2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)三帆中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)三帆中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每題2分）1．（2分）下列體育運(yùn)動(dòng)圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．3a2÷6a2＝2a3．（2分）如果三角形的三邊長分別為5，8，a，那么整數(shù)a的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．144．（2分）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 B．等腰三角形的中線就是角平分線 C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 D．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等5．（2分）如圖，已知∠1＝45°，∠B＝65°，則∠2的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．115° D．110°6．（2分）△ABC的三邊長分別為a，b，c，若滿足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，則△ABC的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．有30°角的直角三角形 D．鈍角三角形7．（2分）某中學(xué)校慶活動(dòng)搭建的舞臺(tái)如圖（陰影部分），這個(gè)舞臺(tái)的面積為（）A．a(chǎn)2﹣b2 B．a(chǎn)2+b2 C．a(chǎn)2﹣2b2 D．8．（2分）△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是線段BD、線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是（）A．4 B．3 C．8 D．16二、填空題（本題共16分，每題2分）9．（2分）若（x﹣4）0＝1，則x的取值范圍是．10．（2分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，這個(gè)多邊形是邊形．11．（2分）平板電腦是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的電子產(chǎn)品，它的很多保護(hù)殼還兼具支架功能，有一種如圖所示，平板電腦放在上面就可以很方便地使用了，這是利用了三角形的．12．（2分）如圖，已知△ABC的面積為10，將△ABC沿某直線對稱后得到△EDC（B與D對應(yīng)，A與E對應(yīng)），且B、C、D三點(diǎn)共線，連接AD，則△ABD的面積為．13．（2分）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代數(shù)式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為．14．（2分）小明同學(xué)用一根鐵絲恰好圍成一個(gè)等腰三角形，若其中兩條邊的長分別為4cm和8cm，則這根鐵絲的長為cm．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)E、F分別在BC邊和AC邊上，作線段EF的垂直平分線l交AB邊于D，滿足∠ADF＝60°，2AD＝BD時(shí)，∠DFE＝．16．（2分）如圖，把△ABC放到平面直角坐標(biāo)系xOy中，使得A（m，n），B（0，2n）．點(diǎn)C在x軸上且∠OCB＝∠BAO．那么下列結(jié)論正確的是（填寫序號(hào)）．①AB＝AO；②∠AOC＝∠ABC；③∠ACB＝∠BAO；④OC+BC＝2m；⑤AD＝n．三、計(jì)算題（本題共16分，每小題8分）17．（8分）計(jì)算：（1）（x+2y）（x﹣3y）；（2）（4x2y﹣6xy）÷2xy．18．（8分）分解因式：（1）ab2﹣a；（2）x2y﹣6xy+9y．四、解答題（本題共52分，第19-23題每題6分，24、25題每題7分，26題8分）19．（6分）如圖，點(diǎn)A、E、B、D在一條直線上，∠A＝∠D，AC＝DF，AE＝DB．求證：∠C＝∠F．20．（6分）先化簡，再求值：（x+2）2+（x+3）（x﹣3），其中x＝1．21．（6分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)．（1）求證：△BDE是等腰三角形．（2）若∠ABC＝50°，求∠DEF的度數(shù)．22．（6分）小明發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)直角三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：線段CD，使得線段CD將△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形．下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的作法：①作直角邊AC的垂直平分線MN，與斜邊AB相交于點(diǎn)D；②連接CD．則線段CD為所求．（1）請你按照小明設(shè)計(jì)的作法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵直線MN是線段AC的垂直平分線，點(diǎn)D在直線MN上，∴DC＝DA．（）（填推理的依據(jù)）∴∠＝∠．∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣．∠B＝90°﹣∠A．∴∠BCD＝∠B．∴DC＝DB．（）（填推理的依據(jù)）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．23．（6分）我們有公式：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．反過來，就得到可以作為因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．如果有一個(gè)關(guān)于x的二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式x2+px+q，它的常數(shù)項(xiàng)可以看作兩個(gè)數(shù)a與b的積，而它的一次項(xiàng)的系數(shù)恰是a與b的和，它就可以分解為（x+a）（x+b），也就是說：當(dāng)p＝a+b，q＝ab時(shí)，有x2+px+q＝x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．例如：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；m2+17m+60＝（m+12）（m+5）；x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）；x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式（x2﹣2x﹣2）（x2﹣2x+4）+9進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，則原式＝（y﹣2）（y+4）+9＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2．