2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】_第1頁(yè)
2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】_第2頁(yè)
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第1頁(yè)(共1頁(yè))2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共10小題,每題3分,共30分)1.(3分)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是()A.2,4,6 B.1,2,4 C.2,2,4 D.3,4,52.(3分)如圖,在△ABC中,畫出AC邊上的高()A. B. C. D.3.(3分)六邊形的內(nèi)角和為()A.600° B.720° C.840° D.900°4.(3分)空調(diào)安裝在墻上時(shí),一般都會(huì)采用如圖的方法固定,這種應(yīng)用方法的幾何原理是()A.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點(diǎn)之間線段最短 C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.垂線段最短5.(3分)請(qǐng)仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意圖,請(qǐng)你根據(jù)圖形全等的知識(shí),說明畫出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS6.(3分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,若CD=2,AB=8,則△ABD的面積是()A.6 B.8 C.10 D.127.(3分)如圖是一副三角尺拼成的圖案,則∠AEB的度數(shù)為()A.105° B.90° C.75° D.60°8.(3分)如圖,點(diǎn)B、D、E、C在一條直線上,若△ABD≌△ACE,BC=12,BD=3,則DE的長(zhǎng)為()A.9 B.6 C.5 D.79.(3分)如圖,D、E分別為△ABC的邊BC、AC的中點(diǎn),△ABC的面積為8,則△ADE的面積為()A.2 B.3 C.4 D.510.(3分)如圖,∠MAN=100°,點(diǎn)B,C是射線AM,AN上的動(dòng)點(diǎn),∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D,則∠BDC的大小為()A.50° B.60° C.80° D.隨點(diǎn)B,C的移動(dòng)而變化二、填空題(本大題共6小題,每題3分,共18分).11.(3分)已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為36°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是.12.(3分)如圖,直線AB∥CD,∠1=55°,∠2=32°,則∠3=.13.(3分)如圖,AC=AD,只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ABD.這個(gè)條件可以是.(寫出一個(gè)即可)14.(3分)如圖,一輪船在海上往東行駛,在A處測(cè)得燈塔C位于北偏東60°,在B處測(cè)得燈塔C位于北偏東25°,則∠ACB=°.15.(3分)如圖所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.16.(3分)如圖,AC=BC,AD=BD,這個(gè)圖形叫做“箏形”,數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論:①△ACD≌△BCD;②AO=BO;③AB⊥CD;④∠CAB=∠ABD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題(第17-24題,每題5分,第25,26題,每題6分,共52分).17.(5分)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).18.(5分)如圖,點(diǎn)D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求證:AD=AE.19.(5分)如圖,C是AB的中點(diǎn),CD∥BE,CD=BE,連接AD,CE.求證:∠D=∠E.20.(5分)如圖,四邊形ACBD中,∠C=∠D=90°,BC=BD.求證:AC=AD.21.(5分)如圖,D是AB上一點(diǎn),E是AC上一點(diǎn),BE,CD相交于點(diǎn)F,∠A=61°,∠ACD=34°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度數(shù).22.(5分)下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,求作:點(diǎn)D,使點(diǎn)D在BC邊上,且到AB和AC的距離相等.作法:①如圖,以點(diǎn)A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AB,AC于點(diǎn)M、N;②分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P;③畫射線AP,交BC于點(diǎn)D.所以點(diǎn)D即為所求.根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程:(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,連接MP,NP.在△AMP與△ANP中,∵AM=AN,MP=NP,AP=AP,∴△AMP≌△ANP(SSS).∴∠=∠.∵∠ABC=90°,∴DB⊥AB.又∵DE⊥AC,∴DB=DE()(填推理的依據(jù))23.(5分)如圖,四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.求證:AE平分∠BAD.24.(5分)如圖,已知四邊形ABCD中,對(duì)角線BD平分∠ABC,且∠BAD與∠BCD互補(bǔ),求證:AD=CD.25.(6分)如圖,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是線段BC上一點(diǎn),連接AP,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q,使得CQ=CP,過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)M.(1)若∠CAP=20°,則∠AMQ=°.(2)判斷AP與QM的數(shù)量關(guān)系,并證明.26.(6分)如圖1,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,自O(shè)引一條射線Ox,設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離為m(m>0),以射線Ox為始邊,射線OM為終邊的∠xOM的度數(shù)為x°(x≥0).那么我們規(guī)定用有序數(shù)對(duì)(m,x°)表示點(diǎn)M在平面內(nèi)的位置,并記為M(m,x°).例如,在圖2中,如果OG=4,∠xOG=120°,那么點(diǎn)G在平面內(nèi)的位置,記為G(4,120°).(1)如圖3,如果點(diǎn)N在平面內(nèi)的位置記為N(6,35°),那么ON=;∠xON=°;(2)如圖4,點(diǎn)A,點(diǎn)B在射線Ox上,點(diǎn)A,B在平面內(nèi)的位置分別記為(a,0°),(2a,0°),點(diǎn)A,E,C在同一條直線上,且OE=BC.用等式表示∠OEA與∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共10小題,每題3分,共30分)1.