陜西省西安市西咸新區(qū)2024屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

陜西省西安市西咸新區(qū)2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)，全卷滿(mǎn)分150分，答題時(shí)間120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫(xiě)清楚3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可得答案.【詳解】，其虛部．故選：D．2已知全集，集合或，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的補(bǔ)集運(yùn)算以及交集運(yùn)算即可求解.【詳解】已知集合或，所以，又，所以，而又可將其用區(qū)間表示為：.故選：A.3.“二十四節(jié)氣”是中國(guó)古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩(shī)．他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）A.90 B.180 C.220 D.360【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)為.故選：C4.已知?jiǎng)tp是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)解分式不等式的方法，結(jié)合充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】或，顯然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p，所以p是q的充分不必要條件，故選：A5.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由題意可知，將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得到函數(shù)的圖象.故選：C.6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)定義域，求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，可得.故選：C.7.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線和所成角的余弦值是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化為共面直線，再結(jié)合余弦定理求夾角即可.【詳解】如圖所示，在長(zhǎng)方體中易知，即異面直線和所成角為,由，，及勾股定理可得,由余弦定理可得，故選：A8.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出可行域，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示作出可行域，當(dāng)過(guò)直線和的交點(diǎn)即時(shí)，此時(shí).故選：C9.已知圓錐的底面半徑為4，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓錐的軸截面、側(cè)面展開(kāi)圖性質(zhì)求體高，應(yīng)用圓錐體積公式求體積即可.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，高為h，由，得，則，所以該圓錐的體積為．故選：C10.設(shè)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則使得成立的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由題意，P在以為直徑的圓上，數(shù)形結(jié)合判斷圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，則，，∵，∴P在以為直徑的圓上，該圓與橢圓有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，又P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合，故符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有2個(gè).故選：B．11.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，是偶函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用給定的性質(zhì)把函數(shù)值化成上某個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較作答.【詳解】因?yàn)樵谏系暮瘮?shù)滿(mǎn)足，則，，又，于是，所以.故選：D12.已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，求出漸近線方程，設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件列出方程，化簡(jiǎn)整理即可求解．【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為：，設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由題意可得，解得，又點(diǎn)M在雙曲線上，則，整理得：，得離心率，故選：D二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為40秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒，則當(dāng)你到達(dá)該路口時(shí)，看見(jiàn)黃燈的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何概型運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)題意得：看見(jiàn)黃燈的概率為.故答案為：14.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為得到周期，從而求得，然后再由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，則，，所以，又函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，則，即，因?yàn)?，所以，故答案為?5.在中，分別為邊的中點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】連接，利用平面向量數(shù)量積、平面向量基本定理可得答案.【詳解】連接，因?yàn)?，分別為邊，的中點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)既有極小值又有極大值，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)既有極小值又有極大值，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而分離參數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)既有極小值又有極大值，則在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，令，，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到；（2）由通項(xiàng)公式可確定的正負(fù)，分別在和的情況下，去掉絕對(duì)值符號(hào)，從而求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.18.大學(xué)生劉銘去某工廠實(shí)習(xí)，實(shí)習(xí)結(jié)束時(shí)從自己制作的某種零件中隨機(jī)選取了10個(gè)樣品，測(cè)量每個(gè)零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)12345678910總和零件的橫截面積0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.413.9并計(jì)算得．（1）估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積以及平均一個(gè)零件的耗材量；（2）求劉銘同學(xué)制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）劉銘同學(xué)測(cè)量了自己實(shí)習(xí)期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請(qǐng)幫劉銘計(jì)算一下他制作的零件的總耗材量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】（1）平均每個(gè)零件的橫截面積為，一個(gè)零件的耗材量（2）（3）【解析】【分析】（1）計(jì)算出樣本中10個(gè)零件的橫截面積的平均值和耗材量的平均值，得到答案；（2）代入相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出答案.（3）根據(jù)零件的耗材量和其橫截面積近似成正比得到方程，求出答案.【小問(wèn)1詳解】樣本中10個(gè)這種零件的橫截面積的平均值，樣本中10個(gè)這種零件的耗材量的平均值，由此可估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個(gè)零件的橫截面積為，平均一個(gè)零件的耗材量為．【小問(wèn)2詳解】，這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)這種零件的總耗材量的估計(jì)值為，又已知這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，，解得，故這種零件的總耗材量的估計(jì)值為．19.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問(wèn)1詳解】由拋物線過(guò)點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；【小問(wèn)2詳解】由不過(guò)原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因?yàn)?，所以，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.20.如圖，在三棱錐中，底面ABC，.（1）求證：平面平面PBC；（2）若M是PC的中點(diǎn)，二面角的大小為45°且，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由題意求出的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，連接，則為直線與平面所成的角，然后在中可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镻A⊥底面，平面，所以，因?yàn)椤螦BC＝90°，所以，因?yàn)?平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面PBC.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知平面，平面，所以，因?yàn)?，所以為二面角的平面角，所以，令，則，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，且為的中點(diǎn)，連接，則為直線與平面所成的角，在中，,在中，，M是PC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所?在中，，，則直線與平面所成角的正切值為.21.已知曲線C：（1）若曲線C過(guò)點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；（2）若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后由點(diǎn)斜式得切線方程并化簡(jiǎn)；（2）先求得，得的單調(diào)性，然后討論的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【小問(wèn)1詳解】依題意得，，此時(shí)，，則切線斜率為，故切線方程：，即.【小問(wèn)2詳解】，令得，令得，令得．減區(qū)間為，增區(qū)間為，∴．當(dāng)時(shí)，，∴，∴上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，又，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，又令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（二）選考題：共10分.考生從22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為4.（1）寫(xiě)出的一個(gè)參數(shù)方程；（2）直線與相切，且與軸和軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，若，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）（為參數(shù)）；（2），或.【解析】【分析】（1）由題可得的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)而可得的參數(shù)方程；（2）根據(jù)題意可得直線的斜率為，然后利用直線與圓的位置關(guān)系可得直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而即得.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線的斜率為，設(shè)其方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為4，所以，化解得，解得，或，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，或，所以直線的極坐標(biāo)方程為，或.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（