這條曲線上的另一點B.用直線n聯(lián)結(jié)A,B兩點,這條直線叫作割線.把點B沿曲線q移近點A,這時割線n就繞著點A轉(zhuǎn).這就是說,當(dāng)點B移動到點B1,B2,B3,?的位置的時候,割線n也就跟著移到直線AB1,AB2,AB3,?的位置.當(dāng)點B趨于點A,割線我們可以想象一個質(zhì)點沿著曲線q運動,它在點A離開曲線.在離開之后,按照慣性,它就開始沿著我們的曲線在點A的切線n02.法線我們現(xiàn)在假定曲線q是在某一平面上的(這樣的曲線叫作平面曲線).過點A和曲線q在這一點的切線n0垂直的直線MN叫作曲線q在點A3.二曲線間的最短距離我們現(xiàn)在來研究只能沿曲線q移動的一點A.設(shè)P是作用在點A的合力(圖45),我們把力P分成兩個分力一切線分力P1(朝著曲線q在點A的切線的方向上的)和法線分力P2(朝著曲線q在點A的法線的方向上的).切線分力沿曲線q推進(jìn)點A.因此,若缺少切線分力,就是P和P2相合,也就是說,若P朝著曲線q在點A的法線方向,那么點圖44圖45第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題再來研究兩條曲線q和q1.我們要求出一端A在q上,另一端B在q1上的許多線當(dāng)中最短的一條(圖46).我們假定曲線q和q1固定不動而且是剛性的,現(xiàn)在來研究一條彈性細(xì)線r,它的一端A沿著曲線q移動,另一端B沿著q1移動(可以這樣設(shè)想,比喻說,在點A有一個套在曲線q上的小環(huán),在點B有另外一個套在q1上的小環(huán),細(xì)線的兩端分離系在這兩個環(huán)上).細(xì)線r會盡力緊縮來取得一個使它的長度最小的位置.設(shè)A0B0就是細(xì)線的這種位置,細(xì)線在這種位置就會保持平衡.顯然,A0B0是聯(lián)結(jié)q上的點A0和q1上的點B0的一條直線段(倘若這條線不是直線段,那么保持兩端點位置不變,這條線還可以縮短).因為在A0B0位置的細(xì)線是平衡的,所以它的端點A0也一定在平衡狀態(tài),在點A有一個沿著線段A0B0方向的張力作用著.由上面所推出的曲線上的點保持平衡的條件,可知直線段圖46因此,聯(lián)結(jié)兩條曲線上的點的許多線當(dāng)中,最短的是這兩條曲線的公法線.最短線同樣,聯(lián)結(jié)一點A和曲線q的線當(dāng)中,最短的是曲線q過點A的法線.4.關(guān)于反射的問題設(shè)q是一固定曲線.我們現(xiàn)在要研究聯(lián)結(jié)給定的兩點A和B并且和曲線q有公共交點C的各種可能曲線ACB,或者是所謂聯(lián)結(jié)A,B兩點的經(jīng)曲線我們來研究兩端A,B固定而上面有一點C沿曲線q移動的細(xì)線A圖47設(shè)AC0B是聯(lián)結(jié)A,B兩點的經(jīng)曲線q反射的許多線當(dāng)中最短的一條(C0是曲線q顯然,最短線的兩個部分AC0和C0B都是直線段.細(xì)線上的點C0在曲線上也處在平衡狀態(tài);在這一點上有兩個張力作用著,就量上來說它們等于?1:朝著線段C0A的方向的力T1和朝著線段C0B的方向的力T2,它們的合力T0朝著∠AC0B的平分線的方向.由平衡條件,可知T0是朝著曲線q①在細(xì)線上任何一點的張力都是一樣.第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題聯(lián)結(jié)A,B兩點的經(jīng)曲線q反射的曲線當(dāng)中最短的是折線AC0B,它用曲線q上這樣的一點C05.