專題18.2 中位線定理與幾何綜合（壓軸題專項(xiàng)講練）（人教版）（解析版）-八年級數(shù)學(xué)下冊

專題18.2中位線定理與幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)總結(jié)一、三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。典例分析典例分析【典例1】知識回顧：（1）連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，如圖1，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則線段DE稱為ΔABC的中位線，則DE與BC的位置關(guān)系是；DE與BC的數(shù)量關(guān)系是方法探究：（2）請將圖2中的三角形通過剪切拼接成一個與之面積相等的平行四邊形，若要求只有一條剪切線，請畫出剪切線及剪拼成的平行四邊形，并說明拼接方法．問題解決：（3）如圖3，有一塊空地和水井E，李大爺計(jì)劃利用該空地和水井修建一片菜地ABCD，其中點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AB=40m，CD=30m，∠A+∠D=240°．為灌溉方便，李大爺想在水井E處修建一條水渠EF(EF為線段，且F在AD上），且水渠兩邊的菜地面積相等，已知修建該水渠的費(fèi)用為60元/m【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形中位線定理即可求解；（2）取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接DE，延長DE至F，使DE=EF，由三角形中位線定理可得DE∥BC，DE=12BC，AE=CE，于是可通過SAS證明ΔADE?ΔCFE，得到（3）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，作FM∥AB交BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N∥CD交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NO⊥FM于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EP⊥FM于點(diǎn)P，由梯形的面積公式可知S梯形ABEF=S梯形CDFE，易得四邊形ABMF，四邊形CDFN為平行四邊形，得到AB=FM=40m，CD=FN=30m，由四邊形內(nèi)角和為360°得∠B+∠C=120°，由平行線的性質(zhì)得FMN+∠FNM=120°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠MFN=60°，由含30°的直角三角形性質(zhì)得OF=12FN=15(m)，ON=3OF=15【解題過程】解：（1）∵點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE為ΔABC∴DE∥BC，DE=1故答案為：DE∥BC，（2）如圖，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接DE，延長DE至F，使DE=EF，∵點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE為ΔABC∴DE∥BC，DE=12BC在ΔADE和ΔAE=CE∠AED=∠CEF∴Δ∴S∴S∵DE=EF，∴DF=BC，∵DF∥BC，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，以DE為剪切線將三角形ABC裁剪，將ΔADE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則四邊形BCFD（3）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，作FM∥AB交BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N∥CD交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NO⊥FM于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EP⊥FM于點(diǎn)P，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為梯形，由梯形的面積公式可知，S梯形∵FM∥AB，F(xiàn)N∥CD，∴四邊形ABMF，四邊形CDFN為平行四邊形，∴AB=FM=40m，CD=FN=30m，∵∠A+∠D=240°，∴∠B+∠C=120°，∵FM∥AB，F(xiàn)N∥CD，∴∠FMN=∠B，∠FNM=∠C，∴∠FMN+∠FNM=∠B+∠C=120°，∴∠MFN=180°?(∠FMN+∠FNM)=180°?120°=60°，∵NO⊥FM，∠MFN=60°，∴∠FNO=30°，∴OF=12FN=15(∴OM=FM?OF=40?15=25(m∵NO⊥FM，EP⊥FM，∴PE∥ON，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴PE為ΔMON∴PE=12ON=∴FP=OF+OP=15+25在RtΔPEF中，EF=P∵修建該水渠的費(fèi)用為60元/m，∴修建這條水渠EF所需的總費(fèi)用為537×60=30037學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)（AD<BD），點(diǎn)D關(guān)于AC，BC的對稱點(diǎn)分別為F，E，連接DE，DF，EF，且EF經(jīng)過點(diǎn)（1）求證：點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)；（2）如圖2，連接AF，BE，求證：AF∥BE；（3）在（2）的條件下，延長EB到點(diǎn)G使BG=AF，連接GF交AB于點(diǎn)H，連接EH，DC，若EH⊥FG，當(dāng)DC=4時，求AB的長．