（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果；（2）請你運(yùn)用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3進(jìn)行因式分解．24．（7分）閱讀理解：借助一些巧妙的工具，我們可以解決一些幾何問題．（1）如圖1是一種用四根木條釘成的平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，相鄰兩根木條的連接處是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的．在如圖2的幾種用法中，能作出∠MON的平分線的有．（填寫序號(hào)）（2）同學(xué)們在探究的過程中，發(fā)現(xiàn)利用勾尺可以解決一個(gè)尺規(guī)作圖不可能完成的三等分角問題．如圖3是小瑞設(shè)計(jì)出的三等分角的儀器——勾尺．勾尺的直角頂點(diǎn)為P，PQ（“寬臂”的寬度）＝QR＝RS，勾尺的另一邊為MN，且滿足M，N，Q三點(diǎn)共線（所以PQ⊥MN）．小瑞利用手中的勾尺，通過下列步驟將∠ABC三等分：第一步：如圖4，畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；第二步：如圖5，移動(dòng)勾尺到合適位置，使頂點(diǎn)P落在DE上，使MN邊經(jīng)過點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上；第三步：如圖6，標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置，作射線BQ和射線BP．然后小瑞利用圖6，證明射線BQ和射線BP是∠ABC的三等分線，請補(bǔ)全證明過程：證明：∵BQ垂直平分線段PR，∴＝．∵BQ⊥PR，∴∠PBQ＝∠RBQ．（請繼續(xù)完成后面的證明過程）25．（7分）如圖，△ABC中AB＝AC，過B作BD⊥AB，交直線AC于D，在線段BD上取一點(diǎn)E，使BE＝CD，過E作BC的垂線交BC于F、交AC于G．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠DGE＝∠CBD；（3）探索AG、BD、CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．26．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y）和數(shù)b，將點(diǎn)Q（﹣x，y+b）稱為點(diǎn)P的“b﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（1，﹣1）的“3﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為（﹣1，2）．（1）若點(diǎn)Q是點(diǎn)P（3，2）的“1﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；（2）P（﹣1，t﹣1），N（2t，5t）的“b﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”分別是點(diǎn)P1，N1，且點(diǎn)P1在x軸上，△OP1N1的面積為1，求t和b的值；（3）點(diǎn)A（1，﹣1），B（5，﹣1），以AB為邊在直線AB的下方作正方形ABCD，點(diǎn)E（﹣4，0），F(xiàn)（﹣3，2），G（﹣2，1）的“b﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”分別為E1，F(xiàn)1，G1，若△E1F1G1與正方形ABCD的邊有公共點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)三帆中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每題2分）1．（2分）下列體育運(yùn)動(dòng)圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟知軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是解題的關(guān)鍵．2．（2分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．3a2÷6a2＝2a【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則、整式的除法運(yùn)算法則分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：A．a(chǎn)2?a3＝a5，故此選項(xiàng)符合題意；B．（a3）2＝a6，故此選項(xiàng)不合題意；C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此選項(xiàng)不合題意；D．3a2÷6a2＝，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算、整式的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2分）如果三角形的三邊長分別為5，8，a，那么整數(shù)a的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．14【分析】利用三角形的三邊關(guān)系可得a的取值范圍．【解答】解：由三角形的三邊關(guān)系可得：8﹣5＜a＜5+8，則3＜a＜13，所以a的值可以是4，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊之差小于第三邊．4．（2分）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 B．等腰三角形的中線就是角平分線 C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 D．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)逐個(gè)進(jìn)行分析判斷，即可得到答案．【解答】解：A、三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形，說法正確，不符合題意；B、等腰三角形底邊的中線就是頂角的角平分線，說法錯(cuò)誤，符合題意；C、與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，說法正確，不符合題意；D、角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，說法正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，已知∠1＝45°，∠B＝65°，則∠2的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．115° D．110°【分析】由∠2是△ABD的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＝∠1+∠B＝45°+65°＝110°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．6．