2025屆河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)高三第一次模擬(月考)數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)高三第一次模擬(月考)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù).設(shè),若對(duì)任意不相等的正數(shù),,恒有,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.2.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”4.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),則的最大值為A.2 B. C. D.5.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.7.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作雙曲線C的一條弦AB,且,若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn),則雙曲線C的離心率為()A. B. C.2 D.8.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.若實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.10.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.11.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A. B.C. D.12.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是___________.14.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),兩點(diǎn)在雙曲線上,且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若,設(shè),且,則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.15.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為_(kāi)_______.16.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點(diǎn),求.18.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且,求r的值.19.(12分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)二面角的大小為,求的值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)把曲線向下平移個(gè)單位,然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到曲線(縱坐標(biāo)不變),設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.21.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,三棱臺(tái)的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,對(duì)任意不相等的正數(shù),構(gòu)造新函數(shù),討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減;不妨設(shè),而,知在單調(diào)遞減,從而對(duì)任意、,恒有,即,,,令,則,原不等式等價(jià)于在單調(diào)遞減,即,從而,因?yàn)?,所以?shí)數(shù)a的取值范圍是故選:D.此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題,根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題,屬于一般性題目.2.B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.3.B【解析】

通過(guò)與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:,可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”,故選B.本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】

設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長(zhǎng)|AB|=4.故選:C.本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問(wèn)題的突破口.5.C【解析】

設(shè),根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設(shè),,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;綜上所述:.故選:C.本題考查向量的模、夾角計(jì)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意的兩種情況.6.C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.7.C【解析】

由得F是弦AB的中點(diǎn).進(jìn)而得AB垂直于x軸,得,再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)?,所以F是弦AB的中點(diǎn).且AB垂直于x軸.因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn),所以,即,則,故.故選:C本題是對(duì)雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查,是考查基本知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最值點(diǎn),解出,,再建立不等式求出的范圍,進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對(duì)稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個(gè)極值點(diǎn),只需解得.故選:.本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.9.D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,得,可得點(diǎn),由得,平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故選:D.本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.10.D【解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說(shuō)明擬合效果好.11.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,即,所以,故選C.12.A【解析】

作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-160【解析】試題分析:常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn):二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題.14.【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故,由雙曲線定義可得,再求的值域即可.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故.在中,由雙曲線的定義可得,.故答案為:本題考查雙曲線定義及其性質(zhì),涉及到求余弦型函數(shù)的值域,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.15.【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,可得△ABC為直角三角形,然后可計(jì)算b,可得結(jié)果.(2)計(jì)算,然后根據(jù)余弦定理,可得,利用平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.又a=3,B=60°,所以;所以△ABC的面積為.(2)設(shè)D靠近點(diǎn)B,則BD=DE=EC=1.,所以所以.本題考查正弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.18.【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,可得圓心到直線的距離,再由勾股定理,計(jì)算即得.【詳解】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,可得曲線C:()的直角坐標(biāo)方程為,表示以原點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓.由直線l的方程,化簡(jiǎn)得,則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d,則,又,即,所以.本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.19.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;(2)取的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為,利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】(1)在中,,所以,即.因?yàn)椋?,,所?所以,即.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由題意知,四邊形為菱形,且,則為正三角形,取的中點(diǎn)D,連接BD,則.以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,且,.由得取.由四邊形為菱形,得;又平面,所以;又,所以平面,所以平面的法向量為.所以.故.本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問(wèn)題,在利用向量法時(shí),關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫(xiě)準(zhǔn)確,本題是一道中檔題.20.(1),;(2).【解析】

(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以得,進(jìn)而可化簡(jiǎn)得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)變換得出的普通方程為,可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】(1)由(為參數(shù)),得,化簡(jiǎn)得,故直線的普通方程為.由,得,又,,.所以的直角坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得曲線的直角坐標(biāo)方程為,向下平移個(gè)單位得到,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到曲線的方程為,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).故點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)時(shí),最小為.本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點(diǎn)到直線的距離最值的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21.(1);(2)是,【解析】

(1)根據(jù)及可得,再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求

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