域里的最短距離我們現(xiàn)在要研究平面上由某一條線所包圍的區(qū)域或者所謂域.域可以是有限的(圖48里的域I),也可以是無限的(例宛若一圖里從平面上除去域I以后所得的域II).圖48我們要求出在域I里聯(lián)結(jié)這域里的兩點A,B的線當(dāng)中最短的一條.這條線AB是I里系在A,B設(shè)s0=AD1E1D2E2?DnEnB是線s當(dāng)中最短的一條.它是由邊界的幾個部分E1D1邊界上屬于s0的部分D1最短線凸向I的這一側(cè).事實上,對于邊界q上凸向II這一側(cè)的每一充足小的部分CC′,弦CC′都在I里面;這弦比弧CC′短;因此,假若線s0包含邊界上的這種弧CC′這樣,最短線只能包含邊界上凸向I這一側(cè)的部分.屬于s0的組成部分的線段AD1,E1D2,?,En?1圖49事實上,例如在點D1,細(xì)線的兩個部分相遇:一個是線段AD1,一個是曲線q的一部分D1E1?AD1這一部分的張力T1朝著線段D1A的方向(圖49),D1E1這一部分的張力T2朝著q在點D1的切線方向.假若T1和T2的方向之間的交角不等于180°,那么力T1和T2的合力T0因此,在域I里聯(lián)結(jié)A,B第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題段AD1,E1D前文在研究多面角的面上的最短線的時候,關(guān)于展開面上直線所在的位置我們曾經(jīng)做了一些保留.按照本節(jié)所說的材料,以前所加的限制可以除去了.§6平面曲線和空間曲線論里的幾點知識1.密切圓假設(shè)給定一條平面曲線q(圖50).在這條曲線上的點A我們作它的切線KL和法線MN;也作各種可能有的在點A和直線KL相切的圓(也就是在點A和曲線q有公切線的圓);顯然這些圓的中央都在法線圖50在所有的這些圓上,有一個和曲線q在點A最接近的圓.在我們的圖里圓r就是這個圓,這個圓叫作密切圓.曲線q上包含點A的小弧BC大致可以看成是密切圓的一個弧.弧BC越小,我們就可以更確切地用最短線圓r的弧去代替它.圓r的中央O偶爾叫作曲率中央.因此,曲線q上包含點A的小弧BC大致可以看成是用曲率中央圓心是在圓的兩條半徑的交點上,但因半徑是圓的法線,所以我們可以說,圓心是在圓的法線的交點上.我們現(xiàn)在來研究一條隨意的曲線q和它上面的一點A以及包含這點的一條小弧BC(圖51).這弧大致可以看成是在點O的密切圓的一段弧.怎樣尋求這圓的中央(曲率中央圖51因為我們把弧BC大致看成是密切圓的一段弧,所以我們可以說出下面的曲率中央的作圖主意.過點A和曲線q上隨意一個和它逼近的點A1引q的法線.這兩條法線交于點O1.假若我們把弧BC看成是密切圓的一段弧,按照前面所說,點O1注我們作密切圓心的主意是一個近似的主意.弧BC越小,我們的作法越確切.我們可以對曲線q第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題點A的曲率中央下一個(確切的)定義,那就是點A的法線和A的鄰近一點A1的法線的交點當(dāng)A1趨近于A的時候的極限位置.引第二條法線的點A1越逼近點A,這兩條法線的交點O1就越臨近極限位置O.密切圓可以這樣下定義,那就是用O作中央,例在圖52里,我們用剛才的近似主意作出了橢圓在兩頂點B和A的曲率中央和密切圓.2.空間曲線前面我們研究了平面上的曲線,現(xiàn)在我們來研究空間里的曲線.我們注重到,確實有不能安放在平面上的曲線存在.比如螺旋線就是這種曲線.事實上,假定我們在圓柱上給定一條螺旋線q;如果q可以安放在某一平面Q上,那么它就是這個平面和圓柱的交線.