2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學分校八年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學分校八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共有8小題，各題均附有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，每小題3分，共24分）1．（3分）2023年9月23日，第十九屆亞洲運動會在浙江省杭州市隆重舉行．下面選取的圖標是按軸對稱圖形設計的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列計算式子正確的是（）A．（a3）3＝a9 B．（2a）3＝6a3 C．（﹣a3）2＝﹣a6 D．（﹣a2）3＝a63．（3分）在△ABC中，D是BC上一點，一定能使得△ABD與△ACD面積相等的一個條件是（）A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．BD＝CD4．（3分）已知am＝2，則a2m+a3m＝（）A．10 B．12 C．13 D．325．（3分）如圖，△ABC≌△DBE，D點在AC邊上，若∠A＝70°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．70° D．45°6．（3分）如圖，△ABC，BE⊥AC邊的延長線于E點，CD⊥AB邊于D，下列結論不一定成立的是（）A．AC×BE＝AB×CD B．∠ACD＝∠ABC+∠CBE C．∠ACB﹣∠BCE＝90° D．AD+DB＞AC+CE7．（3分）如果等腰三角形有一個角等于另一個角的2倍，則下列判斷正確的是（）A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．頂角是90° D．底角是45°或72°8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分別是線段BC、AC上的一點，根據(jù)下列條件之一，不能確定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°二、填空題（本題共有8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）若4m?23＝85，則m＝．10．（3分）比較大?。?2023×7202332023×52023.（填“＞”、“＜”或“＝”）11．（3分）已知點A（2，3）、B（0，1）、C（3，1）．寫出點A關于直線BC的對稱點的坐標．12．（3分）正多邊形的每一個內角比相鄰的外角大90°，則這個多邊形的邊數(shù)是．13．（3分）如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，欲證△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，AC＝DF，還需要添加條件.（填寫一個條件即可）14．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E，交AB于F，則CE+ED+DF+FB＝．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分線，已知AC＝4cm，AB＝5cm，則S△ACD：S△ABD＝．16．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．三、解答題（第17-24題共8題各5分.第25-26題共2題各6分，共52分）17．（5分）計算：（﹣ab2）3+ab2?（ab）2?（﹣2b）2．18．（5分）計算：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）．19．（5分）先化簡，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．20．（5分）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求a2022b2023的值．21．（5分）已知：如圖，E是BC上一點，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求證：AC＝ED．22．（5分）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB的內部，OP＝25，點C和點P關于OA對稱，點P關于OB的對稱點是D，連接CD交OA于M，交OB于N．（1）補全圖．（2）寫出∠COD＝°．∠MPN＝°，△PMN的周長為．23．（5分）數(shù)學課上，黃老師出了這樣一道題：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，已知CD＝AB+BD，求證：∠B＝2∠C．小徐的思路是：在CD上截取DE＝BD，連接AE．請你根據(jù)小徐的思路，補全圖形并完成以下推理（數(shù)學依據(jù)只需注明①②）．∵AD⊥BC，DE＝DB∴AB＝AE，（依據(jù)①：）∴∠B＝∠AED，（依據(jù)②：）繼續(xù)證明如下：24．（5分）已知：如圖，線段AB∥直線l．（設AB到直線l的距離為d，滿足AB＞d）求作：點P．使得點P在直線l上，且點P、點A、點B構成的三角形為等腰三角形．（保留作圖痕跡，不必寫出作法）．解：（1）滿足條件的點共有個；（2）在圖中用尺規(guī)作圖作出滿足條件的點P；（保留作圖痕跡，不必寫出作法，不同的點從左到右用下標以示區(qū)別，如：P1，P2，…）（3）其中，使得△PAB的周長最小的點是．25．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＜60°，D點是BC邊中點，連接AD，在△ABC的外部，以AC為邊作等邊三角形ACE，連接BE，交AD于F，交AC于G．