2024屆漳州高三四檢數(shù)學(xué)試題含答案

福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第四次教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁.滿分150分.

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)

答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.一組數(shù)據(jù)如下：3,7,9,10,13,15,19,21,該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是()

A.15B.17C.19D.20

2.已知復(fù)數(shù)2=匕，則產(chǎn)4—z2°25]=()

1+i11

A.2B，V2C.lD.O

3.二項(xiàng)式(1-2x)6展開式中，爐項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-60B.-15C.15D.60

4.設(shè)。>0,匕〉0,且。+2。=1,則1082。+1。82匕的()

A.最小值為-3B.最小值為3

C.最大值為-3D.最大值為3

5.已知函數(shù)/(X)=lnx+x,g(x)是函數(shù)/(2x+l)的導(dǎo)函數(shù)，則g(0)=()

A.lB.2C.3D.4

6.已知數(shù)列｛4｝是公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，則f=2是成立的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/(%)=("l)a*+6(a>0,awl),則函數(shù)/(x)的單調(diào)性()

A.與。無關(guān)，且與匕無關(guān)B.與a無關(guān)，且與匕有關(guān)

C.與。有關(guān)，且與匕無關(guān)D.與a有關(guān)，且與b有關(guān)

8.已知雙曲線。：T一斗=1（。＞0力＞0）左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，過耳的直線與C的漸近線

/：y=—2%及右支分別交于48兩點(diǎn)，若率=4反而.郎=0,則C的離心率為（）

3r-

A.-B.2C，V5D.3

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=cos2x+asinx-2,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。=0時(shí)，“X）的最小正周期為兀

B.當(dāng)a=l時(shí)，“X）的最大值為-了

C.當(dāng)。=-3時(shí)，“X）在區(qū)間［0,2可上有4個(gè)零點(diǎn)

D.若/（力在］。，弓］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為［0,+"）

10.如圖，四棱錐P—A3CD中，PAl^ABCD,且24=A3=A。=，AB//

CD,ZADC=9Q°,平面PAD與平面P5C交線為/,則下列直線中與/垂直的是（

A.PBBCDC.PCD.PD

11.我們把方程xd=l的實(shí)數(shù)解稱為歐米加常數(shù)，記為。.。和e一樣，都是無理數(shù)，。還被稱為在指數(shù)

函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關(guān)C的結(jié)論正確的是（）

A.Q€（0.5,1）

B.In——Q

cg=/‘其中

D.函數(shù)“同=e'+xlnx的最小值為/（Q）

X+1

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.寫出過點(diǎn)P（-2,-l）且與拋物線丁=4x有唯一公共點(diǎn)的一條直線方程.

13.已知向量1=（1,1）,忖=4,且石在G上的投影向量的坐標(biāo)為（一2,-2）,則G與B的夾角為.

14.在矩形A5CD中，45=2,4。=1,「為。。的中點(diǎn)，將口D4尸沿AP折起，把口D4尸折成口SAP,使

平面SAP1平面ABCP,則三棱錐S-ABP的外接球表面積為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

記口A3C的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,",c,已知3=工力=2百.

3

（1）若a,O,c成等差數(shù)列，求口A3C的面積；

也、

（2）若sinA-sinC=——b>求

16.（15分）

如圖，在四棱錐尸—A5c。中，底面ABCD為梯形，平面PAB_L平面ABCD,AB//

是等邊三角形，M為側(cè)棱P3的中點(diǎn)，且AD=DC=2,AB=4.

（1）證明：CM//平面PAD；

（2）G是線段PD上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求平面GMC與平面

PA3所成角的余弦值.

條件①：四棱錐G-ABCD的體積為V3;

3

條件②：點(diǎn)G到平面PAB的距離為一.