這有兩種可能:或者平面Q和圓柱的軸相交,或者和圓柱的軸平行.若平面和圓柱的軸相交,則它就沿某一閉曲線(沿橢圓,圖53)和圓柱面相交,而不是沿一條螺旋線,因為螺旋線不是閉曲線.又若平面和圓柱的軸平行,則它或者沿兩條直線和圓柱面相交,或者和圓柱面相切因而有一條公共直線,或者還可以和圓柱根本不相交.在任何情形,螺旋線都不可能是平面和圓柱面的交線.圖52圖53空間曲線的切線也可以宛若平面曲線的情形一樣下定義.設(shè)A是空間曲線q上的一點,過點A和曲線在這一點的切線垂直的一切直線都叫作q在點A的法線.但在直線上任一點在空間里可以作無數(shù)多條直線和它垂直.因此,曲線q在點A的法線就有無數(shù)多條:它們填滿了在點A和切線垂直的囫圇平面(圖54).圖543.密切平面我們在曲線q上取一點A,又在這一點作一條和曲線q相切的直線MN(圖55).假設(shè)A1是曲線上的一點,它和點A很臨近.空間曲線q的一段小弧AA1大致可以看成是一條平面曲線的弧.過切線MN和點A1所引的平面Q大致可以看成是曲線上的小弧AA1所在的平面.平面Q叫作曲線第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題切平面.注我們現(xiàn)在來給密切平面下一個確切的定義.過我們的曲線在點A的切線MN和同一曲線上的另一點A1引平面Q′.設(shè)點A1沿曲線q移動趨于點A,這時候平面Q′要繞MN轉(zhuǎn)動而趨于一極限平面Q,這極限平面就叫作密切平面.假若點A1異常臨近點A,那么過MN和點A1的平面Q′就異常臨近極限平面4.主法線曲線q在點A的無數(shù)多條法線當(dāng)中,在密切平面上的一條法線AT叫作q在點A圖55假若曲線q所有在平面Q上(就是說,假若q是一條平面曲線),那么平面Q就是曲線q上一切點的密切平面,而q在這個平面上的法線也就是它的主法線.5.空間曲線的密切圓空間曲線q上包含點A的一段小弧可以大致認(rèn)為是曲線q在點A的密切平面上的一條平面弧.但每一條平面弧本身也可以大致認(rèn)為最短線是密切圓(在這個平面上并且和曲線有公切線的)的一段弧.這就是說,曲線q上包含點A的小弧大致可以看成是密切平面上某一圓的一段弧(圖55),這個圓叫作空間曲線的密切圓,它的中央O在曲線的主法線上.因此,平面曲線和空間曲線的一小段可以大致看成是密切圓的一段弧.曲線的弧越小,用密切圓的弧去代替曲線的弧就越確切.§7曲面論里的幾點知識1.曲面的切面和法線我們現(xiàn)在來看曲面S和它上面的一點A(圖56);曲面上環(huán)抱點A的一小部分可以大致看成是曲面S在點A的切面Q的一部分.切面Q是這樣的一個平面,曲面S上過點A的曲線在點A的切線都在這個平面上.圖56第2章平面曲線和空間曲線的幾個性質(zhì)以及有關(guān)的一些問題假若在S上過點A引兩條曲線q和q1,它們在點A有不相同的切線LL1和MM1,那么切面Q就是由直線LL過點A并且和曲面S在點A的切面Q垂直的直線叫作曲面S在點A的法線.曲面的法線AN是這個曲面上過點A的一切曲線的法線(普通例球面在它上面某一點的法線就是球在這一點的半徑.圓柱面在它上面某一點的法線就是圓柱在這一點的圓截線的半徑.注曲線不一定在它上面每一點都有切線.例如我們可以取一條折線,對于折線,我們就不能決定它頂點的切線.同樣道理,空間曲線也不一定有密切平面,曲面不一定有切面和法線,等等.比如圓錐面在頂點就沒有切面和法線.在以后所有的研究里,我們只限于“平滑”曲線,就是在每一點都有切線、密切平面、曲率中央的曲線和“平滑”曲面,就是在每一點都有法線的曲面.在曲面上,我們只研究“平滑”曲線.2.點在曲面上保持平衡的條件我們現(xiàn)在來研究一個只能沿曲面S移動的點A.