2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）1．（2分）下列屬于一元二次方程的是（）A．3x2+2x B．x2﹣2x＝6 C． D．2x2+y＝62．（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）二次函數(shù)y＝4（x﹣3）2+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）4．（2分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦AB∥CD，若∠BAC＝32°，則∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°5．（2分）二次函數(shù)y＝x2+2x+3與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)6．（2分）如圖，⊙O的弦AB＝6，C為AB的中點(diǎn)，且OC＝4，則⊙O的半徑等于（）A．8 B．6 C．5 D．47．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2+c＜mx+n的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．x＞﹣1或x＜3 D．x＞3或x＜﹣18．（2分）在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面積分別記為：S1、S2、S3、S4，則等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，若點(diǎn)A（0，y1）和B（3，y2）在此函數(shù)圖象上，則y1與y2的大小關(guān)系是y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）10．（2分）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是．11．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，1）．將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．12．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2x2+4x﹣6的最大值是．13．（2分）新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過(guò)兩輪傳染將會(huì)有225人感染，若設(shè)1人平均感染x人，則x的值為．14．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB＝20°，則∠D＝°．15．（2分）將進(jìn)貨價(jià)為70元/件的某種商品按零售價(jià)100元/件出售時(shí)每天能賣出20件，若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元/件，其日銷售量就增加1件，為了每天獲得最大利潤(rùn)，決定每件降價(jià)x元，設(shè)每天的利潤(rùn)為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝．16．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c．的頂點(diǎn)為A（2，m），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，0），其部分圖象如圖所示，對(duì)于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（t，n），則t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一個(gè)根．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．（5分）用適當(dāng)方法解方程：x2+15＝8x．18．（5分）已知m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式（m﹣1）2+（m﹣3）（m+2）的值．19．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D在BC邊上，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到線段AE，連接CE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：BD＝CE．20．（5分）已知：∠MAN，B為射線AN上一點(diǎn)．求作：△ABC，使得點(diǎn)C在射線AM上，且∠ABC＝∠CAB．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AM于點(diǎn)D，交射線AN的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；②以點(diǎn)E為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F；③連接FB，交射線AM于點(diǎn)C．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BD，EF，AF，∵點(diǎn)B，E，F(xiàn)在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（）（填寫推理的依據(jù)）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝．∴∠ABC＝∠CAB．21．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝x2﹣4x+3的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出：當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而減小？22．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若m＞0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．23．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（4，2），BA⊥x軸于點(diǎn)A．將△OAB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△OA1B1．（1）畫出△OA1B1；（2）直接寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（3）求線段OB旋轉(zhuǎn)到線段OB1所掃過(guò)的區(qū)域的面積．24．（6分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表：x…012345…y…30﹣10m8…（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線；（2）m的值為；（3）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（4）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍為．25．（5分）如圖，人工噴泉有一個(gè)豎直的噴水槍AB，噴水口A距地面2m，噴出水流的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線，如果水流的最高點(diǎn)P到噴水槍AB所在直線的距離為1m，且到地面的距離為3.6m．（1）建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線解析式；（2）求水流的落地點(diǎn)D到水槍底部B的距離．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+（4﹣2a）x+1．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（用含a的式子表示）（2）點(diǎn)（a﹣6，y1）（3﹣a，y2），（﹣a，y3）在拋物線y＝x2+（4﹣2a）x+1上，若y2＜y3≤y1，求a的取值范圍．27．（7分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P為AE的中點(diǎn)，連接DP．（1）如圖1，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關(guān)系；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD落在圖2所示的位置時(shí)，點(diǎn)C，D，P恰好在同一條直線上．①在圖2中，按要求補(bǔ)全圖形，并證明∠BAE＝∠ACP；②連接BD，交AE于點(diǎn)F．判斷線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于△ABC和直線l給出如下定義：若△ABC的一條邊關(guān)于直線l的對(duì)稱線段PQ是⊙O的弦，則稱△ABC是⊙O的關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)三角形”，直線l是“關(guān)聯(lián)軸”．（1）如圖1，若△ABC是⊙O的關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)三角形”，請(qǐng)畫出△ABC與⊙O的“關(guān)聯(lián)軸l”（至少畫兩條）；（2）若△ABC中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)C在直線y＝﹣x+3圖象上，存在“關(guān)聯(lián)軸l”使△ABC是⊙O的關(guān)聯(lián)三角形，求點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）已知A（，1），將點(diǎn)A向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)M，以M為圓心MA為半徑畫圓，B，C為⊙M上的兩點(diǎn)，且AB＝2（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），若△ABC與⊙O的關(guān)聯(lián)軸至少有兩條，直接寫出OC的最小值和最大值，以及OC最大時(shí)AC的長(zhǎng)．

