2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：新定義問題(一)（解析版）

專題08新定義問題（1）

【規(guī)律總結(jié)】

※知識精要

新定義型問題是學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個新定義（新概念或新公式），

通過閱讀題

目提供的材料，理解新定義，再通過對新定義的理解來解決題目提出的問題。其主要目

的是通過對新定義

的理解與運用來考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

※要點突破

解決此類題的關(guān)鍵是（1）深刻理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、

步驟和結(jié)論（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉

例”提供的做題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運用類比、歸納、

聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決題目中需要解決的問題。

【典例分析】

例1.（2020?湖南廣益實驗中學(xué)七年級月考）規(guī)定：用{加}表示大于加的最小整數(shù)，例如

{1}=3,{4}=5,{-1.5）=-1等；用所表示不大于m的最大整數(shù)，例如[Z]=3,[2]=2,

[-3.2]=-4,如果整數(shù)了滿足關(guān)系式：2{x}+3田=32,則%的值為（）

A.3B.-5C.6D.7

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，可將2x+3岡=32變形為2x+2+3x=32,解方程后即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：取為整數(shù),

0{x}=x+l,[x]=x,

回2{x}+3岡=32可化為:2(x+1)+3x=32

去括號，得2x+2+3x=32,

移項合并，得5x=30,

系數(shù)化為1,得x=6.

故選：C.

【點睛】

本題結(jié)合新定義主要考查解一元一次方程，比較新穎，注意仔細(xì)審題，理解新定義運算的規(guī)

則是解題的關(guān)鍵.

例2.(2021河南安陽市八年級期末)對于有理數(shù)b,定義min{〃/}：當(dāng)。>匕時，

min{a,b}=b,當(dāng)時，min{a,b}=a,若min〈W,—12m+4〃一加2-〃2}=40,則

nrn的值為.

【答案】36

【分析】

根據(jù)一12m+4"一根2-與40的大小，再根據(jù)minClO,-12m+-m2-^2}=40,從

而確定m,n的值即可得出相及的值.

【詳解】

解：回min「0,—12機+4〃一加2—〃2}=40,

M0<-12m+4〃一切22；

0m2+—4"+12m+40<0

團(tuán)(m+6)2+(n-2)2<0,

團(tuán)(m+6)2+(n-2)2>0,

0m+6=O,n-2=0,

團(tuán)m=-6,n=2,

回〃=(-61=36

故答案為：36.

【點睛】

本題考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì).根據(jù)題意理解新定義的計算公式是解題的關(guān)鍵.

例3.(2021北京西城區(qū)八年級期末)給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點

P{a,b\P{c,b\P{c,d},這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點彳匕々的“最佳

間距”.例如：如圖，點々(T，2),<(1,2),<(1，3)的“最佳間距”是1.

(1)點4(2,1),2(4,1),q(4,4)的，，最佳間距〃是:

(2)已知點0(0,0),4-3,0),B(-3,y).

①若點O,A,B的“最佳間距”是1,則y的值為；

②點O,A,B的“最佳間距”的最大值為；

（3）已知直線I與坐標(biāo)軸分別交于點。（0,3）和。（4,0）,點P金〃）是線段上的一個

動點.當(dāng)點。（0,0）,E。",。），P（m〃）的“最佳間跑取到最大值時求此時點p的坐標(biāo).

……1212

【答案】（1）2；（2）①±1；（2）3；（3）P（y,y）.

【分析】

（1）根據(jù)題意，分別求出點。］（2,1）,2（4,1）,（4,4）任意兩點間的距離，比較后即可

得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)三個點的坐標(biāo)特點可得AB鴕軸，由此可求出OA、0B均不滿足點0,A,B的

"最佳間距”是1,則可得AB=1,從而求出y值的兩種情況；

②根據(jù)0A=3,且0A為定值，可得無論y取何值，點0,A,B的"最佳間距”的最大值為

3；

（3）根據(jù)題目中的已知條件，可利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，由￡（加,0）,

P（m〃）可判斷PEEix軸，同⑵②則可得出點。（。，0）,E（:〃,0）,P（m〃）的"最佳間

距"取到最大值時的條件為OE=PE,從而可列出關(guān)于m的方程，求解后即可求出點P的坐

標(biāo).