【思路點(diǎn)撥】（1）連接CD，由軸對稱的性質(zhì)可得AC垂直平分DF，BC垂直平分DE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得DC=FC，DC=EC，從而得到CE=CF，即可得證；（2）令A(yù)C、DF交于點(diǎn)G，BC、DE交于點(diǎn)H，由軸對稱的性質(zhì)可得AC垂直平分DF，BC垂直平分DE，從而得出∠DAC=∠FAC，∠DBC=∠EBC，∠AGD=90°，進(jìn)而得出∠ADF+∠DAC=90°，證明CH是△EDF的中位線，得到CH∥DF，從而得到∠DCB=∠ADF，求出∠BAF+∠AEB=180°即可得證；（3）由軸對稱的性質(zhì)可得AC垂直平分DF，BC垂直平分DE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=BD，AD=AF，由（1）得：CE=CF=CD，從而得出EF=8，證明△BGH≌△AFHAAS得到GH=FH，結(jié)合EH⊥FG，可得GE=FE=8，從而得到BE=8?GB，最后由AB=BD+AD，結(jié)合AD=AF=GB【解題過程】（1）證明：如圖，連接CD，∵點(diǎn)D關(guān)于AC，BC的對稱點(diǎn)分別為F，∴AC垂直平分DF，BC垂直平分DE，∴DC=FC，DC=EC，∴CE=CF=CD，∵EF經(jīng)過點(diǎn)C，∴點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)；（2）解：如圖，令A(yù)C、DF交于點(diǎn)G，BC、DE交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)D關(guān)于AC，BC的對稱點(diǎn)分別為F，∴AC垂直平分DF，BC垂直平分DE，∴∠DAC=∠FAC，∠DBC=∠EBC，∠AGD=90°，∴∠ADG+∠DAG=90°，即∠ADF+∠DAC=90°，由（1）得：點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)，∵H是DE的中點(diǎn)，∴CH是△EDF的中位線，∴CH∥DF，∴∠DCB=∠ADF，∴∠DCB+∠DAC=90°，∵∠EBC+∠DBC+∠DAC+∠FAC=2∠DBC+2∠DAC=2∠DBC+∠DAC∴∠DAF+∠DEB=180°，即∠BAF+∠AEB=180°，∴AF∥BE；（3）解：∵點(diǎn)D關(guān)于AC，BC的對稱點(diǎn)分別為F，∴AC垂直平分DF，BC垂直平分DE，∴BE=BD，AD=AF，由（1）得：CE=CF=CD，∵CD=4，∴CE=CF=CD=4，∴EF=CE+CF=4+4=8，∵AF∥BE，∴∠G=∠AFH，在△BGH和△AFH中，∠G=∠AFH∠GHB=∠FHA∴△BGH≌△AFHAAS∴GH=FH，∵EH⊥FG，∴HE垂直平分GF，∴GE=EF=8，∴BD=BE=BG?GB=8?GB，∵AD=AF=GB，∴AB=BD+AD=8?GB+AD=8．2．（23-24八年級上·山東濟(jì)南·期末）問題情景：老師讓同學(xué)們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點(diǎn)M，P，問題探究：（1）甲小組發(fā)現(xiàn)：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，把△CDE繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請判斷△PMN的形狀并證明；問題拓展：（3）兩小組的同學(xué)繼續(xù)探究：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD=4，CB=10時，直接寫出線段

【思路點(diǎn)撥】（1）理由三角形的中位線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）△PMN是等腰直角三角形．證明△CBD≌△CAESAS得到∠CBD=∠CAE，BD=AE，由三角形中位線性質(zhì)可證明△PMN是等腰三角形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DAE，∠PNA=∠DBA，進(jìn)而可得到∠MPN=∠CAB+∠ABC=90°（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，MN=2PM，推出點(diǎn)D在BC【解題過程】解：（1）∵點(diǎn)M，P，∴PM∥AE，PN∥BD，∴∠MPD=∠CAD，∠NPD=∠ADC，∴∠MPD+∠NPD=∠CAD+∠ADC，即∠MPN=∠CAD+∠ADC，∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠ACD=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠CAD+∠ADC=90°，AE=BD，∴∠MPN=90°，PM=PN，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．證明：連接BD，由旋轉(zhuǎn)知，∠BCD=∠ACE，∵BC=AC，CD=CE，∴△CBD≌△CAESAS∴∠CBD=∠CAE，BD=AE，∵點(diǎn)P，M，∴PN，PM分別是△ABD，∴PN=12BD∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，又∵PM∥AE，∴∠DPM=∠DAE，∠PNA=∠DBA，∵∠DPN=∠DAB+∠PNA=∠DAB+∠DBA，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DAE+∠DAB+∠DBA，=∠BAE+∠DBA，=∠CAB+∠CAE+∠DBA，=∠CAB+∠CBD+∠DBA，=∠CAB+∠ABC，∵∠BCA=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD∴點(diǎn)D在BC的延長線上時，PM有最大值，∴BD=CB+CD=14，∴PM=7，∴MN=723．（23-24八年級上·山東濟(jì)寧·期末）在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2α