(3分)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是()A.2,4,6 B.1,2,4 C.2,2,4 D.3,4,5【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.【解答】解:A、2+4=6,不能構(gòu)成三角形,故A錯(cuò)誤;B、1+2<4,不能構(gòu)成三角形,故B錯(cuò)誤;C、2+2=4,不能構(gòu)成三角形,故C錯(cuò)誤;D、3+4>5,能構(gòu)成三角形,故D正確.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型,熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2.(3分)如圖,在△ABC中,畫出AC邊上的高()A. B. C. D.【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可.【解答】解:A、AD不是AC邊上的高,不符合題意;B、AD不是AC邊上的高,不符合題意;C、BD是AC邊上的高,符合題意;D、圖中沒有AC邊上的高,不符合題意;故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的高,從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€,垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.3.(3分)六邊形的內(nèi)角和為()A.600° B.720° C.840° D.900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式:(n﹣2)×180°,計(jì)算即可.【解答】解:六邊形的內(nèi)角和為(6﹣2)×180°=720°,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和,解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式:(n﹣2)×180°.4.(3分)空調(diào)安裝在墻上時(shí),一般都會(huì)采用如圖的方法固定,這種應(yīng)用方法的幾何原理是()A.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點(diǎn)之間線段最短 C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.垂線段最短【分析】釘在墻上的方法是構(gòu)造三角形支架,因而應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性.【解答】解:這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是:三角形的穩(wěn)定性,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性,正確掌握三角形的這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.(3分)請(qǐng)仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意圖,請(qǐng)你根據(jù)圖形全等的知識(shí),說明畫出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【分析】根據(jù)作圖過程可知O′C′=OC,O′D′=OD,C′D′=CD,所以運(yùn)用的是三邊對(duì)應(yīng)相等,兩三角形全等作為依據(jù).【解答】解:根據(jù)作圖過程可知O′C′=OC,O′D′=OD,C′D′=CD,在△OCD與△O′C′D′中,∴△OCD≌△O′C′D′(SSS),∴∠A′O′B′=∠AOB.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖“作一個(gè)角等于已知角”的相關(guān)知識(shí),其理論依據(jù)是三角形全等的判定“邊邊邊”定理和全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.從作法中找已知,根據(jù)已知條件選擇判定方法.6.(3分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,若CD=2,AB=8,則△ABD的面積是()A.6 B.8 C.10 D.12【分析】首先作DE⊥AB,再根據(jù)AAS證明△AED≌△ACD,即可得出CD=DE;然后根據(jù)△ABD的面積=AB?DE,即可求出結(jié)果.【解答】解:過點(diǎn)D作DE⊥AB,于點(diǎn)E.∵AD是∠BAC的平分線,∠C=90°,∴∠BAD=∠CAD,∠AED=∠ACD.∵AD=AD,∴△AED≌△ACD(AAS),∴CD=DE.∵S△ABD=AB?DE=8.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,明確CD=DE是解題的關(guān)鍵.7.(3分)如圖是一副三角尺拼成的圖案,則∠AEB的度數(shù)為()A.105° B.90° C.75° D.60°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可.【解答】解:由圖可知∠ACB=30°,∠DBC=45°,∵∠AEB=∠DBC+∠ACB,∴∠AEB=30°+45°=75°.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角性質(zhì):三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.要注意:一副三角尺的度數(shù):30°,45°,60°,90°.8.(3分)如圖,點(diǎn)B、D、E、C在一條直線上,若△ABD≌△ACE,BC=12,BD=3,則DE的長(zhǎng)為()A.9 B.6 C.5 D.7【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.【解答】解:∵△ABD≌△ACE,BD=3,∴BD=CE=3,∵BC=12,∴DE=BC﹣BD﹣CE=12﹣3﹣3=6.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9.(3分)如圖,D、E分別為△ABC的邊BC、AC的中點(diǎn),△ABC的面積為8,則△ADE的面積為()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)計(jì)算即可.【解答】解:∵△ABC的面積為8,D為△ABC的邊BC的中點(diǎn),∴S△ADC=S△ABC=×8=4,∵E為AC的中點(diǎn),∴S△ADE=S△ADC=2,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中線,熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵.10.(3分)如圖,∠MAN=100°,點(diǎn)B,C是射線AM,AN上的動(dòng)點(diǎn),∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D,則∠BDC的大小為()A.50° B.60° C.80° D.隨點(diǎn)B,C的移動(dòng)而變化【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ACB=2∠DCB,∠MBC=2∠CBE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB,求出∠A=2∠D,即可求出答案.【解答】解:∵CD平分∠ACB,BE平分∠MBC,∴∠ACB=2∠DCB,∠MBC=2∠CBE,∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB,∠CBE=∠D+∠DCB,∴2∠CBE=∠D+∠DCB,∴∠MBC=2∠D+∠ACB,∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB,∴∠A=2∠D,∵∠A=100°,∴∠D=50°.