（2分）△ABC的三邊長分別為a，b，c，若滿足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，則△ABC的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．有30°角的直角三角形 D．鈍角三角形【分析】直接根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論即可．【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b，b＝c，c＝a，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值，偶次方，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0．7．（2分）某中學(xué)校慶活動(dòng)搭建的舞臺(tái)如圖（陰影部分），這個(gè)舞臺(tái)的面積為（）A．a(chǎn)2﹣b2 B．a(chǎn)2+b2 C．a(chǎn)2﹣2b2 D．【分析】根據(jù)“陰影部分面積＝大長方形面積﹣小正方形面積”列式化簡即可．【解答】解：由題意得，陰影部分面積＝大長方形面積﹣小正方形面積，其中大長方形面積＝長×寬＝（+b+）×（a﹣b）＝a2﹣b2．小正方形面積＝b2．∴陰影部分的面積＝a2﹣2b2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)幾何圖形關(guān)系列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是清楚題圖中各量之間的關(guān)系，并能正確的列式化簡．8．（2分）△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是線段BD、線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是（）A．4 B．3 C．8 D．16【分析】在BC上取一點(diǎn)F'，使BF'＝BF，連接EF'，AF'，證明出AE+EF的最小值為AC的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC＝AB＝4，于是得到結(jié)論．【解答】解：在BC上取一點(diǎn)F'，使BF'＝BF，連接EF'，AF'，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠F'BE＝∠FBE，又∵BE＝BE，∴△EBF'＝△EBF（SAS），∴EF'＝EF，∴AE+EF＝AE+EF'≥AF'≥AC，∴AE+EF的最小值為AC的長，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，∴AC＝AB＝4，∴AE+EF的最小值是4，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形兩邊之和大于第三邊，垂線段最短，能將兩線段的和的最小值用一條線段的長表示使解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每題2分）9．（2分）若（x﹣4）0＝1，則x的取值范圍是x≠4．【分析】根據(jù)非零的零次冪等于1，可得答案．【解答】解：由（x﹣4）0＝1，得x﹣4≠0．解得x≠4，故答案為：x≠4．【點(diǎn)評】本題考查了零指數(shù)冪，注意零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．10．（2分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，這個(gè)多邊形是六邊形．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝2×360°，解得：n＝6，即這個(gè)多邊形是六邊形，故答案為：六．【點(diǎn)評】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，結(jié)合已知條件列得方程是解題的關(guān)鍵．11．（2分）平板電腦是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的電子產(chǎn)品，它的很多保護(hù)殼還兼具支架功能，有一種如圖所示，平板電腦放在上面就可以很方便地使用了，這是利用了三角形的穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，已知△ABC的面積為10，將△ABC沿某直線對稱后得到△EDC（B與D對應(yīng)，A與E對應(yīng)），且B、C、D三點(diǎn)共線，連接AD，則△ABD的面積為20．【分析】先根據(jù)軸對稱得到點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，再根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分即可求出△ABD的面積．【解答】解：將△ABC沿某直線對稱后得到△EDC（B與D對應(yīng)，A與E對應(yīng)），且B、C、D三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，∴S△ABC＝S△ACD＝10，∴S△ABD＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，熟練掌握三角形的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代數(shù)式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為﹣1．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)2﹣a＝1代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2a+1+a2﹣4＝2a2﹣2a﹣3，∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，∴當(dāng)a2﹣a＝1，原式＝2（a2﹣a）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14．（2分）小明同學(xué)用一根鐵絲恰好圍成一個(gè)等腰三角形，若其中兩條邊的長分別為4cm和8cm，則這根鐵絲的長為20cm．【分析】分情況求出等腰三角形第三邊長，再求出周長即可．【解答】解：若4cm為腰，∵4+4＝8，∴4cm不可能為腰，若4cm為底，則8cm為腰，此時(shí)可以構(gòu)成等腰三角形，其周長為4+8+8＝20（cm），故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)E、F分別在BC邊和AC邊上，作線段EF的垂直平分線l交AB邊于D，滿足∠ADF＝60°，2AD＝BD時(shí)，∠DFE＝70°．【分析】連接DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)推出BD＝DF＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：如圖，連接DE，∵線段EF的垂直平分線l交AB邊于D，∴DF＝DE，∵∠A＝90°，∠ADF＝60°，∴∠AFD＝30°，∴DF＝2AD，∵2AD＝BD，∴BD＝DF＝DE，∴∠B＝∠DEB＝50°，∴∠BDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠FDE＝180°﹣∠ADF﹣∠BDE＝40°，∴∠DFE＝∠DEF＝×（180°﹣∠FDE）＝70°，故答案為：70°．