（1）依題意補全圖形；（2）求∠EBC的度數(shù)；（3）用等式表示FA，F(xiàn)D，F(xiàn)E這三條線段之間的數(shù)量關系，并證明．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點T（t，0）作垂直于x軸的直線l，點A（t﹣2，2）與點B關于直線l對稱．（1）點C是直線l上一點，連接AB，AC，BC得到△ABC．①當t＝3時，點B的坐標為；②當t＝1且直線AC經(jīng)過原點O時，點C的坐標為；③若△ABC上所有點到y(tǒng)軸的距離都不小于1，則t的取值范圍是．（2）在AB下方以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，直線m過點（0，b）且與x軸平行，若直線m上存在點P，△ABD上存在點K，滿足PK＝1，直接寫出b的取值范圍．

2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學分校八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共有8小題，各題均附有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，每小題3分，共24分）1．（3分）2023年9月23日，第十九屆亞洲運動會在浙江省杭州市隆重舉行．下面選取的圖標是按軸對稱圖形設計的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答即可．【解答】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列計算式子正確的是（）A．（a3）3＝a9 B．（2a）3＝6a3 C．（﹣a3）2＝﹣a6 D．（﹣a2）3＝a6【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、（a3）3＝a9，故A符合題意；B、（2a）3＝8a3，故B不符合題意；C、（﹣a3）2＝a6，故C不符合題意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．3．（3分）在△ABC中，D是BC上一點，一定能使得△ABD與△ACD面積相等的一個條件是（）A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．BD＝CD【分析】由三角形中線的性質可得出答案．【解答】解：若BD＝CD，則△ABD與△ACD面積相等．故選：D．【點評】本題考查了三角形中線的性質，熟練掌握三角形中線的性質是解題的關鍵．4．（3分）已知am＝2，則a2m+a3m＝（）A．10 B．12 C．13 D．32【分析】利用冪的乘方的法則進行運算即可．【解答】解：當am＝2時，a2m+a3m＝（am）2+（am）3＝22+23＝4+8＝12．故選：B．【點評】本題主要考查冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．5．（3分）如圖，△ABC≌△DBE，D點在AC邊上，若∠A＝70°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．70° D．45°【分析】根據(jù)全等三角形的性質得出AB＝DB，∠BDE＝∠A＝70°，根據(jù)等腰三角形的性質得出∠ADB＝∠A＝70°，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴AB＝DB，∠BDE＝∠A＝70°，∴∠ADB＝∠A＝70°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDE＝40°，故選：A．【點評】本題考查全等三角形的性質，等腰三角形的性質，掌握全等三角形的性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．6．（3分）如圖，△ABC，BE⊥AC邊的延長線于E點，CD⊥AB邊于D，下列結論不一定成立的是（）A．AC×BE＝AB×CD B．∠ACD＝∠ABC+∠CBE C．∠ACB﹣∠BCE＝90° D．AD+DB＞AC+CE【分析】由題意易證△ACD∽△ABE，根據(jù)相似三角形的性質即可判斷A，B，由外角的性質可判斷C，由三角形三邊的關系可判斷D．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE，∴，∠ACD＝∠ABE，∴AC×BE＝AB×CD，故A正確；∴∠ACD＝∠ABE＝∠ABC+∠CBE，故B正確；∵∠ACB＝∠CBE+∠E＝90°+∠CBE，∴∠ACB﹣∠CBE＝90°，∵∠BCE≠∠CBE，故C錯誤；∵AD+DB＝AB＞AC+BC，BC＞CE，∴AB＞AC+CE，即AD+DB＝AB＞AC+CE，故D正確；故選：C．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，三角形外角的性質，三角形三邊的關系，熟練掌握以上知識是解題關鍵．7．（3分）如果等腰三角形有一個角等于另一個角的2倍，則下列判斷正確的是（）A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．頂角是90° D．底角是45°或72°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理分兩種情況解答即可．【解答】解：設等腰三角形的底角為2x，2x，頂角為x，可得：2x+2x+x＝180°，解得：x＝36，底角為72°；設等腰三角形的底角為x，x，頂角為2x，可得：2x+x+x＝180°，解得：x＝45，底角為45°，頂角為90°，故選：D．【點評】此題考查等腰三角形的性質，關鍵是根據(jù)等腰三角形的性質分兩種情況解答．