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出∠A=2∠D.二、填空題(本大題共6小題,每題3分,共18分).11.(3分)已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為36°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是10.【分析】正多邊形的一個(gè)外角為36°,且每個(gè)外角都相等,根據(jù)多邊形外角和為360°,可直接求出邊數(shù).【解答】解:正多邊形的邊數(shù)是:360°÷36°=10.故答案為:10.【點(diǎn)評(píng)】此題考查正多邊形的外角和,解題關(guān)鍵是正多邊形的邊數(shù)為.12.(3分)如圖,直線AB∥CD,∠1=55°,∠2=32°,則∠3=87°.【分析】利用平行線的性質(zhì)先求出∠C,再利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出∠3.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠C=∠1=55°,∴∠3=∠C+∠2=55°+32°=87°,故答案為:87°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系,掌握“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解決本題的關(guān)鍵.13.(3分)如圖,AC=AD,只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ABD.這個(gè)條件可以是CB=DB(或∠CAB=∠DAB).(寫出一個(gè)即可)【分析】利用已知條件得到AC=AD,加上AB為公共邊,然后根據(jù)全等三角形的判定方法添加條件.【解答】解:∵AC=AD,AB=AB,∴當(dāng)添加CB=DB時(shí),可根據(jù)“SSS”判斷△ABC≌△ABD;當(dāng)添加∠CAB=∠DAB時(shí),可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△ABD;故答案為:CB=DB(或∠CAB=∠DAB).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定:熟練掌握全等三角形的5種判定方法.選用哪一種方法,取決于題目中的已知條件,若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等,則找它們的夾角或第三邊;若已知兩角對(duì)應(yīng)相等,則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等,且要是兩角的夾邊,若已知一邊一角,則找另一組角,或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.14.(3分)如圖,一輪船在海上往東行駛,在A處測(cè)得燈塔C位于北偏東60°,在B處測(cè)得燈塔C位于北偏東25°,則∠ACB=35°.【分析】根據(jù)方向角的定義,求出∠CAB、∠ABC,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可.【解答】解:由方向角的定義可知,∠CAB=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+25°=115°,∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠CAB=180°﹣30°﹣115°=35°,故答案為:35.【點(diǎn)評(píng)】本題考查方向角,理解方向角的定義以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵.15.(3分)如圖所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.【分析】連接AD,由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系可知∠E+∠F=∠FAD+∠EDA,由四邊形內(nèi)角和是360°,即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.【解答】解:如圖,連接AD.∵∠1=∠E+∠F,∠1=∠FAD+∠EDA,∴∠E+∠F=∠FAD+∠EDA,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BAD+∠ADC+∠B+∠C.又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.故答案為:360°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系,涉及到四邊形及三角形內(nèi)角和定理,比較簡(jiǎn)單.16.(3分)如圖,AC=BC,AD=BD,這個(gè)圖形叫做“箏形”,數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論:①△ACD≌△BCD;②AO=BO;③AB⊥CD;④∠CAB=∠ABD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.【分析】根據(jù)垂直平分線的判定得出CD是AB的垂直平分線,可判定②③正確;根據(jù)SSS可證明△ACD≌△BCD,得出①正確;由已知條件無法得出∠CAB=∠ABD,④錯(cuò)誤.【解答】解:∵AC=BC,AD=BD,∴CD是AB的垂直平分線,∴AO=BO,AB⊥CD,故②③正確,在△ACD與△BCD中,,∴△ACD≌△BCD(SSS),故①正確;由已知條件無法得出∠CAB=∠ABD,故④錯(cuò)誤,故答案為:①②③.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),熟記全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題(第17-24題,每題5分,第25,26題,每題6分,共52分).17.(5分)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).【分析】多邊形的外角和是360度,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°,即可得到多邊形的內(nèi)角和的度數(shù).根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù).【解答】解:設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n,依題意得(n﹣2)×180°=3×360°﹣180°,n﹣2=6﹣1,n=7.∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理,任意多邊形的外角和都是360°,與邊數(shù)無關(guān).18.(5分)如圖,點(diǎn)D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求證:AD=AE.【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理ASA可以證得△ACD≌△ABE,然后由“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”即可證得結(jié)論.【解答】證明:在△ABE與△ACD中,,∴△ACD≌△ABE(ASA),∴AD=AE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí),要注意三角形間的公共邊和公共角.19.(5分)如圖,C是AB的中點(diǎn),CD∥BE,CD=BE,連接AD,CE.求證:∠D=∠E.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義證明△ACD≌△CBE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.【解答】證明:∵C是AB的中點(diǎn),∴AC=CB,∵CD∥BE,∴∠ACD=∠B.