2025年高考一輪復(fù)習(xí)專題6 數(shù)列【含解析】

2025年高考一輪復(fù)習(xí)專題6數(shù)列【原卷版】1[2024·安徽黃山三模]安徽省黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項目,至今已有500多年的歷史,表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式,魅力四射,光彩奪目,好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列{an}時,發(fā)現(xiàn)其遞推公式an+2=an+1+an(n∈N*)就可以利用“疊羅漢”的思想來處理,即a3=a1+a2,a4=a3+a2=a1+a2+a2,a5=a4+a3=a1+a2+a2+a3,…,已知數(shù)列{an}的前兩項分別為a1=1,a2=2,其前n項和為Sn,若a2025=m,則S2024= ()A.2m B.2C.m+2 D.m-22[2024·湖南長沙實驗中學(xué)二模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=12,Sn=(2n+1-2)an+1.(1)求a2及數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=log12(a1a2…an),cn=1an+1bn,求數(shù)列{cn}3[2024·湖北荊門模擬]在我國古代,楊輝三角(如圖①)是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具,從圖①中可以歸納出等式:C11+C21+C31+…+Cn1=Cn+12.類比上述結(jié)論,借助楊輝三角解決下述問題:如圖②,該“芻童垛”共2021層,底層如圖③,一邊2024個小球,另一邊2022個小球,向上逐層每邊減少1個小球① ② ③A.2C20233-2 B.2C2024C.C20244-2 D.C4[2024·山東濟(jì)寧二模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an-1+an+1=2an(n≥2,n∈N*),且a1=1,S5=15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=an,n為奇數(shù),2bn-1,n為偶數(shù),求數(shù)列5[2024·廣東茂名三模]已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn+12-Sn(1)求Sn;(2)在數(shù)列{an}的相鄰兩項ak,ak+1之間依次插入a1,a2,…,ak,得到數(shù)列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…,求{bn}的前20項和T20.6[2024·山東淄博三模]已知數(shù)列{an}中,a1=1,點(diǎn)P(an,an+1),n∈N*在直線x-y+1=0上.(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)設(shè)bn=1an,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,試問:是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)(n≥2,n∈N*)恒成立?若存在,求出g(n)的表達(dá)式;若不存在,7[2024·廣東汕頭一模]已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項的乘積為Tn,且a1=3,Tn2=a(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=an-1an+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求[S2024]([x8(多選題)[2024·遼寧沈陽質(zhì)檢]已知等比數(shù)列{an}的首項a1>1,公比為q,前n項和為Sn,前n項積為Tn,函數(shù)f(x)=x(x+a1)(x+a2)…(x+a7),若f'(0)=1,則下列結(jié)論正確的是 ()A.{lgan}為遞增的等差數(shù)列B.0<q<1C.SnD.使得Tn>1成立的n的最大值為69[2024·福建福州一中模擬]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)A1(-1,0),A2(0,-2),A3(3,0),A4(0,4),A5(-5,0),…,若△AnAn+1An+2的面積為81,則n的值為 ()A.6 B.7C.8 D.910[2024·黑龍江省實驗中學(xué)一模]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,數(shù)列{bn}滿足bn=1an·an+1,n∈N*,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和.若對任意的n∈N*,不等式λTn<n+9·(-1)n恒成立,2025年高考一輪復(fù)習(xí)專題6數(shù)列【解析版】1[2024·安徽黃山三模]安徽省黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項目,至今已有500多年的歷史,表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式,魅力四射,光彩奪目,好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列{an}時,發(fā)現(xiàn)其遞推公式an+2=an+1+an(n∈N*)就可以利用“疊羅漢”的思想來處理,即a3=a1+a2,a4=a3+a2=a1+a2+a2,a5=a4+a3=a1+a2+a2+a3,…,已知數(shù)列{an}的前兩項分別為a1=1,a2=2,其前n項和為Sn,若a2025=m,則S2024= (D)A.2m B.2C.m+2 D.m-2[解析]由an+2=an+1+an(n∈N*),得an=an+2-an+1(n∈N*),所以S2024=a2024+a2022+a2021+a2020+a2019+…+a3+a2+a1=(a2025-a2024)+(a2024-a2024)+(a2024-a2022)+(a2022-a2021)+(a2021-a2020)+…+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)=a2025-a2=m-2.故選D.2[2024·湖南長沙實驗中學(xué)二模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=12,Sn=(2n+1-2)an+1.(1)求a2及數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=log12(a1a2…an),cn=1an+1bn,求數(shù)列{cn}解:(1)因為S1=2a2,所以a2=12a1=14.因為Sn=(2n+1-2)an+1,所以Sn+1=(2n+2-2)an+兩式相減得an+1=(2n+2-2)an+2-(2n+1-2)an+1,整理得an+2an又因為a1=12,a2a1=12,所以數(shù)列{an}是首項為1所以an=12×12n(2)bn=log12(a1a2…an)=log1cn=1an+1bn=2n+Tn=2+22+…+2n+21=2(1-2n)1-2+3[2024·湖北荊門模擬]在我國古代,楊輝三角(如圖①)是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具,從圖①中可以歸納出等式:C11+C21+C31+…+Cn1=Cn+12.