2023年高考數(shù)學一模試卷（理科）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年高考數(shù)學一模試卷（理科）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設集合A={2,3,a2?2a?3}，B={0,3}，C={2,a}.若B?A，A∩C={2}，則a=A.?3 B.?1 C.1 D.32.若復數(shù)z=1+i41?i，則z的共軛復數(shù)A.1?i B.?1+i C.?2+i D.2?i3.已知sinα=35，α∈(π2,π)，tan(π?β)=A.?211 B.211 C.114.已知a=log314，b=2?A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a5.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊.”羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了斗．(

)A.35 B.95 C.3 6.若x，y滿足約束條件x+y?2≥0,2x?y?4≤0,y≤4,則z=x?y的最小值是(

)A.?6 B.?4 C.0 D.27.如圖是函數(shù)Q(x)的圖象的一部分，設函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=1x，則Q(x)是(

)A.f(x)g(x) B.f

(x)g

(x) C.f

(x)?g(x) D.8.已知函數(shù)f(x)=cos2x?sinA.f(x)在(?π2,?π6)上單調(diào)遞減 B.f(x)在(?π4,π12)上單調(diào)遞增9.過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有(

)A.24種 B.36種 C.48種 D.60種10.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC.若△ABC為銳角三角形，且a=3A.92 B.94 C.311.設雙曲線E：x2?y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，點M是雙曲線E在第一象限內(nèi)的一點，直線MF1交雙曲線E的左支于點A.2316 B.2817 C.4 12.利用“l(fā)nx≤x?1”可得到許多與n(n≥2且n∈N?)有關的結(jié)論①ln(n+1)<1+12+13A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知m>0，平面向量a=(m2,m+2)，b=(1,1).若a//b14.已知(x+a)5的展開式為p5x5+p4x15.P為橢圓x26+y22=1上一點，曲線|x|2+|y|=1與坐標軸的交點為A，B，C，D，若|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=416.“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”是最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似現(xiàn)在的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點A，B，C，D，且滿足AB=BC=CD=DA=DB=2cm，AC=3cm，則該“鞠”的表面積為______cm2．三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an?1．

(1)求{an18.(本小題12.0分)

攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼，就能轉(zhuǎn)換運營商，并享受其提供的各種服務.2019年11月27日，工信部宣布攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)在全國范圍正式啟動.某運營商為提質(zhì)量?？蛻?，從運營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務水平和服務水平的評價進行統(tǒng)計，其中業(yè)務水平的滿意率為1315，服務水平的滿意率為23，對業(yè)務水平和服務水平都滿意的客戶有180人．

(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認為業(yè)務水平與服務水平有關；對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計對業(yè)務水平滿意人數(shù)對業(yè)務水平不滿意人數(shù)合計(2)為進一步提高服務質(zhì)量在選出的對服務水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進意見，用X表示對業(yè)務水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望．

附：K2=n(ad?bc)P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，D為AC中點，AB=BC=2,AA1=5．

(1)求證：BD⊥A1D20.(本小題12.0分)

在直角坐標系xOy中，動點M到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)當x≥0時，記動點M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點，直線OP，OQ與直線x=1分別交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=2x2?alnx2．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若22.(本小題10.0分)

在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=22sin(θ+π4)，直線l的極坐標方程為ρsin(θ+π4)=4.以極點為坐標原點，以極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xOy．

(1)求圓C及直線l的直角坐標方程；

(2)若射線θ=α(ρ>0)分別與圓C和直線l交于23.(本小題12.0分)

已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)=|2x+a|+|2x?b|+1的最小值為3．

(1)求a+b的值；

(2)求證：b+log32(答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={2,3,a2?2a?3}，B={0,3}，C={2,a}，B?A，A∩C={2}，

∴a2?2a?3=0a2?2a?3≠aa≠3，

解得a=?12.【答案】A

【解析】解：z=1+i41?i=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=1+i，

則3.【答案】A

【解析】【分析】

由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得tanα的值，利用誘導公式求得tanβ，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的正切公式的應用，屬于基礎題．【解答】解：∵已知sinα=35，α∈(π2,π)，∴cosα=?1?sin2α=?45，

4.【答案】D

【解析】解：a=log314<log31=0，0<b=2?32=(12)5.【答案】B

【解析】解：由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2，

設豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為x，

則x+2x+4x+8x=9，解得：x=35，

故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為4x=125，

所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為125?35=96.【答案】A

【解析】解：作出x，y滿足的可行域如下所示，

聯(lián)立x+y?2=0y=4，解得x=?2，y=4，即A(?2,4)，

z=x?y可化為y=x?z，

當直線y=x?z經(jīng)過點A時，有4=?2?z，所以z=?6，即z的最小值為?6．

故選：A．

根據(jù)不等式組作出可行域，把目標函數(shù)z=x?y轉(zhuǎn)化為y=x?z，再結(jié)合其幾何意義，得解．

本題考查線性規(guī)劃，熟練掌握目標函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．

7.【答案】D

【解析】解：由于函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=1x都是奇函數(shù)，它們的圖象關于原點對稱，