【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，把△ABC放到平面直角坐標(biāo)系xOy中，使得A（m，n），B（0，2n）．點(diǎn)C在x軸上且∠OCB＝∠BAO．那么下列結(jié)論正確的是①②④（填寫序號(hào)）．①AB＝AO；②∠AOC＝∠ABC；③∠ACB＝∠BAO；④OC+BC＝2m；⑤AD＝n．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥x軸，AG⊥y軸，過點(diǎn)A作AF⊥BC，然后根據(jù)三角形相似及三角形全等判斷即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸，AG⊥y軸，如圖，則：AB＝，OA＝，∴AB＝AO，故①正確；在△ABD和△CDO中：∠OCB＝∠BAO．∠CDO＝∠ADB，∴∠AOC＝∠ABC，故②正確；∵∠OCB＝∠BAO．∠CDO＝∠ADB，∴△CDO∽△ADB，∴，∴△ADC∽△BDO，∴∠ACD＝∠BOD，即∠ACB＝∠BOA，∵無法判斷BO＝AB，∴不能得到∠BOA＝∠BAO，∴∠ACB與∠BAO大小關(guān)系無法判斷，故③錯(cuò)誤；過點(diǎn)A作AF⊥BC，∵∠AFB＝∠AEO＝90°，∠ABF＝∠AOE，AB＝AO，∴△ABF≌△AOE（AAS），∴BF＝OE，AF＝AE，∵AF＝AE，AC＝AC，∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴CF＝CE，∴OC+BC＝OC+CF+BF＝OC+CE+OE＝2OE＝2m，故④正確；∵AE＝AF＝OG＝n，∴當(dāng)D與F不重合時(shí)AD＞AF，即AD＞n，當(dāng)D與F重合時(shí)AD＝AF，即AD＝n，故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定及全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．三、計(jì)算題（本題共16分，每小題8分）17．（8分）計(jì)算：（1）（x+2y）（x﹣3y）；（2）（4x2y﹣6xy）÷2xy．【分析】（1）直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用整式的除法運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出答案【解答】解：（1）原式＝x2﹣3xy+2xy﹣6y2＝﹣xy+x2﹣6y2；（2）原式＝2x﹣3．【點(diǎn)評】此題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、整式的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18．（8分）分解因式：（1）ab2﹣a；（2）x2y﹣6xy+9y．【分析】（1）直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式y(tǒng)，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（2）x2y﹣6xy+9y＝y(tǒng)（x2﹣6x+9）＝y(tǒng)（x﹣3）2．【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．四、解答題（本題共52分，第19-23題每題6分，24、25題每題7分，26題8分）19．（6分）如圖，點(diǎn)A、E、B、D在一條直線上，∠A＝∠D，AC＝DF，AE＝DB．求證：∠C＝∠F．【分析】求出AB＝DE，根據(jù)SAS證△ACB≌△DFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【解答】證明：∵AE＝DB，∴AE+BE＝DB+BE，∴AB＝DE，在△ACB和△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（SAS），∴∠C＝∠F．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．20．（6分）先化簡，再求值：（x+2）2+（x+3）（x﹣3），其中x＝1．【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．【解答】解：（x+2）2+（x+3）（x﹣3）＝x2+4x+4+x2﹣9＝2x2+4x﹣5，當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝2×12+4×1﹣5＝2+4﹣5＝1．【點(diǎn)評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．21．（6分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)．（1）求證：△BDE是等腰三角形．（2）若∠ABC＝50°，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBD是等腰三角形，即可解答；（2）先利用平行線的性質(zhì)可得∠DEB＝130°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠DEF＝∠DEB＝65°，即可解答．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥CB，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴△EBD是等腰三角形；（2）解：∵DE∥CB，∴∠DEB＝180°﹣∠ABC＝130°，∵EB＝ED，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴∠DEF＝∠DEB＝65°，∴∠DEF的度數(shù)為65°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（6分）小明發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)直角三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：線段CD，使得線段CD將△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形．下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的作法：①作直角邊AC的垂直平分線MN，與斜邊AB相交于點(diǎn)D；②連接CD．則線段CD為所求．（1）請你按照小明設(shè)計(jì)的作法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵直線MN是線段AC的垂直平分線，點(diǎn)D在直線MN上，∴DC＝DA．（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等）（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠DCA．∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠DCA．∠B＝90°﹣∠A．∴∠BCD＝∠B．∴DC＝DB．（等角對等邊）（填推理的依據(jù)）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）分別證明DA＝DC，DC＝DB，可得結(jié)論．