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，求證：D是MC的中點(diǎn)；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接ME并延長至點(diǎn)G，使得GE=ME，連接AG，GC，①求證AG=AM；②求出∠AEM（3）如圖3，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足DF=DC，連接AE，EF，寫出∠AEF

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角推導(dǎo)出DE=CD，由旋轉(zhuǎn)可知MD=ED，則DM=CD，即可證明D是MC的中點(diǎn)；（2）①先推導(dǎo)出ED是△MCG的中位線,則ED=12CG，再由（1）可知ED=12CM，可推導(dǎo)出△MCG是等腰三角形，則CE⊥MG，再由②由①可知AE⊥GM，即可得∠AEM=90°；（3）延長FE至H，使FE=EH，連接AH、HC，能推導(dǎo)出ED是△FHC的中位線，設(shè)DM=DE=m，CD=n，證明△ABF≌△ACH(SAS)，可得AF=AH，再由EF=EH，得到AE⊥FH，即可求【解題過程】（1）證明:∵∠EDM=2a,∠C=α，∴∠DEC=α，∴DE=CD，∵M(jìn)D=ED，∴DM=CD，∴D是MC的中點(diǎn)；（2）①證明:∵M(jìn)E=EG，∴E是MG的中點(diǎn)，∵D是MC的中點(diǎn)，∴ED是△MCG的中位線，∴ED=1∵ED=MD=CD，∴ED=1∴CG=CM，∴△MCG是等腰三角形，∴CE⊥MG，∵E是MG的中點(diǎn),∴AM=AG；②由①可知,AE⊥GM，∴∠AEM=90°；（3）延長FE至H，使FE=EH，連接AH、HC，

∵DF=DC,FE=EH，∴ED是△FHC的中位線，∴CH=2ED,DE∥HC，∵DM=DE,∠EDM=2α，∴∠FCH=2α，∵∠ACB=α，∴∠ACH=α,設(shè)DM=DE=m,CD=n，∴CH=2m,CM=m+n,DF=CD=n，∴FM=DF?DM=n?m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM?FM=2m，∴CH=BF，∴△ABF≌△ACH(SAS∴AF=AH，∵EF=EH，∴AE⊥FH，∴∠AEF=90°．4．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，連接AP，BP．若∠APM=∠BPN，則稱點(diǎn)P是點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線MN的“等角點(diǎn)”．（1）如圖2，∠ABD是等邊三角形ABC的外角，點(diǎn)P是該外角平分線上一點(diǎn)，試說明點(diǎn)B是點(diǎn)P和點(diǎn)A關(guān)于直線CD的“等角點(diǎn)”．（2）如圖3，點(diǎn)B，C在∠PAQ的兩邊上，且AB=AC，連接BC，點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AP的對稱點(diǎn)為E，連接EB并延長至點(diǎn)G，使點(diǎn)C是點(diǎn)G和點(diǎn)B關(guān)于直線AQ的“等角點(diǎn)”．連接DE，當(dāng)∠BDE=35°時，求∠BGC的度數(shù)．（3）如圖4，將兩個大小不同的直角三角板ABC和EDG（∠ABC=∠EDG=60°，AB<DE）的斜邊擺放在直線l上，且點(diǎn)D與BC中點(diǎn)重合，連接AE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE．連接CF，F(xiàn)G．若FG上存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)C恰好是點(diǎn)A和點(diǎn)M關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．設(shè)AB=m，DE=n，求MG的長．（用含m，n的式子表示）

