常用邏輯用語典型例題

/常用邏輯用語1．命題與其真假判斷(1)可以判斷真假的陳述句為命題、反問句也是命題，但疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題．[例1]下列語句哪些是命題，是命題的判斷其真假．①方程x2－2x＝0的根是自然數(shù)；②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；③垂直于同一個平面的兩個平面平行；④函數(shù)y＝12x＋1是單調(diào)增函數(shù)；⑤非典型肺炎是怎樣傳染的？⑥奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)；⑦好人一生平安?、嘟夥匠?x＋1＝0；⑨方程3x＋1＝0只有一個解；⑩3x＋1＝0.[解析]①②③④⑥⑨都是命題，其中①④⑥⑨為真命題．[點評]⑤是疑問句，⑦是感嘆句，⑧是祈使句都不是命題，⑩中由于x的值未給，故無法判斷此句的真假，因而不是命題．[誤區(qū)警示]含有未知數(shù)的等式、不等式，當式子成立與否與未知數(shù)的值有關(guān)時，它不是命題．(2)復(fù)合命題的真假判斷是個難點，當直接判斷不易著手時，可轉(zhuǎn)為判斷它的等價命題——逆否命題，這是一種重要的處理技巧．[例2]判斷命題：“若a＋b≠7，則a≠3，且b≠4”[解析]其逆否命題為：“若a＝3或a＝4，則a＋b＝7”∴原命題為假．2．四種命題的關(guān)系(1)注意：若p，則q，不能寫作“p?q”，因為前者真假未知，而“p?q”是說“若p，則q”是一個真命題．(2)原命題與其逆否命題等價，原命題的逆命題與原命題的否命題也等價．從而四種命題中有兩對同真同假．(3)互逆或互否的兩個命題不等價，其真假沒有聯(lián)系．[例3]寫出下列各命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判定其真假：(1)?n∈N，若n是完全平方數(shù)，則∈N；(2)?a，b∈R，如果a＝b，則a2＝ab；(3)如果x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0；(4)如果a，b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)．(5)對于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，則b＝c.[解析](1)逆命題：?n∈N，若eq\r(n)∈N，則n是完全平方數(shù)．(真)否命題：?n∈N，若n不是完全平方數(shù)，則eq\r(n)?N.(真)逆否命題：?n∈N，若eq\r(n)?N，則n不是完全平方數(shù)．(真)(2)逆命題：?a，b∈R，若a2＝ab，則a＝b.(假)否命題：?a，b∈R，若a≠b，則a2≠ab.(假)逆否命題：?a，b∈R，若a2≠ab，則a≠b.(真)(3)逆命題：若(x－3)(x－7)＝0，則x＝3或7.(真)否命題：若x≠3且x≠7，則(x－3)(x－7)≠0.(真)逆否命題：若(x－3)(x－7)≠0，則x≠3且x≠7.(真)(4)逆命題：若ab是奇數(shù)，則a、b都是奇數(shù)．(假)否命題：若ab不全是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù)．(假)逆否命題：若ab不是奇數(shù)，則a、b不全是奇數(shù)．(真)(5)逆命題：對于平面向量a、b、c，若b＝c，則a·b＝a·c.(真)否命題：對于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，則b≠c.(真)[誤區(qū)警示]①“p或q”的否定為“綈p且綈q”；“p且q”的否定為“綈p或綈q”．②實數(shù)xy＝0，則有x＝0或y＝0，向量a、b滿足a·b＝a·c不能得出b＝c.3．量詞與復(fù)合命題(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”與集合的“交”、“并”、“補”有著密切的聯(lián)系，借助集合的運算可以幫助對邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解．邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”還可借助電路的“串聯(lián)”、“并聯(lián)”來類比理解，如圖．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題真假判斷，要以真值表為標準．[例4]分析下列命題的構(gòu)成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出來：(1)x＋1是x3＋x2－x－1與x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)點(3,4)不在圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[例4]分析下列命題的構(gòu)成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出來：(1)x＋1是x3＋x2－x－1與x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)點(3,4)不在圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[解析](1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一個解是x＝1，q：方程x2＝1的一個解是x＝－1.(3)綈p形式，其中p：點(3,4)在圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.[誤區(qū)警示]若把方程x2＝1的解是x＝±1，寫成簡單命題p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就錯了，從真值表判斷，p，q都是假命題，但原命題為真命題．[例5]寫出下列命題的否定，并判斷真假．(1)p：有些三角形是直角三角形．(2)p：方程2x＋1＝0有一負實根．(3)p：三角形的兩邊之和大于第三邊．(4)p：存在實數(shù)q<0，使方程x2＋2x＋q＝0無實根．[解析](1)綈p：“沒有一個三角形是直角三角形”．(假)(2)綈p：“方程2x＋1＝0無負實根”．(假)(3)綈p：“存在某個三角形，兩邊之和小于或等于第三邊”．(假)(4)綈p：“對任意實數(shù)q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有實數(shù)根”．(真)4．充要條件(1)若“p?q”，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，即：有了p成立，則一定有q成立，即使p不成立，q也可能成立；q不成立，則p一定不成立．(2)區(qū)分“p是q的充要條件”，“p的充要條件是q”說法的差異．[例6](09·四川理)已知a，b，c，d為實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件．[答案]B[解析]由a－c>b－d變形為a－b>c－d，因為c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，∴a－c>b－d?a>b.而a>b并不能推出a－c>b－d.所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分條件．故選B.[例7]已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍．[解析]解不等式x2－8x－20>0得p：A＝{x|x>10，或x<－2}．解不等式x2－2x＋1－a2>0得q：B＝{x|x>1＋a，或x<1－a，a>0}．依題意，p?q但q?/p，說明AB.于是，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,1＋a≤10,1－a≥－2))，且等號不同時取得，解得0<a≤3.∴正實數(shù)a的取值范圍是0<a≤3.5．反證法如果遇到正面證明一個問題比較困難時，可通過假設(shè)結(jié)論的反面成立，從假設(shè)出發(fā)，推證出明顯的矛盾，從而肯定假設(shè)不正確，原結(jié)論正確．這種方法適合于結(jié)論本身為否定形式或含有“至少