【詳解】

解：（1）團(tuán)點。（2/），Q（4,1）,Q（4,4）,

123

回。2=2,e2e=3,0g=J（4-正+（4-D；=E，

S\2<3<yJ13,

國點e（2,l）,e（4,1）,e（4,4）的“最佳間距〃是2.

故答案為：2.

⑵①團(tuán)點。(0,0),A(—3,0),S(-3,y),

0ABEy軸,

團(tuán)0A=3,0B>0A,

回點。A,B的"最佳間距”是1,

0AB=1,

0y=±l.

故答案為：±1.

②當(dāng)一3463時，點。，A,B的"最佳間距"是|y|=ABW3,

當(dāng)y>3或y<—3時，AB>3,點0,A,B的“最佳間距”是0A=3,

團(tuán)點0,A,B的"最佳間距"的最大值為3.

故答案為：3.

(3)如圖,

設(shè)直線CD的解析式為y=k]X+b/將。（。,3）,。（4,0）代入得:

'b=3

41

4k+b=0

iii

解得｛i4

b=3

I1

3

0y=——x+3,

4

igP（mn）,E（jn,O）,

EIPE取軸，

當(dāng)且僅當(dāng)OE=PE時，點。（o,o）,￡（m,0）,"）的"最佳間距

取到最大值,

0OE=m,PE=n=-—w+3,

4

回機=--m+3,

4

12

解得機=亍,

當(dāng)點O,E,P的"最佳間距"取到最大值時，點P的坐標(biāo)為（>，—

【點睛】

本題考查了新定義運算的綜合應(yīng)用，弄清新定義的規(guī)則，并靈活應(yīng)用所學(xué)知識求解是解題的

關(guān)鍵.

【真題演練】

一、單選題

1.（2020.福建省泉州實驗中學(xué)八年級月考）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的

長，那么稱這個三角形為“勻稱三角形若&ABC是“勻稱三角形"，且NC=90。，

AC>BC,則AC:BC:AB為（）

A

A.JJ：1：2B.2：：J7"C.2：1：y/5D.無法確定

【答案】B

【分析】

作Rt回ABC的三條中線AD、BE、CF,由"勻稱三角形"的定義可判斷滿足條件的中線是BE,

它是AC邊上的中線，設(shè)AC=2a,則CE=a,BE=2a,在RtEIBCE中E1BCE=9O°,根據(jù)勾股定理可

求出BC、AB,則AC：BC：AB的值可求出.

【詳解】

解：如圖①，作RtEIABC的三條中線AD、BE、CF,

圖①

加ACB=90°,

^CF=-AB^AB,

2

又在RtE]46c中，AD>AC>BC,

ADwBC,

團(tuán)滿足條件的中線是BE,它是AC邊上的中線,

設(shè)AC=2a,則CE—AE—a,BE—2Q,

在Rt回BCE中團(tuán)BCE=90°,

回BC—dBE?—CE2=pa,

在RtHABC中，AB=1BC2+AC2=Q（2a>+履）=JTa,

HAC：BC：AB=2a:島："a=2:「:".

故選：B.

【點睛】

考查了新定義、勾股定理的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是理解“勻稱三角形"的定

義，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

2.（2021?上海徐匯區(qū)?九年級一模）定義：表示不超過實數(shù)》的最大整數(shù)例如：k71=l,

-2：=-3根據(jù)你學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，下列關(guān)于函數(shù)'=的判斷中，正確的

是（）

A.函數(shù)y=k1的定義域是一切整數(shù)

B.函數(shù)y=LJ的圖像是經(jīng)過原點的一條直線

C.點（2,2）在函數(shù)y=[J圖像上

D.函數(shù)y=W的函數(shù)值y隨x的增大而增大

【答案】c

【分析】

根據(jù)題意描述的概念逐項分析即可.