由Q(x)的圖象可得Q(x)是奇函數(shù)，結(jié)合所給的選項，

f(x)g(x)=xsinx是偶函數(shù)，故排除A；f(x)g(x)=sinxx是偶函數(shù)，故排除B，

而f(x)?g(x)=sinx?1x，當x>0且x趨于0時，函數(shù)的值趨于負無窮大，故排除C；

f(x)+g(x)=sinx+1x是奇函數(shù)，

故選：D．

根據(jù)Q(x)8.【答案】C

【解析】解：f(x)=cos2x?sin2x=cos2x，周期T=π，

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,π2+kπ](k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為[π2+kπ,π+kπ](k∈Z)，

對于A，f(x)在(?π2,?π6)上單調(diào)遞增，故A錯誤，

對于B，f(x)在(?π4,0)上單調(diào)遞增，在(0,π12)上單調(diào)遞減，故B錯誤，

對于C，f(x)在(0,π3)上單調(diào)遞減，故C正確，

對于D，9.【答案】B

【解析】解：①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項測試有A33=6種安排方法，

此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；

②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有C21種選擇，超重耐力在第四、第五天有C21種選擇，剩下兩種測試全排列A22，則有C21C21A22=8種安排方法，

此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；

③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有C2110.【答案】D

【解析】解：∵(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC，

∴(b?c)2=a2?bc，即b2+c2?a2=bc，

∴cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

∵0<A<π，

∴A=π3，

又∵a=3，bsinB=csinC=asinA=2311.【答案】B

【解析】解：如下圖所示：

根據(jù)題意可知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，A(?1,0)，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，由NA//MF2可知：

|F1N||F1M|=|F1A||F1F2|=c?a2c=14，

所以F1M=4F1N，即(x1+2,y1)=4(x12.【答案】C

【解析】解：令f(x)=x?1?lnx，則f′(x)=1?1x=x?1x，

當x>1時，f′(x)>0，當0<x<1時，f′(x)<0，

故f(x)=x?1?lnx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故f(x)=x?1?lnx在x=1處取得極小值，也時最小值，f(x)min=0，

故lnx≤x?1，當且僅當x=1時，等號成立，

對于①，令x=1+1n≠1，所以ln(1+1n)<1+1n?1=1n，

故ln(1+11)+ln(1+12)+?+ln(1+1n)<1+12+?+1n，

其中l(wèi)n(1+11)+ln(1+12)+?+ln(1+1n)=ln2?ln1+ln3?ln2+?+ln(n+1)?lnn=ln(n+1)?ln1=ln(n+1)，

所以ln(n+1)<1+12+13+?+1n，故①正確；

對于②，將lnx≤x?1中的x替換為1?x，可得ln(1?x)≤1?x?1=?x，x<1，

當且僅當x=0時等號成立，

令x=1n≠0，可得ln(1?1n)<?1n，

所以lnn?ln(n?1)>1n，

故ln2?ln1+ln3?ln2+?+lnn?ln(n?1)>12+13+?+1n，

其中l(wèi)n2?ln1+ln3?ln2+?+lnn?ln(n?1)=lnn?ln1=lnn

所以lnn>12+13+?+1n，故②正確；

對于③，將lnx≤x?1中的x替換為1+1213.【答案】2

【解析】解：∵m>0，平面向量a=(m2,m+2)，b=(1,1)，

∴a//b，可得m2=m+2，解得m=2(?1舍)，

即實數(shù)m的值是214.【答案】32或?1【解析】解：(x+a)5展開式的通項公式為Tr+1=C5rx5?rar，r=0，1，2，3，4，5，

令r=2，則T3=C52x3a2=10a2x3，即p3=10a2，15.【答案】78【解析】解：曲線|x|2+|y|=1與坐標軸的交點為A，B，C，D，則不妨設A(?2,0)，B(2,0)，C(0,?1)，D(0,1)，