2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）1．（2分）下列屬于一元二次方程的是（）A．3x2+2x B．x2﹣2x＝6 C． D．2x2+y＝6【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)且a≠0）的方程是一元二次方程，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、3x2+2x不是方程，故A不符合題意；B、x2﹣2x＝6是一元二次方程，故B符合題意；C、x2﹣＝0不是一元二次方程，故C不符合題意；D、2x2+y＝6是二元二次方程，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．這個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對(duì)稱點(diǎn)．【解答】解：選項(xiàng)A、B、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念．中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3．（2分）二次函數(shù)y＝4（x﹣3）2+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）【分析】由拋物線解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，7），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對(duì)稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．4．（2分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦AB∥CD，若∠BAC＝32°，則∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°【分析】由AB∥CD，∠BAC＝32°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求得∠ACD的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∠BAC＝32°，∴∠ACD＝∠BAC＝32°，∴∠AOD＝2∠ACD＝2×32°＝64°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理與平行線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．5．（2分）二次函數(shù)y＝x2+2x+3與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即為對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的個(gè)數(shù)，據(jù)此即可求解．【解答】解：令y＝0，則x2+2x+3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故二次函數(shù)y＝x2+2x+3與x軸無(wú)公共點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式問(wèn)題．熟記相關(guān)結(jié)論即可．6．（2分）如圖，⊙O的弦AB＝6，C為AB的中點(diǎn)，且OC＝4，則⊙O的半徑等于（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，再由勾股定理求出OA的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接OA，∵AB＝6，C為AB的中點(diǎn)，∴AC＝AB＝3，OC⊥AB．∵OC＝4，∴OA＝＝＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理與勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2+c＜mx+n的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．x＞﹣1或x＜3 D．x＞3或x＜﹣1【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知：拋物線y＝ax2+c在直線y＝mx+n下方時(shí)，x的范圍是：﹣1＜x＜3，即不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2分）在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面積分別記為：S1、S2、S3、S4，則等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4【分析】過(guò)A作AG⊥AF交CB延長(zhǎng)線于G，由四邊形ABCD是正方形，可得AB＝AD，∠BAD＝90°＝∠GAF，∠ABG＝∠D＝90°，有∠GAB＝∠FAD，故△GAB≌△FAD（ASA），知AG＝AF，S△GAB＝S3，再證△GAE≌△FAE，得S1+S△GAB＝S2，從而S1+S3＝S2．【解答】解：過(guò)A作AG⊥AF交CB延長(zhǎng)線于G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°＝∠GAF，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠GAB＝∠FAD，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，S△GAB＝S3，∵∠EAF＝45°，∠GAF＝90°，∴∠EAF＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴S1+S△GAB＝S2，∴S1+S3＝S2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定與性質(zhì)定理．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，若點(diǎn)A（0，y1）和B（3，y2）在此函數(shù)圖象上，則y1與y2的大小關(guān)系是y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出y1，y2的值，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)A（0，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1圖象上的兩點(diǎn)，∴y1＝5，y2＝2．∴y1＞y2．故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y1，y2的值是解題的關(guān)鍵．10．（2分）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是1．【分析】先根據(jù)根的判別式△的值為0，進(jìn)而得出等式求出即可．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，根據(jù)已知得出b2﹣4ac＝0得出是解題關(guān)鍵．11．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，1）．將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）．【分析】設(shè)C（m，n）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)建方程組求解即可．【解答】解：設(shè)C（m，n）．∵線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC，∴AB＝BC，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝2，n＝2，∴C（2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題即可．12．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2x2+4x﹣6的最大值是﹣4．【分析】依據(jù)題意，將二次函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可判斷得解．【解答】解：由題意，∵y＝﹣2x2+4x﹣6＝﹣2（x﹣1）2﹣4，又a＝﹣2＜0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)的最大值y＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解頂點(diǎn)式是關(guān)鍵．13．（2分）新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過(guò)兩輪傳染將會(huì)有225人感染，若設(shè)1人平均感染x人，則x的值為14．