設(shè)P是作用在這點上最短線的合力(圖57).用P1記力P的切線分力(那就是在曲面S在點A的切面Q上的分力),又用P2記法線分力,它朝著曲面S在點A的法線方向.切線分力P1推著點A沿曲面移動,因此,要讓點A在曲面上保持平衡,必須讓切線分力P1是0,這就是說,力P和它的法線分力P2相合.所以,要使點A在曲面上保持平衡,作用在點A圖573.空間里最短線方面的一些問題試來尋求聯(lián)結(jié)兩條空間曲線上的點的最短線.重復(fù)第5節(jié)第3段的論證,我們可以證實聯(lián)結(jié)兩條曲線上的點的最短線是它們的公法線的一段.異常的情形,在空間里兩條不相交的直線上的點之間表示最短距離的線就是它們的公垂線的一段.最后,同樣可以證實,兩個曲面之間的最短距離就是它們的公法線的一段.短程線(測地線)§8關(guān)于短程線的約翰·伯努利定理第1.彈性細(xì)線在曲面上的平衡設(shè)在某一曲面S上給定了兩點A和B,這兩點可以用曲面上的無數(shù)多條線聯(lián)結(jié)起來.在這些線當(dāng)中已經(jīng)找到了最短的線3q.我們的任務(wù)就是要去研究這條最短線的性質(zhì).我們可以想象有一根在曲面上繃得章很緊的系在A,B兩點的橡皮筋(圖58).假若這條橡皮筋取最短線q的形狀,那它就是在平衡狀態(tài).事實上,假若我們多少變換它的形狀,使它離開了q的位置,那么我們就會把它拉長,而它要盡力縮短,就又會重新回到q的位置.因此,落在最短線q最短線態(tài),而且是穩(wěn)定的平衡.圖58我們現(xiàn)在就開始研究曲面上彈性細(xì)線的平衡狀態(tài)的線.我們先來看一條圓弧形狀的細(xì)線AB(圖59).在我們的細(xì)線上的一小段弧CD上,受到細(xì)線上其余部分的張力的作用,也就是說,細(xì)線的CA部分的張力作用在點C,DB部分的張力作用在點D.這些張力分離朝著細(xì)線在C,D兩點的切線方向.我們用P1和P2來記這兩個張力,就量上來說,力P1和P2是相等的,否則我們細(xì)線的圖59設(shè)點M是C,D兩點的切線的交點(力P1和P2就是朝這兩條切線方向的).我們把力P1和P2移到點M,容易看出,合力是朝著圓(細(xì)線AB所在的)的中央O的.用E記CD的中點.作用在CD上的張力的合力經(jīng)過這段弧的中點E,并朝著半徑EO的方向,因為半徑EO是弧AB在點E的法線,所以我們得到結(jié)果:作用在圓弧我們現(xiàn)在來研究普遍情形.假設(shè)系在A,B兩點的橡皮筋已經(jīng)在曲面上繃緊,它的形狀和曲線q我們在這條細(xì)線上挑出一段小弧CD①.在C,D兩點上朝著q在這兩點的切線方向的張力P1和P2作用在CD上.我們可以把曲線的一段小弧看成在這段弧的中點E的密切圓弧.這圓的半徑EO朝著曲線q在點E的主法線方向.作用在圓弧上的張力的合力是沿著穿過這段弧的中點的半徑的,在現(xiàn)在的情形就是沿著半徑EO.所以,作用在我們細(xì)線的小弧CD上的張力的合力經(jīng)過弧的中點E現(xiàn)在已經(jīng)不難求出使得細(xì)線處在平衡狀態(tài)的條件.倘若細(xì)線處在平衡狀態(tài),那么它的每一小部分CD也處在平衡狀態(tài).要使CD處在平衡狀態(tài),必須讓這個合力朝著曲面的法線方向.作用在CD上的張力有朝著曲線q的主法線EO的方向的合力.這就是說,同向來線EO必須同時是曲線q在點E①因為CD最短線線.現(xiàn)在我們得出定理:要想在曲面S上繃緊了的橡皮筋q處在平衡狀態(tài),必須在它上面的隨意一點A的主法線和曲面的法線相合.2.