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分別是線段BC、AC上的一點，根據(jù)下列條件之一，不能確定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°【分析】首先求出∠BAC＝108°，則∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分別根據(jù)四個選項中的條件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再進行比較即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，對于選項A，當∠1＝2∠2時，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，∴∠AED＝∠ADE，故選項A能確定△△ADE是等腰三角形；對于選項B，當∠1+∠2＝72°時，則∠1＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，∴∠DAE＝∠AED，故選項B能確定△△ADE是等腰三角形；對于選項C，當∠1+2∠2＝90°時，則∠1＝90°﹣2∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，故選項C不能確定△△ADE是等腰三角形；對于選項D，當2∠1＝∠2+72°時，則∠1＝∠2+36°，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（∠2+36°）＝72°﹣∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（∠2+36°）﹣∠2＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝∠ADE，故選項D能確定△ADE是等腰三角形．綜上所述：選項C不能確定△△ADE是等腰三角形．故選：C．【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形的內角和定理，三角形的外角定理，熟練掌握等腰三角形的判定，靈活運用三角形的內角和定理，三角形的外角定理進行角度計算是解決問題的關鍵．二、填空題（本題共有8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）若4m?23＝85，則m＝6．【分析】根據(jù)冪的乘方運算法則可得4m＝22m，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解即可．【解答】解：因為4m?23＝22m?23＝22m+3＝215，所以2m+3＝15，解得m＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，熟記相關運算法則是解答本題的關鍵．10．（3分）比較大小：22023×72023＜32023×52023.（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用及的乘方將兩數(shù)變形后比較大小即可．【解答】解：22023×72023＝（2×7）2023＝142023，32023×52023＝（3×5）2023＝152023，∵14＜15，∴142023＜152023，即22023×72023＜32023×52023，故答案為：＜．【點評】本題考查積的乘方法則，將兩數(shù)進行正確的變形是解題的關鍵．11．（3分）已知點A（2，3）、B（0，1）、C（3，1）．寫出點A關于直線BC的對稱點的坐標（2，﹣1）．【分析】由軸對稱的性質，可點A關于直線BC的對稱點的坐標．【解答】解：∵B（0，1）、C（3，1），∴BC∥x軸，直線BC為y＝1，∴點A（2，3）關于直線BC的對稱點的坐標（2，﹣1），故答案為：（2，﹣1）．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，熟知軸對稱的性質是解決本題的關鍵．12．（3分）正多邊形的每一個內角比相鄰的外角大90°，則這個多邊形的邊數(shù)是8．【分析】根據(jù)正多邊形的內角與外角的性質列式計算可求解．【解答】解：設正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得，解得n＝8，故答案為8．【點評】本題主要考查正多邊形的內角與外角，掌握多邊形內角與外角的性質是解題的關鍵．13．（3分）如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，欲證△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，AC＝DF，還需要添加條件∠A＝∠D（答案不唯一）.（填寫一個條件即可）【分析】由AB∥DE，得到∠B＝∠E，由AAS即可得到答案．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC≌和△DEF中，，∴△ABC≌和△DEF（AAS）．∴還需要添加條件∠A＝∠D（答案不唯一）．故答案為：∠A＝∠D（答案不唯一）．【點評】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法．14．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E，交AB于F，則CE+ED+DF+FB＝6．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性質可得AB＝4，再利用線段垂直平分線的性質可得EA＝ED，F(xiàn)A＝FD，然后利用等量代換以及線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∵EF垂直平分AD，∴EA＝ED，F(xiàn)A＝FD，∴CE+ED+DF+FB＝CE+AE+AF+BF＝AC+AB＝2+4＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質，熟練掌握含30度角的直角三角形，以及線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分線，已知AC＝4cm，AB＝5cm，則S△ACD：S△ABD＝4：5．