一2

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.（15分）

3

已知橢圓石：彳+2=1（。>匕〉0）的離心率為1，點(diǎn)A1,,C（—1,2）中恰有兩個(gè)點(diǎn)在E

（1）求石的方程;

(2)設(shè)〃eN'」AnBnCn的內(nèi)角A,與,C〃的對(duì)邊分別為an,bn,cn,

2+q=?！傲τ?g%，G+i=冬愛?若點(diǎn)用,G在犬軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，問：是否存在

%，使得點(diǎn)4都在E上，若存在，請(qǐng)求出《，若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.(17分)

某汽車廠商生產(chǎn)某型號(hào)具有自動(dòng)駕駛功能的汽車，該型號(hào)汽車配備兩個(gè)相互獨(dú)立的自動(dòng)駕駛系統(tǒng)(記為系

統(tǒng)A和系統(tǒng)3),該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后，先啟動(dòng)這兩個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中的一個(gè)，若一個(gè)出現(xiàn)故

障則自動(dòng)切換到另一個(gè)系統(tǒng).為了確定先啟動(dòng)哪一個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行如下試驗(yàn)：每一輪對(duì)系統(tǒng)A和5分別進(jìn)行

測試試驗(yàn)，一輪的測試結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個(gè)系統(tǒng)少2次

時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個(gè)系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試

驗(yàn)，若系統(tǒng)A不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)3出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)A得1分，系統(tǒng)5得-1分；若系統(tǒng)A出現(xiàn)故障且系

統(tǒng)3不出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)A得-1分，系統(tǒng)3得1分；若兩個(gè)系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩個(gè)系

統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)A3出現(xiàn)故障的概率分別記為a和萬，一輪試驗(yàn)中系統(tǒng)A的得分為X分.

(1)求X的分布列；

(2)若系統(tǒng)A和3在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予2分，p,?=0,1,2,3,4)表示“系統(tǒng)A的累計(jì)得分為，時(shí)，最終認(rèn)

為系統(tǒng)A比系統(tǒng)5更穩(wěn)定”的概率，則Po=O,24=l，。1=。。"1+奶+見+1('=1，2,3),其中

a=p(X=-l),Z，=p(X=O),c=P(X=l).現(xiàn)根據(jù)P2的值來決定該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟

動(dòng)哪個(gè)系統(tǒng)，若P2WO]，則先啟動(dòng)系統(tǒng)3；若。220.9,則先啟動(dòng)系統(tǒng)A；若0.1<夕2<0.9,則隨機(jī)啟

動(dòng)兩個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)，且先啟動(dòng)系統(tǒng)A的概率為

①證明：P=—-；

26z2(l-a^)T2+()l-"(z)2^2

②若a=0.001,￡=0.002,由①可求得??a0.8,求該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另

一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率.

19.(17分)

設(shè)a]wR,函數(shù)/'(x)=|xeY-2x+a|+|xev-x2+Z?|,

g(x)=2xer-x2-2x+a+"=x2-2x+<7-Z?,/(x),g(x),/z(x)的定義域都為一;』.

(1)求g(x)和丸(x)的值域；

⑵用max｛加,“｝表示〃2,"中的最大者，證明：/(x)=max｛|g(x)M〃(x))；

（3）記/（x）的最大值為歹（。/），求/（。力）的最小值.

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數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則

評(píng)分說明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要

考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和

難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；

如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的

l.B2.B3.D4.C5.D6.A7.A8.C

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分

9.AB10.BCD11.ABC

三、填空題：本大題共3題，每小題5分，共15分.