在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE(SAS),∴∠D=∠E.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及判定.應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定定理.20.(5分)如圖,四邊形ACBD中,∠C=∠D=90°,BC=BD.求證:AC=AD.【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法:斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可判定.【解答】證明:連接AB.在RT△ABC和RT△ABD中,,∴RT△ABC≌RT△ABD(HL),∴AC=AD【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵,記住斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等,屬于中考??碱}型.21.(5分)如圖,D是AB上一點(diǎn),E是AC上一點(diǎn),BE,CD相交于點(diǎn)F,∠A=61°,∠ACD=34°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度數(shù).【分析】在△ACD中,利用三角形的外角性質(zhì),三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算即可;在△BFD中,利用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可.【解答】解:在△ACD中,∵∠A=61°,∠ACD=34°,∴∠BDC=∠ACD+∠A=95°;在△BDF中,∠BFD=180°﹣∠ABE﹣∠BDC=180°﹣20°﹣95°=65°.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理,熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.22.(5分)下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,求作:點(diǎn)D,使點(diǎn)D在BC邊上,且到AB和AC的距離相等.作法:①如圖,以點(diǎn)A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AB,AC于點(diǎn)M、N;②分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P;③畫射線AP,交BC于點(diǎn)D.所以點(diǎn)D即為所求.根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程:(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,連接MP,NP.在△AMP與△ANP中,∵AM=AN,MP=NP,AP=AP,∴△AMP≌△ANP(SSS).∴∠PAM=∠PAN.∵∠ABC=90°,∴DB⊥AB.又∵DE⊥AC,∴DB=DE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)(填推理的依據(jù))【分析】(1)根據(jù)作圖過程即可補(bǔ)全圖形;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可完成證明.【解答】解:(1)如圖,即為補(bǔ)全的圖形;(2)證明:過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,連接MP,NP.在△AMP與△ANP中,∵AM=AN,MP=NP,AP=AP,∴△AMP≌△ANP(SSS).∴∠PAM=∠PAN.∵∠ABC=90°,∴DB⊥AB.又∵DE⊥AC,∴DB=DE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等).故答案為:PAM,PAN,角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法.23.(5分)如圖,四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.求證:AE平分∠BAD.【分析】過點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F,首先根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CE=EF,根據(jù)等量代換可得BE=EF,再根據(jù)角平分線的判定可得AE平分∠BAD.【解答】證明:如圖,過點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F,∵∠C=90°,DE平分∠ADC,∴CE=EF,∵E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE,∴BE=EF,又∵∠B=90°,EF⊥AD,∴AE平分∠BAD.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了梯形的面積,角平分線的性質(zhì)和判定,關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和判定定理.24.(5分)如圖,已知四邊形ABCD中,對(duì)角線BD平分∠ABC,且∠BAD與∠BCD互補(bǔ),求證:AD=CD.【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E,作DF⊥BC于F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF,再求出∠DAE=∠C,然后利用“角角邊”證明△ADE和△CDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.【解答】證明:如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E,作DF⊥BC于F,∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∵∠BAD與∠BCD互補(bǔ),∠EAD+∠BAD=180°∴∠DAE=∠C,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(AAS),∴AD=CD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.25.(6分)如圖,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是線段BC上一點(diǎn),連接AP,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q,使得CQ=CP,過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)M.(1)若∠CAP=20°,則∠AMQ=65°.(2)判斷AP與QM的數(shù)量關(guān)系,并證明.【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=45°,則∠PAB=25°,再由直角三角形的性質(zhì)即可求解;(2)連接AQ,由線段垂直平分線的性質(zhì)得AP=AQ,則∠QAC=∠PAC.再證∠QMA=∠MQB+45°,∠QAM=∠QAC+45°,然后證∠BQM=∠PAC,得∠QMA=∠QAM,即可得出結(jié)論.【解答】(1)∵△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,∴∠BAC=∠B=45°.∵∠CAP=20°,∴∠PAB=25°.∵QH⊥AP于點(diǎn)H,∴∠AHM=90°.∴∠AMQ=90°﹣∠PAB=90°﹣25°=65°,故答案為:65.(2)解:A

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