【詳解】

A、對于原函數(shù)，自變量顯然可取一切實數(shù)，則其定義域為一切實數(shù)，故錯誤；

B、因為原函數(shù)的函數(shù)值是一些整數(shù)，則圖象不會是一條過原點的直線，故錯誤；

C、由題意可知2-=2,則點（2：2）在函數(shù)y=L]圖像上，故正確；

D、例如[1]=1,=1,即當(dāng)x=1,x=:時，函數(shù)值均為y=l,不是丁隨》的增大

而增大，故錯誤;

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)的概念以及新定義問題，仔細(xì)審題，理解材料介紹的的概念是解題關(guān)鍵.

二、填空題

a7

-------,a>b

"",若5※工的

3.（2020?浙江杭州市?七年級其他模擬）定義運算“酬：a?b=<

b7

-------,a<b

Jj-a

值為整數(shù)，則整數(shù)X的值為.

【答案】0或4或6或10

【分析】

根據(jù)題中的新定義可分若5>x,若5<x,兩種情況分別求解，最后合并結(jié)果.

【詳解】

解：若5>x,

則5Xx=為整數(shù)，

5-x

則x=0或4或6（舍）或10（舍），

若5<x,

.xx—5+55

貝ij5※1二——-=-----=1+—^為整數(shù)，

x—5x—5x—5

則x=0（舍）或4（舍）或6或10,

綜上：整數(shù)x的值為：?；?或6或10,

故答案為：0或4或6或:10.

【點睛】

此題主要考查了分式的值的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是理解題中的新定義.

4.（2020浙江嘉興市七年級期末）材料：一般地，n個相同因數(shù)a相乘：?！！?lián)

〃個

記為如.如23=8,止匕時3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為log8（BPlog8=3）.那么

22

log9=,（log16）2+-log81=.

3-----------233-----------

1

【答案】3；17-.

【分析】

由32=9可求出log,9=3,由24=16,34=81可分別求出logJ6=4,1(^81=4,繼

而可計算出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)由題意可知：32=9,

則log9=3,

2

(2)由題意可知：

24=16,34=81,

則log16=4,log81=4,

23

141

回(％16)2+_嗎81=16+-=17_,

…1

故答案為：3；17-.

【點睛】

本題主要考查定義新運算，讀懂題意，掌握運算方法是解題關(guān)鍵.

三、解答題

6.(2021?北京順義區(qū)?七年級期末)我們規(guī)定：若有理數(shù)。力滿足。+匕=。6,則稱。力互

為“等和積數(shù)”，其中。叫做萬的“等和積數(shù)”，匕也叫。的“等和積數(shù)”.例如：因為

二,所以！+(-l)=ix(-l),

1+(-1)=-1,1x(-1)=-則:與T互為"等和積數(shù)

乙乙乙乙N乙乙

請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

(1)有理數(shù)2的“等和積數(shù)”是；

（2）有理數(shù)1（填"有"或"沒有"）"等和積數(shù)”；

23

（3）若小的“等和積數(shù)”是可，"的"等和積數(shù)”是＞，求3加+4〃的值.

【答案】（1）2；（2）沒有；（3）-5

【分析】

（1）根據(jù)"等和積數(shù)"的定義列方程求解即可；

（2）根據(jù)“等和積數(shù)"的定列方程求解即可；

（3）根據(jù)“等和積數(shù)”的定列方程求出m和n的值，代入3根+4”計算即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)有理數(shù)2的"等和積數(shù)”是x,由題意得

2+x=2x,

解得x=2,

故答案為：2；

（2）設(shè)有理數(shù)1的"等和積數(shù)〃是y,由題意得

l+y=y,

I3y-y=l,

國此方程無解，

回有理數(shù)1沒有"等和積數(shù)"；

故答案為：沒有；

2

（3）國機的“等和積數(shù)”是5，

22

0m+—=—m,

解得m=-y;

3

團(tuán)”的"等和積數(shù)”是斤,

33

0n+-=n,

77

解得

團(tuán)3加+4〃=3x(-§)+4x(-a)=5

【點睛】

本題考查了新定義，以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)新定義列方程求解是解答本題的關(guān)鍵.

ac

6（2。如北京海淀區(qū)北理工附中七年級期末）我們%”稱為二階行列式，且

=ad-be.如:=1x(—4)—3x2=—10

42

（1）計算:

-35