12.y=-l,y=x+l,y=-gx-2（寫對(duì)一個(gè)方程即可）13.135°14.14.4n

四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.解：

（1）因?yàn)槌?。成等差?shù)列，所以a+c=26,

又b=2-\/3,所以。+c=4\^3①>

在口A3C中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，

jr

又=所以12=/+c2一〃c=（〃+c）2一3〃c②，

由①②得ac=12,

所以口ABC的面積S=—acsinB=—xl2x——=3^3-

222

/0I

(2)因?yàn)閆?=sinA—sinC=—b，所以sinA—sinC=不，

122

TT2JT

又因?yàn)锳+5+C=TI且5=—,所以C=——A,

33

所以sinA-sin一=；，

所以sinA—^^cosA—』sinA=-，所以LsinA-^^cosA=—，

222222

所以sinj^A—

又因?yàn)?<4<兀，所以—4<A—4〈”，所以A—四=四，所以A=巴,

333362

b

所以a=-=4.

sinB

16.解法一：

(1)證明：如圖，取A3的中點(diǎn)0,連接。COM.

因?yàn)锳f為側(cè)棱的中點(diǎn)，

所以0M//PA,

因?yàn)?M(Z平面PAD,PAu平面PAD,

所以0M〃平面PAD,

因?yàn)镈C=2,AB=4,AB//CD,

所以。C=A。,DC//AO,

所以四邊形ADC。為平行四邊形，

所以。C〃AD.

因?yàn)镺C<Z平面PAD,ADu平面PAD,

所以。C〃平面PAD,

因?yàn)?。CcOM=0,OC,OMu平面OCM,

所以平面。CM〃平面PAD.

因?yàn)镃Mu平面。CM,所以。0〃平面PAD.

（2）如圖，連接。P,

因?yàn)?3,4。,。?！?。，所以。CLA3

因?yàn)榭赑43是等邊三角形，。為A5的中點(diǎn)，

所以。PLA5,

因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABCD,

平面PABc平面ABCD=AB,OPu平面PAB,

所以。尸，平面A3CD,

又。Cu平面A3CD,所以。PLOC.

以。為原點(diǎn)，0C所在直線為了軸，所在直線為丁軸，0P所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,則

P（0,0,2V3）,A（0,-2,0）,JB（0,2,0）,C（2,0,0）,D（2,-2,0）,

M（O,1,V3）,

選擇①：設(shè)福=ADP=%卜2,2,26）=（-22,22,2732）,2e（0,1）,

,11（2+4）x2

由VG-ABCD=~SABCD-71="X-----------義力=J3,

其中〃為點(diǎn)G到平面ABCD的距離，得h=U

2

又因?yàn)辄c(diǎn)P到平面ABCD的距離PO=，

所以25=4-=',所以2=',

DPPO44

3叵

所以M=加+礪=（0,—2,0）+=--

75萬

'\2227\2

設(shè)平面GMC的法向量為訪=（x,y,z）,

m-CM=（x,y,z"-2』,百）=-2x+y+V§z=0,

則［一_3V3、13V3

m-CG=^x,y,z）-——xyH-----z=0,

2一5萬222

7

取y=i,得沅=4,1,

又亢=(1,0,0)是平面PA3的一個(gè)法向量,

2^/3

r

選擇②：設(shè)礪=ADP=%12,2,2百）=（-22,22,2732）,2e（0,1）,

因?yàn)镺C〃D4,OC，平面PA3,所以平面PA3,

所以點(diǎn)D到平面PAB的距離為DA=2,

3

又點(diǎn)G到平面PAB的距離為〃=一,

2

所以一=」-=—,所以。G=—PD,所以;l=—

PDDA444

以下同選擇①

解法二：

(1)證明：取P4的中點(diǎn)。,

連接QM,Q0，則QM=：A3,且QM〃A5,

又因?yàn)镃D=,A3,A3//CD,

2

所以QM=C。且QM//CD,

所以四邊形QMCD為平行四邊形,

所以CM//QD,

又因?yàn)镃M<z平面PAD,QDu平面PAD,

所以直線CM〃平面PAD.

(2)同解法一.

17.解:

(1)因?yàn)锳[,|1與8,,—|]關(guān)于％軸對(duì)稱，E也關(guān)于了軸對(duì)稱，A3,C中恰有兩個(gè)點(diǎn)在石上，所以

A,8在石上，C不在E上，

9

所以1,4―，

A*】

又因?yàn)閑=￡==\la2-b2,a>b>0,

a2

所以〃=2,Z?=-\/3,c=1,

22

所以E的方程為土+匕=1.