類比上述結(jié)論,借助楊輝三角解決下述問題:如圖②,該“芻童垛”共2021層,底層如圖③,一邊2024個小球,另一邊2022個小球,向上逐層每邊減少1個小球,頂層堆① ② ③A.2C20233-2 B.2C2024C.C20244-2 D.C[解析]由楊輝三角的性質(zhì)可得C22+C32+C42+…+Cn+12=Cn+23,即1×22+2×32+3×42+…+n(n+1)2=Cn+23,故此“芻童垛”中小球的總個數(shù)為2×4[2024·山東濟(jì)寧二模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an-1+an+1=2an(n≥2,n∈N*),且a1=1,S5=15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=an,n為奇數(shù),2bn-1,n為偶數(shù),求數(shù)列解:(1)由an-1+an+1=2an(n≥2),得an+1-an=an-an-1(n≥2),所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S5=5×a1+a52=5a3=15,所以數(shù)列{an}的公差d=a3-a13-(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,bn=an=n,當(dāng)n為偶數(shù)時,bn=2bn-1=所以T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=[1+3+…+(2n-1)]+(2+23+…+22n-1)=n2+225[2024·廣東茂名三模]已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn+12-Sn(1)求Sn;(2)在數(shù)列{an}的相鄰兩項ak,ak+1之間依次插入a1,a2,…,ak,得到數(shù)列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…,求{bn}的前20項和T20.解:(1)因為Sn+12-Sn所以當(dāng)n≥2時,Sn2=(Sn2-Sn-12)+…+(S32-S22)+(S22-S12)+S=8[1+2+3+…+(n-1)]+1=8×n(n-1)2+1因為an>0,所以Sn>0,故Sn=2n-1.當(dāng)n=1時,S1=a1=1,符合上式,所以Sn=2n-1,n∈N*.(2)因為Sn=2n-1,n∈N*,所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2,所以an=1所以數(shù)列{bn}的前20項分別為1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,所以{bn}的前20項由6個1與14個2組成,所以T20=6×1+14×2=34.6[2024·山東淄博三模]已知數(shù)列{an}中,a1=1,點(diǎn)P(an,an+1),n∈N*在直線x-y+1=0上.(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)設(shè)bn=1an,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,試問:是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)(n≥2,n∈N*)恒成立?若存在,求出g(n)的表達(dá)式;若不存在,解:(1)因為點(diǎn)P(an,an+1),n∈N*在直線x-y+1=0上,所以an-an+1+1=0,即an+1-an=1,又a1=1,所以數(shù)列{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以an=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)可知,bn=1an=1n,所以Sn=1+12+13所以Sn-Sn-1=1+12+13+…+1n-1+12+13+…所以nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1(n≥2),所以(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,(n-2)Sn-2-(n-3)Sn-3=Sn-3+1,…,2S2-S1=S1+1,所以nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1(n≥2),所以S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1)(n≥2).根據(jù)題意,S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)(n≥2,n∈N*)恒成立,所以g(n)=n,所以存在關(guān)于n的整式g(n)=n,使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)(n≥2,n∈N*)恒成立7[2024·廣東汕頭一模]已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項的乘積為Tn,且a1=3,Tn2=a(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=an-1an+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求[S2024]([x解:(1)由Tn2=ann+1,所以Tn+12Tn2=an+12=an+1n+2ann+1,即an+1n=ann+1,所以所以lgan又lga11=lg3,所以lgann=lga11=lg3,所以lgan=nlg3=lg3n(2)由(1)可得bn=an-1an+1=則Sn=1-231+1+1-23因為131+1+132+1+…+13n+1<131+1所以Sn=n-2131+1+132所以2022<S2024<2024,故[S2024]=2022.8(多選題)[2024·遼寧沈陽質(zhì)檢]已知等比數(shù)列{an}的首項a1>1,公比為q,前n項和為Sn,前n項積為Tn,函數(shù)f(x)=x(x+a1)(x+a2)…(x+a7),若f'(0)=1,則下列結(jié)論正確的是 (BCD)A.{lgan}為遞增的等差數(shù)列B.0<q<1C.SnD.使得Tn>1成立的n的最大值為6[解析]函數(shù)f(x)=x(x+a1)(x+a2)…(x+a7),則f'(x)=(x+a1)(x+a2)…(x+a7)+x[(x+a1)(x+a2)…(x+a7)]',因為f'(0)=1,所以a1a2…a7=1,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a7=a2a6=a3a5=a42,所以a1a2…a7=a47=1,所以a4=1,由a1>1,可得0<q<1,故B正確;因為等比數(shù)列{an}的首項a1>1,公比為q,且0<q<1,所以an+1an=q,則lgan+1-lgan=lgan+1an=lgq<0,故{lgan}為遞減的等差數(shù)列,故A錯誤;設(shè)bn=Sn-a11-q=a1(1-qn)1-q-a11-q=a1q-1qn,則當(dāng)n≥2時,bnbn-1=a1q-1qna1q-1qn-1=q為常數(shù),因為a1所以使得Tn>1成立的n的最大值為6,故D正確.故選BCD.9[2024·福建福州一中模擬]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)A1(-1,0),A2(0,-2),A3(3,0),A4(0,4),A5(-5,0),…,若△AnAn+1An+2的面積為81,則n的值為 (C)A.6 B.7C.8 D.9[解析]由題意,螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)A1(-1,0),A2(0,-2),A3(3,0),A4(0,4),A5(-5,0),…,可得|OAn|=n,|OAn+1|=n+1,|OAn+2|=n+2,則S△AnAn+1An+2=S△OAnAn+1+S△OAn+1An+2=12|OAn|·|OAn+1|+12|OAn+1|·|OAn+2|=12n·(n+1)+12(n+1)(n+2)=(n+1)10[2024·黑龍江省實驗中學(xué)一模]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,數(shù)列{bn}滿足bn=1an·an+1,n∈N*,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和.若對任意的n∈N*,不等式λTn<n+9·(-1)n恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍為(-∞[解析]當(dāng)n=1時,a1=S1=1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.又a1=1也符合上式,則an=2n-1,