【分析】第一輪共感染（x+1）人，第二輪共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）2（人），根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染將會(huì)有225人感染，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：由題意得：（x+1）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合題意舍去），故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB＝20°，則∠D＝110°．【分析】AB為⊙O直徑，∠ACB＝90°，求出∠B的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故答案為：110．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．（2分）將進(jìn)貨價(jià)為70元/件的某種商品按零售價(jià)100元/件出售時(shí)每天能賣出20件，若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元/件，其日銷售量就增加1件，為了每天獲得最大利潤(rùn)，決定每件降價(jià)x元，設(shè)每天的利潤(rùn)為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝﹣x2+10x+600．【分析】先根據(jù)利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷量列出函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)應(yīng)降價(jià)x元，銷售量為（20+x）個(gè)，根據(jù)題意得：y＝（100﹣x﹣70）（20+x）＝﹣x2+10x+600．故答案為：﹣x2+10x+600．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系列出函數(shù)解析式．16．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c．的頂點(diǎn)為A（2，m），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，0），其部分圖象如圖所示，對(duì)于此拋物線有如下四個(gè)結(jié)論①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（t，n），則t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一個(gè)根．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．【分析】由拋物線開(kāi)口和拋物線與y軸交點(diǎn)判斷①，由拋物線的對(duì)稱性及經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，0）可判斷②，由拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，從而判斷③，點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為4﹣t可判斷④．【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正確．∵拋物線頂點(diǎn)為A（2，m），∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，∵拋物線過(guò)點(diǎn)（5，0），∴由對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②錯(cuò)誤，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∵（2，m）為拋物線頂點(diǎn)，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正確，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（t，n），∴點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)（4﹣t，n）在拋物線上，∴4﹣t為ax2+bx+c＝n的一個(gè)根，④錯(cuò)誤．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．（5分）用適當(dāng)方法解方程：x2+15＝8x．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：x2+15＝8x，整理得：x2﹣8x+15＝0，（x﹣3）（x﹣5）＝0，x﹣3＝0或x﹣5＝0，x1＝3，x2＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．18．（5分）已知m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式（m﹣1）2+（m﹣3）（m+2）的值．【分析】先根據(jù)完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，把x＝m代入方程得出2m2﹣3m﹣1＝0，求出2m2﹣3m＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（m﹣1）2+（m﹣3）（m+2）＝m2﹣2m+1+m2+2m﹣3m﹣6＝2m2﹣3m﹣5，∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝1﹣5＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值和一元二次方程的解，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．19．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D在BC邊上，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到線段AE，連接CE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：BD＝CE．【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形即可；（2）證明△BAD≌△CAE（SAS），即可得BD＝CE．【解答】（1）解：依題意補(bǔ)全圖形如圖：（2）證明：∵將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到線段AE，∴∠BAC＝∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)作圖，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．20．（5分）已知：∠MAN，B為射線AN上一點(diǎn)．求作：△ABC，使得點(diǎn)C在射線AM上，且∠ABC＝∠CAB．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AM于點(diǎn)D，交射線AN的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；②以點(diǎn)E為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F；③連接FB，交射線AM于點(diǎn)C．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BD，EF，AF，∵點(diǎn)B，E，F(xiàn)在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）（填寫推理的依據(jù)）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝∠EAF．∴∠ABC＝∠CAB．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）連接BD、EF，AF，利用圓周角定理證明可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖即為所求．（2）連接BD、EF，AF，∵點(diǎn)B，E，F(xiàn)在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）（填寫推理的依據(jù)）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝∠EAF，∴∠ABC＝∠CAB．故答案為：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，∠EAF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．21．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝x2﹣4x+3的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出：當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而減?。俊痉治觥浚?）利用配方法將二次函數(shù)解析式寫成頂點(diǎn)式即可．（2）列表、描點(diǎn)、連線即可解決問(wèn)題．（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題知，y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．即將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為：y＝（x﹣2）2﹣1．