短程線假若在曲面S上的線q上的每一點,q的主法線和曲面S的法線相合,q叫作曲面S上的短程線.短程線也可以這樣下定義:它是曲面上這樣的曲線,在它上面每一點的密切平面必過曲面在這一點的法線.事實上,設(shè)A是曲面S上的一條曲線q上的一點,曲面在點A的法線同時也是曲線q上這點的法線;假若這條法線是在曲線q在點A的密切平面上,它也就是主法線.上面所證實的定理可以講述成:緊繃在曲面上的細(xì)線若是在這個曲面的一條短程線上,它必處在平衡狀態(tài).例繃緊在圓柱面上的細(xì)線,如我們上面所證,是沿著螺旋線的.因此,螺旋線就是圓柱面上的短程線.螺旋線的主法線和圓柱面的法線相合,而圓柱面的法線又是圓截線的半徑.所以,螺旋線的主法線是圓截線的半徑.例我們現(xiàn)在來研究,在什么樣的情形之下,平面曲線q可以是某一曲面S的短程線.用Q記線q所在的平面,對于平面曲線q說來,在它上面任何一點的密切平面也就是平面Q.由短程線的第二定義,假若q是短程線,那么曲面S在曲線q上各點的法線必然在q的密切平面上,也就是說,曲面S在曲線q上各點的法線必然在平面Q上.例我們現(xiàn)在考慮球面.用過球心的一個平面Q截這曲面,我們就得到了球面上的所謂大圓,大圓是球面上的短程線.事實上,球面在大圓上各點的法線是球的半徑,在大圓上各點的半徑是在這個圓所在的平面上的.我們有了一個曲面上的平面曲線的例子,曲面在這條曲線上各點的法線都在這條曲線所在的平面上.而我們剛才證實過,這樣的平面曲線是短程線.假若我們用一個不過球心的平面Q1沿著大圓弧繃緊的橡皮筋是處在平衡狀態(tài)的,但若它是沿著小圓弧繃緊的,那它就要從上面滑下來,因為它在這上面不是處在平衡狀態(tài).約翰?伯努利定理聯(lián)結(jié)曲面上兩點的許多線當(dāng)中,最短的是短程線弧.我們已經(jīng)有了伯努利定理的證實.事實上,我們一方面已經(jīng)證實了,一條曲線,假若橡皮筋在曲面上沿著它繃起來是處在平衡狀態(tài),那它就是一條短程線.另一方面,我們知道,曲面上系在A,B注過球面上兩點A,B作大圓q.點A和B把這大圓分成兩個弧(圖60):弧AMB和弧ANB.這兩個弧都是聯(lián)結(jié)A,B兩點的短程線.設(shè)弧最短線然這時候AMB是球面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的最短弧,而弧ANB固然也是一條短程線,畢竟不是球面上聯(lián)結(jié)A,B兩點的最短弧.球面上沿著這兩個弧當(dāng)中任一個弧繃緊的橡皮筋都處在平衡狀態(tài).但細(xì)線當(dāng)沿弧AMB繃緊的時候是處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)的.細(xì)線沿弧ANB繃緊的時候是處在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的.假若我們把細(xì)線從ANB的位置拉到變成曲線AN1B圖60這樣,我們看到,短程線這一性質(zhì)是使線變成最短的須要條件,但不是充足條件.然而可以證實,短程線上充足小的一段弧總是最短的.短程線可以這樣下定義:它是這樣的一條線,在這條線上充足小的弧段都是最短線.3.短程線的“作圖”我們用刀口沿某一曲面S上輕輕劃過,在每一眨眼,刀口和曲面在某一點A相切(圖61).同時,我們這樣來拿刀,使曲面在它和刀口接觸點的法線總通過刀面.這時候刀在曲面S上所劃出的曲線q就是一條短程線.實際上,我們現(xiàn)在來看刀所劃出的曲線q上的小弧BC和它上面的一點A.我們大致可以認(rèn)為弧BC是在當(dāng)?shù)犊诤颓嬖邳cA相切的那一眨眼的刀面上.