【分析】過D作DE⊥AB于E，由角平分線的性質得DE＝DC，再由三角形面積公式得即可得出結論．【解答】解：過D作DE⊥AB于E，∵AD是∠CAB的平分線，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵S△ACD＝AC?DC，S2△ABD＝AB?DE，∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝4：5．故答案為：4：5．【點評】本題考查了三角形面積公式以及角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質和三角形面積公式是解題的關鍵．16．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為90°﹣α（用含α的代數(shù)式表示）．【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根據(jù)四邊形內角和以及三角形外角性質，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．【解答】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，∵點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四邊形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案為90°﹣α．【點評】本題主要考查了軸對稱的性質，四邊形內角和以及三角形外角性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造四邊形AOB'E，解題時注意：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．三、解答題（第17-24題共8題各5分.第25-26題共2題各6分，共52分）17．（5分）計算：（﹣ab2）3+ab2?（ab）2?（﹣2b）2．【分析】先算積的乘方，再按照單項式乘單項式的計算方法計算．【解答】解：原式＝﹣a3b6+ab2?a2b2?4b2＝﹣a3b6+4a3b6＝3a3b6．【點評】本題考查了單項式乘單項式，能熟記整式的運算法則是解此題的關鍵，注意運算順序．18．（5分）計算：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）．【分析】利用單項式乘多項式，平方差公式進行計算，即可解答．【解答】解：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣ab﹣（4a2﹣b2）＝4a2﹣ab﹣4a2+b2＝b2﹣ab．【點評】本題考查了整式的混合運算，單項式乘多項式，平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．19．（5分）先化簡，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．【分析】根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．【解答】解：當x＝時，原式＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x＝﹣2x2+x＝﹣+＝0【點評】本題考查整式的運算法則，解題的關鍵是熟練運用運算法則，本題屬于基礎題型．20．（5分）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求a2022b2023的值．【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質得出a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+）2＝0，∴a﹣2＝0或b+＝0，解得a＝2或b＝﹣，則a2022b2023＝22022×（﹣）2023＝（﹣×2）2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝1×（﹣）＝﹣．【點評】本題主要考查非負數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握絕對值和偶次冪的非負性．21．（5分）已知：如圖，E是BC上一點，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求證：AC＝ED．【分析】根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“邊角邊”證明△ABC和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE．在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．∴AC＝ED．【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質，平行線的性質，比較簡單，求出∠B＝∠ECD是證明三角形全等的關鍵．22．（5分）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB的內部，OP＝25，點C和點P關于OA對稱，點P關于OB的對稱點是D，連接CD交OA于M，交OB于N．（1）補全圖．（2）寫出∠COD＝60°．∠MPN＝120°，△PMN的周長為25．