（2）列表，描點(diǎn)、連線，如圖所示，（3）由（2）中所畫的函數(shù)圖象可知，函數(shù)圖象在直線x＝2左側(cè)的部分，y隨x的增大而減小，即當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若m＞0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非負(fù)性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”即可證出結(jié)論；（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由題意得出m的方程，解方程則可得出答案．方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵無(wú)論m取何值時(shí)，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝4m，x1?x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、偶次方的非負(fù)性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．23．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（4，2），BA⊥x軸于點(diǎn)A．將△OAB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△OA1B1．（1）畫出△OA1B1；（2）直接寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（3）求線段OB旋轉(zhuǎn)到線段OB1所掃過(guò)的區(qū)域的面積．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；（2）利用（1）所畫圖形寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BOB1＝90°，再計(jì)算出OB＝2，然后根據(jù)扇形的面積公式求解．【解答】解：（1）如圖，△OA1B1為所作；（2）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（﹣2，4）；（3）∵△OAB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OA1B1，∴∠BOB1＝90°，∵OB＝＝2，∴線段OB旋轉(zhuǎn)到線段OB1所掃過(guò)的區(qū)域的面積＝＝5π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝（其中n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑）．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．24．（6分）已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足下表：x…012345…y…30﹣10m8…（1）這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝2；（2）m的值為3；（3）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（4）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍為﹣1≤y＜3．【分析】（1）根據(jù)表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時(shí)y的值相等，所以此兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出對(duì)稱軸的直線方程；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得即可；（3）利用待定系數(shù)法求得即可．【解答】解：（1）∵由表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x＝1與x＝3時(shí)y的值相等，∴對(duì)稱軸是直線x＝＝2，故答案為直線x＝2；（2）∵點(diǎn)（0，3）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為（4，3），∴m＝3，故答案為3；（3）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（3，0），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），∴a＝1，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+3；（4）由表格數(shù)據(jù)可知，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍為﹣1≤y＜3，故答案為：﹣1≤y＜3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25．（5分）如圖，人工噴泉有一個(gè)豎直的噴水槍AB，噴水口A距地面2m，噴出水流的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線，如果水流的最高點(diǎn)P到噴水槍AB所在直線的距離為1m，且到地面的距離為3.6m．（1）建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線解析式；（2）求水流的落地點(diǎn)D到水槍底部B的距離．【分析】（1）建立以BD所在直線為x軸、AB所在直線為y軸的直角坐標(biāo)系，根據(jù)頂點(diǎn)P（1，3.6）設(shè)其解析式為y＝a（x﹣1）2+3.6，把A（0，2）代入求得a的值，據(jù)此可得其函數(shù)解析式；（2）求得y＝0時(shí)x的值可得答案．【解答】解：（1）如圖，以BD所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意知，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3.6）、點(diǎn)A（0，2），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3.6，將點(diǎn)A（0，2）代入，得：a+3.6＝2，解得：a＝﹣1.6，則拋物線的解析式為y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6，（2）當(dāng)y＝0時(shí)，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0，解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5，∴BD＝2.5，答：水流的落地點(diǎn)D到水槍底部B的距離為2.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+（4﹣2a）x+1．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（用含a的式子表示）（2）點(diǎn)（a﹣6，y1）（3﹣a，y2），（﹣a，y3）在拋物線y＝x2+（4﹣2a）x+1上，若y2＜y3≤y1，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式直接代入求解即可；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)與不等式求解即可．【解答】解：（1）∵x＝﹣＝﹣＝a﹣2，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線：x＝a﹣2；（2）將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，分別得到y(tǒng)1、y2、y3，將x＝a﹣6代入解析式得：y1＝（a﹣6）2+（4﹣2a）（a﹣6）+1＝﹣a2+4a+13；將x＝3﹣a代入解析式得：y2＝（3﹣a）2+（4﹣2a）（3﹣a）+1＝3a2﹣16a+22；將x＝﹣a代入解析式得：y3＝a2+（4﹣2a）（﹣a）+1＝3a2﹣4a+1；∵y2＜y3≤y1，∴，解得：．∴a的取值范圍為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．27．（7分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P為AE的中點(diǎn)，連接DP．（1）如圖1，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關(guān)系；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD落在圖2所示的位置時(shí)，點(diǎn)C，D，P恰好在同一條直線上．①在圖2中，按要求補(bǔ)全圖形，并證明∠BAE＝∠ACP；②連接BD，交AE于點(diǎn)F．判斷線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P為AE的中點(diǎn)，依據(jù)等腰三角形性質(zhì)“三線合一”，即可得到DP⊥AE；（2）①按照題意補(bǔ)全圖形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，即可證明結(jié)論；②延長(zhǎng)CP至G，使PG＝DP，連接AG，BG，利用SAS證明△APG≌△APD，△BAG≌△CAD，可得∠BGC＝∠APG，進(jìn)而可得PF∥BG，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P為AE的中點(diǎn)，∴