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵直線MN是線段AC的垂直平分線，點(diǎn)D在直線MN上，∴DC＝DA（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等），∴∠A＝∠DCA．∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠DCA．∠B＝90°﹣∠A．∴∠BCD＝∠B．∴DC＝DB（等角對等邊），∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，A，DCA，∠DCA，等角對等邊．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．23．（6分）我們有公式：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．反過來，就得到可以作為因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．如果有一個(gè)關(guān)于x的二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式x2+px+q，它的常數(shù)項(xiàng)可以看作兩個(gè)數(shù)a與b的積，而它的一次項(xiàng)的系數(shù)恰是a與b的和，它就可以分解為（x+a）（x+b），也就是說：當(dāng)p＝a+b，q＝ab時(shí)，有x2+px+q＝x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．例如：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；m2+17m+60＝（m+12）（m+5）；x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）；x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式（x2﹣2x﹣2）（x2﹣2x+4）+9進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，則原式＝（y﹣2）（y+4）+9＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2．（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？否（填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果（x﹣1）4；（2）請你運(yùn)用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3進(jìn)行因式分解．【分析】（1）根據(jù)分解因式的方法得出答案即可；（2）設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)（y﹣2）﹣3，去括號(hào)后分解因式，再代入，最后再分解因式即可．【解答】解：（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，因式分解的最后結(jié)果是（x﹣1）4．故答案為：否，（x﹣1）4；（2）（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3，設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)（y﹣2）﹣3＝y(tǒng)2﹣2y﹣3＝（y﹣3）（y+1）＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．【點(diǎn)評】本題考查了分解因式，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．24．（7分）閱讀理解：借助一些巧妙的工具，我們可以解決一些幾何問題．（1）如圖1是一種用四根木條釘成的平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，相鄰兩根木條的連接處是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的．在如圖2的幾種用法中，能作出∠MON的平分線的有①③．（填寫序號(hào)）（2）同學(xué)們在探究的過程中，發(fā)現(xiàn)利用勾尺可以解決一個(gè)尺規(guī)作圖不可能完成的三等分角問題．如圖3是小瑞設(shè)計(jì)出的三等分角的儀器——勾尺．勾尺的直角頂點(diǎn)為P，PQ（“寬臂”的寬度）＝QR＝RS，勾尺的另一邊為MN，且滿足M，N，Q三點(diǎn)共線（所以PQ⊥MN）．小瑞利用手中的勾尺，通過下列步驟將∠ABC三等分：第一步：如圖4，畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；第二步：如圖5，移動(dòng)勾尺到合適位置，使頂點(diǎn)P落在DE上，使MN邊經(jīng)過點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上；第三步：如圖6，標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置，作射線BQ和射線BP．然后小瑞利用圖6，證明射線BQ和射線BP是∠ABC的三等分線，請補(bǔ)全證明過程：證明：∵BQ垂直平分線段PR，∴BP＝BR．∵BQ⊥PR，∴∠PBQ＝∠RBQ．（請繼續(xù)完成后面的證明過程）【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可；（2）由“ASA”可證△BPJ≌△PBT，可得∠PBJ＝∠PBT，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠PBQ＝∠RBQ，即可求解．【解答】（1）解：①∵OB＝OD，CD＝CB，OC＝OC，∴△OCD≌△OCB（SSS），∴∠DOC＝∠BOC，∴OC是∠MON的平分線．正確；②∵AO＝AB，OC＝BC，∴AC垂直平分OB，∴不能證明OB是∠MON的平分線．錯(cuò)誤；③∵AD＝AB，AO＝AO，DO＝BO，∴△ADO≌△ABO（SSS），∴∠AOD＝∠AOB，∴OA是∠MON的平分線．正確；故答案為：①③；（2）如圖6，設(shè)DE與BQ交于點(diǎn)J，BC與PT交于點(diǎn)T，∵BQ垂直平分線段PR，∴BP＝BR，∵BQ⊥PR，∴∠PBQ＝∠RBQ．∵JP∥BT，BJ∥PT，∴∠BPJ＝∠PBT，∠PBJ＝∠BPT，又∵BP＝BP，∴△BPJ≌△PBT（ASA），∴∠PBJ＝∠PBT，∴∠PBT＝∠PBJ＝∠RBQ，∴射線BQ和射線BP是∠ABC的三等分線，故答案為：BP，BR．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．25．（7分）如圖，△ABC中AB＝AC，過B作BD⊥AB，交直線AC于D，在線段BD上取一點(diǎn)E，使BE＝CD，過E作BC的垂線交BC于F、交AC于G．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠DGE＝∠CBD；（3）探索AG、BD、CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)題意作圖；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解．【解答】（1）解：如圖1所示：（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ABD＝∠GFC＝90°，∴∠ACB+∠CGF＝∠ABC+∠DBC