43

(2)存在。］=2,使得點(diǎn)4都在石上?理由如下：

因?yàn)?。?1=冊,所以％=%,

因?yàn)榧?/'*=粵’1

所以加+-=飄+?！?+4,即加+%-電+?！?+斗

所以d+1+G+1-2q=5(d+C=-2。］),

又因?yàn)閭?q=2%,所以偽+q-2al=0,

所以4+%-2al=0,即勿+q,=2%,

所以46+4a=2%>弓=用6，

所以點(diǎn)4在以為焦點(diǎn)，2囚為長軸長的橢圓上，

又因?yàn)槭慕裹c(diǎn)為(±1,0),長軸長為4,點(diǎn)紇,G在％軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

2a,=4,

所以點(diǎn)4都在橢圓石上八.Oq=2,

〔4G,=%=2

所以存在%=2,使得點(diǎn)4都在E上.

18.解法一：

(1)X的所有可能取值為-1,0』.

p(X=_l)=?(l_^),p(X=l)=(l-a)/?,

P(X=0)=1-P(X=-1)-P(X=1)=1-CK(1-^)-(1-?)/?,

所以X的分布列為

X-101

Pa。一夕)1-a(l-0-(1-a)￡(l-a)月

(2)①由題意,

得化=—a)￡]pj+(l—a)￡p,.+i，所以

[a(l—⑶+(1—a)用p,=a。一⑶P,T+(1—a)￡%i

所以R+i,i=1,2,3,

(1-a)￡

又Po=0，P4=1，

[a(l-￡)+(l—a)￡]pi-a(l-mPo

所以p=

2(1-a)￡

-+—a)￡[Pi

(1-a)/?

_[a。-￡)+(1-a。。-a。-￡)"

*(1-a)尸

[a(l—0+(l—a)小-

(1-a)￡

[a(l-y3)+(l-?)^]2-?/?(l-a)(l-/?)

+a)川

PL(1-a)￡.

所以

[a(l-^)+(l-a)^]2-(z^(l-a)(l-^)

[a(l-￡)+(1-a)￡](1-0P2

(1-a)￡

二1,

CCI,(l—a)2/

所以小=-------j---------;~y，

a^(l-j3)2+(l-ayj32

②記“該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)”為事件T，“該型號(hào)汽車啟動(dòng)自

動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)系統(tǒng)A”為事件C,

因?yàn)閍=0.001]=0.002,p2?0.8G(0.1,0.9),

所以由題意，得P（c）=幺°0.8,P（C）=1-P2X0.2,

P（T|C）=l—a=1—0.001,P（T@=l—〃=1—0.002,

所以尸（T）=P（C）P（T|C）+P（C）P（T|C）

?0.8x（1-0.001）+0.2x（1-0.002）=0.9988,

即該型號(hào)汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率為0.9988.

解法二：

（1）同解法一.

Pi=ap0+bp1+cp2,

（2）①由題意，得＜p2=apx+bp2+cp3,

P3=印2+帆+cp4

又Po=°，P4=1，

A=bpi+cp2,=02,

所以《(I-。)2=%+CP3

所以《P2=dp、+bp2+cp3,

(1-Z7)p=ap+c,

P3=ap2+bp3+c,32

(a+c)pi=@2,

因?yàn)閍+b+c=l,所以1—Z?=a+c,所以《(a+c)P2=印[+切3，

(a+c)P3=ap2+c,

所以(a+c)p2=〃.——P2+0?初2

-a+ca+c

所以(〃+C)2P2=2〃@2+。2，所以——F

Cl+c

又因?yàn)閍=P(X=-1)==P[X=1)=(1-a)/?,

CCI,(l—a)2/

所以，=-------j---------;~.