這樣,在刀口和曲面在點A接觸的那一眨眼的刀面,就是曲線q在點A的密切平面.但我們先前面已經(jīng)知道,假若曲線q的密切平面總是過曲面的法線,q就是短程線.因此,曲線q圖61對于隨意一曲面,我們還可以研究一個問題:要把曲面上剪下來的狹窄帶形展開在平面上,還有,反過來,要把平面帶形裹在曲面上.必須更確切地下定義,說明我們是怎樣理解這些話的.設(shè)在曲面上給定一曲線q,我們用一狹窄帶形把它圍起來(圖62).普通說來,我們不一定能把這條帶形展開在平面上使得這條帶形上的曲線在長度上沒有一些改變.但帶形越窄,這種改變相對地就越小?1①用極限論的話來說,那就是曲線長度的改變在和帶形的寬度比較起來,是一個高階無窮小量.最短線圖62假若我們把曲面上的狹窄帶形展開在平面上,帶形上聯(lián)結(jié)兩定點的最短線就變成了平面帶形上有類似性質(zhì)的一條弧,也就是變成直線段.反過來,裹在曲面上的平面帶形上的直線段變成了曲面上的最短線,就是變成短程線.因此,包圍直線段的狹窄帶形(寬比長小得異常多的帶子)是這樣裹在曲面上,它使得直線段變成短程線弧.我們的窄帶子是沿著一條短程線落在曲面上的.因此,裹在曲面上的狹長帶子可以構(gòu)成曲面上的短程線的一種觀念.§9關(guān)于短程線的補(bǔ)充說明1.對稱平面現(xiàn)在我們來舉一些短程線的例子.我們先提醒讀者一個定義:若兩點A和A′在平面Q的兩側(cè),在Q的同一條垂線上,并且它們到平面Q的距離相等,則點A和A′叫作關(guān)于平面Q圖63圖64若圖形q的每一點A都對應(yīng)圖形q′上和它關(guān)于平面Q對稱的一點,反過來也是這樣,則圖形q和圖形q′叫作關(guān)于平面Q若平面Q把曲面S分成兩部分,而這兩部分又是關(guān)于Q對稱的,則平面Q叫作曲面S的對稱平面.例就球面來說,通過球心的任何一個平面都是球面的對稱平面.就圓錐面和圓柱面來說,通過它們的軸的任何一個平面都是對稱平面.對于有限的圓柱面來說,和軸垂直并把圓柱的高度平分的平面是對稱平面.對于無限的圓柱面(就是說,它的母線是無限長的直線)來說,隨意一個和軸垂直的平面都是對稱平面.定理3.1設(shè)曲面S有對稱平面Q,Q和S交于線q,那么線q是曲面的短程線?按假設(shè),線q是在平面Q上的.倘若在平面曲線q(見前一節(jié)的例)上的任一點,曲面S的法線都是在平面Q上,那么曲線q就是曲面S的短程線.設(shè)點A是曲線q上的隨意一點(圖65).我們來證①注重,我們只研究平滑的曲面.明曲面S在點A的法線是在平面Q上.我們先反過來假設(shè):曲面S在點A的法線AB不在平面Q上.把AB關(guān)于Q對稱的直線記作AB′.因為AB自己不在平面Q上,所以AB和AB′不重合.但平面Q是曲面S的對稱平面,并且倘若AB是S在點A的法線,那么和它對稱的直線AB′也是S在點A的法線.這樣一來,曲面S在點A便有了兩條法線,但這是不可能的.我們得到了矛盾,這就證實了S在任一點圖652.閉短程線倘若把橡皮圈在曲面S上繃緊,并使得這個橡皮圈處在平衡狀態(tài),那它的形狀就會是某一條閉曲線q.這條曲線q是短程線,并且還是閉的.比如,當(dāng)橡皮圈在球面上取大圓的形狀的時候,它會處在平衡狀態(tài).球面上的大圓,以及回轉(zhuǎn)橢圓面上作為子午線的橢圓都是閉短程線(關(guān)于回轉(zhuǎn)曲面,見第10節(jié)).倘若閉曲面S有某些對稱平面,那么(由上面所證實的定理)每一個對稱平面和曲面相交于一條閉短程線.有三個不同長短的軸AA′,BB′,CC′可以證實,在一切閉曲面上,至少有三條閉短程線.圖663.赫茲原理在平面上依慣性而運動的點,是沿直線運動的(牛頓第一定律).