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2025屆河北省承德市重點(diǎn)高中聯(lián)誼校高考數(shù)學(xué)試題命題比賽模擬試卷(22)考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.2.已知橢圓+=1(a>b>0)與直線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),焦點(diǎn)F(0,-c),其中c為半焦距,若△ABF是直角三角形,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.“”是“直線(xiàn)與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.45.已知,,是平面內(nèi)三個(gè)單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.56.已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn),則()A.或1 B.或2 C.或 D.或17.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí),四棱錐的體積為()A. B. C. D.8.若非零實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.9.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.10.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.11.若x,y滿(mǎn)足約束條件則z=的取值范圍為()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]12.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn),若,,則雙曲線(xiàn)的離心率是______.14.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù);②的對(duì)稱(chēng)軸方程為,;③在區(qū)間上為增函數(shù);④方程在區(qū)間有6個(gè)根.15.已知兩個(gè)單位向量滿(mǎn)足,則向量與的夾角為_(kāi)____________.16.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2,則三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說(shuō)明理由.18.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.19.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.21.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求的分布列.22.(10分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀(guān)圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程求出交點(diǎn)A,B兩點(diǎn),利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式,解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程,解方程可得或,不妨設(shè)A(0,a),B(-b,0),由題意可知,·=0,因?yàn)?,,由平面向量垂直的坐?biāo)表示可得,,因?yàn)?,所以a2-c2=ac,兩邊同時(shí)除以可得,,解得e=或(舍去),所以該橢圓的離心率為.故選:A本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力;利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.3.A【解析】
利用兩條直線(xiàn)互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線(xiàn)方程為與,可得兩直線(xiàn)平行;若直線(xiàn)與互相平行,則,解得,,則“”是“直線(xiàn)與互相平行”的充分不必要條件,故選本題主要考查了兩直線(xiàn)平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.5.A【解析】
由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號(hào)可取到.故選:A此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.6.D【解析】
求得直線(xiàn)的斜率,利用曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線(xiàn)方程,求得的值.【詳解】直線(xiàn)的斜率為,對(duì)于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線(xiàn)方程得,解得或1.故選:D本小題主要考查根據(jù)切線(xiàn)方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切?,、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.本題考查四棱錐的外接球及體積問(wèn)題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.8.C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.9.D【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】
首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿(mǎn)足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫(huà)出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.11.D【解析】
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域,如圖,目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的倒數(shù),由圖可知,直線(xiàn)的斜率最小,直線(xiàn)的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故選:D.本題考查了非線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)三角形中位線(xiàn)證得,結(jié)合判斷出垂直平分,由此求得的值,結(jié)合求得的值.【詳解】∵,∴為中點(diǎn),,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案為:本小題主要考查雙曲線(xiàn)離心率的求法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.14.①②④【解析】
由函數(shù),對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù),是周期函數(shù),最小正周期為,故①正確;當(dāng)或時(shí),有最大值或最小值,此時(shí)或,即或,即.的對(duì)稱(chēng)軸方程為,,故②正確;當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在區(qū)間上不是增函數(shù),故③錯(cuò)誤;作出函數(shù)的部分圖象,如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根,故④正確.故答案為:①②④.本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.15.【解析】
由得,即得解.【詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16.【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.18.(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,的面積.本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考查了三角形面積取值范圍的計(jì)算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19.詳見(jiàn)解析【解析】
選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計(jì)算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計(jì)算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡(jiǎn)得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因?yàn)?,所以,即;由余弦定理得,即,化?jiǎn)得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡(jiǎn)得,解得或(舍去);所以邊上的高為.本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.20.(1);(2).【解析】
(1)對(duì)范圍分類(lèi)整理得:,分類(lèi)解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時(shí),”恒成立,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得:,問(wèn)題得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由得,解得;當(dāng)時(shí),無(wú)解;當(dāng)時(shí),由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價(jià)于在上恒成立,當(dāng)時(shí),等價(jià)于恒成立,而,∴,故滿(mǎn)足條件的的取值范圍是本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對(duì)值不等式的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.21.(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率;(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件,則;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、.則,,.故的分布列為本題考查概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(1),,.(2)填表見(jiàn)解析;在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)(3)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,即可得解;(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表,再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可;(3)獲獎(jiǎng)的概率為,隨機(jī)變量,再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖可知,,因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以,解得,所
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