則A，B為橢圓x26+y22=1的焦點，

∴|PA|+|PB|=26，

又|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=46，則|PC|+|PD|=26，

且|CD|=2<|PC|+|PD|，

∴P在以C、D為焦點的橢圓上，且2a=26c=1c2=a2?b2，解得a=6b=5，

∴P為橢圓x25+y26=1上一點，

聯(lián)立x16.【答案】283【解析】解：由已知得△ABD，△CBD均為等邊三角形，如圖所示，

設球心為O，△BCD的中心為O′，取BD中點F，連接AF，CF，OB，O′B，AO，

則AF⊥BD，CF⊥BD，而AF∩CF=F，∴BD⊥平面ACF，

且求得AF=CF=3cm，而AC=3cm，∴cos∠AFC=3+3?92×3×3=?12，則∠AFC=120°，

在平面AFC中，過點A作CF的垂線，與CF的延長線交于點E，

由BD⊥平面ACF，得BD⊥AE，故AE⊥平面BCD，

過點O作OG⊥AE于點G，則四邊形O′EGO是矩形，

而O′B=BCsin60°×23=233cm，O′F=12O′B=33cm，

設球的半徑為R，OO′=x(cm)，則由OO′2+O′B2=OB2，OA2=AG2+GO2，

17.【答案】解：(1)Sn=2an?1．

n≥2時，an=Sn?Sn?1=2an?1?(2an?1?1).化為：an=2an?1．

n=1時，a1=S1=2a1?1，解得a1=1．

∴數(shù)列【解析】(1)Sn=2an?1.n≥2時，an=Sn?Sn?118.【答案】解：(1)有題可得對業(yè)務水平滿意的有300×1315=260人，對服務水平滿意的有300×2對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計對業(yè)務水平滿意人數(shù)18080260對業(yè)務水平不滿意人數(shù)202040合計200100300經(jīng)計算得K2=300×(180×20?80×20)2200×100×260×40=7513≈5.769<6.635，

所以沒有99%的把握認為業(yè)務水平滿意與服務水平滿意有關；

(2)X的可能值為0，1，2，

又P(X=0)=X012P3163219則X的期望E(X)=0×316495【解析】(1)利用題意可完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求出K2，再對照臨界值表即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望．

本題考查獨立性檢驗原理的應用，離散型隨機變量的分布列與期望的求解，屬中檔題．19.【答案】證明：(1)因為AB=BC，D為AC中點，

所以BD⊥AC，

又因為面AA1C1C⊥面ABC，面AA1C1C∩面ABC=AC，BD?面ABC，

所以BD⊥平面AA1C1C，

又A1D?平面AA1C1C，所以BD⊥A1D；

解：(2)選①，取A1C1的中點E，連接B1E，CE，

則A1E//DC且A1E=DC，

所以四邊形A1DCE為平行四邊形，所以A1D//CE，

因為A1B1=B1C1，E為A1C1的中點，

所以A1C1⊥B1E，

又A1C1⊥B1C，B1C∩B1E=B1，B1C，B1E?平面CB1E，

所以A1C1⊥平面CB1E，

又AC//A1C1，所以AC⊥平面CB1E，

又CE?平面CB1E，所以AC⊥CE，

因為A1D//CE，所以AC⊥A1D，

如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，

由AB=BC=2,AA1=5，得AC=2，A1D=2，

則D(0,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,0,0)，C1(?2,0,2)，則CB=(1,1,0),CC1=(?1,0,2)，

因為【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥平面AA1C1C，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)選①，取A1C1的中點E，連接B1E，CE，證明AC⊥A1D，再以點D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；

選②，取A1C120.【答案】解：(1)動點M到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，

當x≥0時，動點M到定點F(1,0)的距離等于到x=?1的距離，軌跡為拋物線，

設拋物線方程為y2=2px，

則p2=1，所以p=2，

所以y2=4x，

當x<0時，y=0滿足條件．

綜上所述，軌跡方程為：x≥0時，y2=4x；x<0時，y=0，(x<0)；

(2)設直線PQ的方程為x=my+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立方程y2=4xx=my+1，

整理得：y2?4my?4=0，Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m，y1y2=?4，

直線OP的方程為y=y1x1x=4y1x，同理：直線OQ的方程為y=4y2x，

令x=1得，A(1,4y【解析】(1)考慮x≥0和x<0兩種情況，x≥0時確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到p2=1，得到答案；

(2)設直線PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，計算中點坐標為T(1,?2m)，半徑為r=2m2+1，得到圓方程為(x?121.【答案】解：(1)f(x)的定義域為(?∞,0)∪(0,+∞)．

當x∈(0,+∞)時，f(x)=2x2?2alnx，則f′(x)=4x?2ax=4(x2?12a)x，

當a≤0時f′(x)>0，可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當a>0時，令f′(x)>0，得x>2a2，今f′(x)<0，得0<x<2a2．

因為f(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，

所以當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,0)；

當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?2a2,0)，(2a2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,?2a2)，(0,2a2)；

(2)令