而在曲面上運動的點,倘若沒有受到外力作用,必然沿著短程線運動.這就是赫茲原理.例如,在球面上運動的點,倘若沒有受到外力作用,必然沿大圓運動,在圓柱面上卻沿著螺旋線運動.實際上,沿曲線q運動著的點,它的加速度可以分解成切線的(朝著曲線q的切線方向的)和法線的(朝著曲線q的主法線方向的)加速度.但倘若點沿著曲面S上的曲線q運動的時候沒有受到外力作用,那在這個點上作用的只是曲面的反作使勁;而曲面的反作使勁是朝著曲面的法線方向的.既然作使勁的方向和最短線加速度的方向一致,那么在每一時刻,點的加速度方向一定和曲面的法線方向相合.曲面在曲線q上某點的法線和曲線q在這一點的切線垂直.既然加速度是朝著曲面法線的方向,也就是說,和曲線q的切線垂直,那么切線加速度一定等于零.因此,我們的點惟獨法線加速度,它朝著q的主法線的方向.加速度的方向同時是曲線q的主法線方向和曲面S的法線方向.這就表示說,在曲線q上的每一點,這兩個方向相合,由此可知,曲線q是曲面S上的短程線.4.有棱曲面上的短程線我們現(xiàn)在來看一個由兩個平滑曲面S1和S2沿著曲線s拼成的曲面S,曲線s叫作曲面S的棱(二面角的面可以作為這種曲面的例子).設(shè)在曲面S上取兩點A和B,一點在S1上,一點在S2上(圖67),設(shè)q0=ACB是彈性細(xì)線在曲面S上平衡時的位置.這里,點C是在棱s上的,而曲線q0的弧AC和CB分離落在S1和S2上.顯然AC是S1上的短程線,CB是S2上的短程線.我們用第8節(jié)所用的方法來求出在轉(zhuǎn)折點C用α表示弧AC和棱s的CC′那一段所夾的角,用β表示棱的CC′′段和弧CB的夾角(就是指它們切線的夾角).作用在點C上的有這樣一些張力:朝著弧CA的切線方向的P1,和朝著弧CB的切線方向的P2.這兩個力大小相等,都等于圖67切線LL1上的射影分離等于Tcosα和T使我們得到α(3.1)這就是說,在轉(zhuǎn)折點,棱s和弧AC的夾角等于棱s和弧CB很天然地,我們把曲線q0叫作曲面S若曲面S是由幾塊平滑的部分組成,劃分這些部分的是棱s1,s2,?,s在曲面S上的最短線是短程線.第1節(jié)里所講的關(guān)于在多面角的面上最短線的性質(zhì)是有棱曲面上短程線(和最短線)性質(zhì)的異常情形.上面所說的關(guān)于在這樣的曲面上的短程線的性質(zhì)也可以從赫茲原理推出.§10回轉(zhuǎn)曲面上的短程線1.回轉(zhuǎn)曲面我們把平面曲線q繞著和q在同一平面上的直線AB回轉(zhuǎn)(圖68).繞著AB回轉(zhuǎn)q的時候,產(chǎn)生了一個曲面S,叫作回轉(zhuǎn)曲面.任何一個通過回轉(zhuǎn)軸AB的平面Q,和S相交于一對曲線q和q′.這種曲線叫作子午線.它們是由曲線q繞著回轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)一個適當(dāng)?shù)慕嵌榷玫降?每一個和回轉(zhuǎn)軸垂直的平面和曲面圖68定理3.2回轉(zhuǎn)曲面上所有的子午線都是短程線.我們來看通過軸AB的平面Q和回轉(zhuǎn)曲面相交所得的子午線q和q′.平面Q是回轉(zhuǎn)曲面S的對稱平面,因此,它和曲面S相交于短程線.于是,q和q例把橢圓E繞著它的軸回轉(zhuǎn)(圖69),我們得到所謂回轉(zhuǎn)橢圓面.它的子午線是和E相等的橢圓,這些橢圓是短程線.圖69注在圓柱面上,所有的平行圓都是短程線;在球面上的平行圓當(dāng)中惟獨赤道是短程線;在圓錐面上,沒有一個平行圓是短程線.2.克萊拉定理考慮在回轉(zhuǎn)曲面S上的短程線q.設(shè)A是短程線q上的隨意一點,r