【分析】（1）依據(jù)點C和點P關于OA對稱，點P關于OB的對稱點是D，連接CD交OA于M，交OB于N，進行作圖；（2）連接OC，OD，OP，依據(jù)軸對稱的性質即可得到∠COD＝2∠AOB，△PMN的周長等于CD的長．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖，連接OC，OD，OP，∵點C和點P關于OA對稱，點P關于OB的對稱點是D，∴∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝2∠AOB，又∵∠AOB＝30°，∴∠COD＝60°，∵OA＝OP＝OD＝25，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OP＝25，∠OCD＝∠ODC＝60°，∵∠OCM＝∠OPM＝60°，∠ODC＝∠OPN＝60°，∴∠MPN＝120°，∵AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，∴PM＝CM，PN＝DN，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝25．故答案為：60；120；15．【點評】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖以及等邊三角形的判定與性質，掌握軸對稱的性質是解決問題的關鍵．如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．23．（5分）數(shù)學課上，黃老師出了這樣一道題：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，已知CD＝AB+BD，求證：∠B＝2∠C．小徐的思路是：在CD上截取DE＝BD，連接AE．請你根據(jù)小徐的思路，補全圖形并完成以下推理（數(shù)學依據(jù)只需注明①②）．∵AD⊥BC，DE＝DB∴AB＝AE，（依據(jù)①：線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）∴∠B＝∠AED，（依據(jù)②：等邊對等角）繼續(xù)證明如下：【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理和三角形的外角定理進行證明．【解答】證明：如圖：∵AD⊥BC，DE＝DB，∴AB＝AE，（線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），∴∠B＝∠AED，（等邊對等角），∵CD＝AB+BD＝AE+DE＝CE+DE，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∴∠B＝∠CAE＝∠C+∠CAE＝2∠C．故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，等邊對等角．【點評】本題考查了基本作圖，掌握三角形的外交定理和等腰三角形的性質是解題的關鍵．24．（5分）已知：如圖，線段AB∥直線l．（設AB到直線l的距離為d，滿足AB＞d）求作：點P．使得點P在直線l上，且點P、點A、點B構成的三角形為等腰三角形．（保留作圖痕跡，不必寫出作法）．解：（1）滿足條件的點共有5個；（2）在圖中用尺規(guī)作圖作出滿足條件的點P；（保留作圖痕跡，不必寫出作法，不同的點從左到右用下標以示區(qū)別，如：P1，P2，…）（3）其中，使得△PAB的周長最小的點是點P3．【分析】（1）（2）以點A為圓心，AB為半徑畫弧交直線l于P1點和P4點，再以點B為圓心，AB為半徑畫弧交直線l于P2點和P5點，然后作AB的垂直平分線交直線l于點P3；（3）5個等腰三角形中△P3AB的周長最小．【解答】解：（1）滿足條件的點共有5個；故答案為：5；（2）如圖，點P1、P2、P3、P4、P5為所作；（3）使得△PAB的周長最小的點是點P3．故答案為：點P3．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質．25．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＜60°，D點是BC邊中點，連接AD，在△ABC的外部，以AC為邊作等邊三角形ACE，連接BE，交AD于F，交AC于G．（1）依題意補全圖形；（2）求∠EBC的度數(shù)；（3）用等式表示FA，F(xiàn)D，F(xiàn)E這三條線段之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）依題意補全圖形即可；（2）證△ABF≌△ACF（SSS），得∠ABF＝∠ACF，再證∠CFG＝∠EAC＝60°，然后由三角形的外角性質即可得出結論；（3）延長AD至點P，使DP＝DA，連接CP，由等腰三角形的性質得AD⊥BC，再由線段垂直平分線的性質得AC＝PC，則∠P＝∠CAF，然后證△EFC≌△PFC（SAS），得FE＝FP，即可解決問題．【解答】解：（1）依題意補全圖形如圖1，（2）如圖2，連接CF，∵AB＝AC，D是邊BC的中點，∴AD⊥BC，∴AD所在直線是BC的垂直平分線，∴FB＝FC，∴∠EBC＝∠FCB，∵△AEC是等邊三角形，∴∠EAC＝∠ACE＝∠AEC＝60°，AC＝AE．∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABF＝∠AEF，在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠ABF＝∠ACF，∴∠AEF＝∠ACF，∵∠AGF＝∠CFG+∠ACF＝∠EAC+∠AEF，∴∠CFG＝∠EAC＝60°，又∵∠EBC+∠FCB＝∠CFG＝60°，∴∠EBC＝∠FCB＝30°，即∠EBC的度數(shù)為30°；（3）FE＝2FD+FA，證明如下：如圖3，延長AD至點P，使DP＝DA，連接CP，∵AB＝AC，D是邊BC的中點，∴AD⊥BC，∵DP＝DA，∴AC＝PC，∴∠P＝∠CAF，由（2）可知：∠AEF＝∠ACF，∴∠FCD＝∠EBC＝30°，∠EFC