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=60°，根據(jù)平角和角平分線的定義得到∠DBP=60°，則∠DBP=∠ABC，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）軸對稱的性質(zhì)可得∠BED=∠BDE=35°，∠ABE=∠ABD，則∠EBD=110°，進(jìn)而得到∠ABC=55°，∠CBG=70°，由等邊對等角得到∠ACB=∠ABC=55°，再由點(diǎn)C是點(diǎn)G和點(diǎn)B關(guān)于直線AQ的“等角點(diǎn)”，得到∠ACB=∠QCG=55°，由平角的定義得到（3）由平行線的唯一性和三角形中位線定理證明DP，DE重合，即點(diǎn)H與點(diǎn)P重合，進(jìn)而證明HE是△ACF的中位線，得到HE∥CF，CF=2n?m，則∠ACF=∠BAC=90°，推出∠GCF=60°，再證明CF=CG，推出△CFG是等邊三角形，得到FG=CG=2n?m，由點(diǎn)C恰好是點(diǎn)A和點(diǎn)M關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”得到∠MCG=∠ACB=30°，則【解題過程】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=180°?∠ABC=120°，∵BP平分∠ABD，∴∠DBP=1∴∠DBP=∠ABC，∴點(diǎn)B是點(diǎn)P和點(diǎn)A關(guān)于直線CD的“等角點(diǎn)”；（2）解：由軸對稱的性質(zhì)可得∠BED=∠BDE=35°，∴∠EBD=180°?∠BDE?∠BED=110°，∴∠ABC=55°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=55°，∵點(diǎn)C是點(diǎn)G和點(diǎn)B關(guān)于直線AQ的“等角點(diǎn)”，∴∠ACB=∠QCG=55°，∴∠BCG=180°?∠ACB?∠QCG=70°，∴∠BGC=180°?∠BCG?∠CBG=40°；（3）解：如圖所示，設(shè)DE，AC交于H，取AC中點(diǎn)P，連接∵∠ABC=∠EDG=60°，∴AB∥DE，∵點(diǎn)D與BC中點(diǎn)重合，∴DP是△ABC的中位線，∴DP∥AB，DP=1∴DP，DE重合，即點(diǎn)H與點(diǎn)∵AE=EF，即點(diǎn)E為AF中點(diǎn)，∴HE是△ACF的中位線，∴HE∥CF，CF=2HE=2DE?PD∴CF∥AB，∴∠ACF=∠BAC=90°，∴∠GCF=60°，∵BC=2AB=2m，∴CD=1∴CG=DG?CD=2n?m，∴CF=CG，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CG=2n?m∵點(diǎn)C恰好是點(diǎn)A和點(diǎn)M關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”∴∠MCG=∠ACB=30°，∴MG=15．（22-23九年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖1，△ABC與△AEF都是等邊三角形，邊長分別為4和3，連接FC，AD為△ABC的高，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．

（1）求證：△ACF≌（2）將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時，如圖2，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長；（3）連接BN，在△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCN面積的最大值．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)SAS證明即可；（2）證明AC垂直平分線段EF，推出CE=CF，利用勾股定理求出CE，再利用三角形中位線定理求出GN；（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，BN≤BH+HN，BN≤523，當(dāng)點(diǎn)H在線段BN上時，BN可以取到最大值，再求出△BCN【解題過程】（1）∵△ABC與△AEF是等邊三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，AE=AF，AB=AC，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌（2）∵AD為等邊△ABC的高，∴DC=12BC=2∴AD=A∵AE=AF，∠EAG=∠FAG=30°，∴AC⊥EF，EG=FG，∴CE=CF，∵AE=3∴DE=23∴EC=3∴CF=CE=7∵∠AEF=60°，∠DAC=30°，∴∠AGE=180°?60°?30°=90°，∴∠CGE=180°?90°=90°，∵N為CE的中點(diǎn)，∴NG=1（3）如圖，取AC的中點(diǎn)H，連接BH，NH，

∵BH為等邊△ABC的中線，∴BH⊥AC，∠HBC=30°,由（2）同理可得，BH=23∵N為CE的中點(diǎn)，∴NH是△ACE的中位線，∴NH=1在旋轉(zhuǎn)的過程中，BN≤BH+HN，∴BN≤5∴當(dāng)點(diǎn)H在線段BN上時，BN可以取到最大值，∴BN的最大值為52此時，過點(diǎn)N作NM⊥BC，交于點(diǎn)M,如圖，

∴NM=∴S△BCN故，△BCN面積的最大值為526．（23-24九年級上·陜西西安·開學(xué)考試）已知，AD是△ABC的中線，過點(diǎn)C作CE∥DA．

（1）如圖1，DE∥BA交AC于點(diǎn)F，連接AE．求證：四邊形（2）P是線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），PE∥BA交AC于點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)E，連接AE．如圖2，四邊形（3）在第（2）問的條件下，如圖3，延長BP交AC于點(diǎn)Q，若BQ⊥AC，∠ACB=45°，∠CAD=30°，BC=4，請求出AQ的值．

【思路點(diǎn)撥】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，由題意可知BD=DC，可證得△ABD≌△EDC，進(jìn)而可知AB=DE，即可證得四邊形ABDE是平行四邊形；（2）延長BP，交CE于G，取CG中點(diǎn)H，連接DH，由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，由題意可知DH為△BCG的中位線，先證四邊形PDHG為平行四邊形，可得DH=PG，進(jìn)而證得BP=PG，即可證明△ABP≌△EPGASA，可得AB=EP，即可證得四邊形ABPE（3）取BQ中點(diǎn)M，連接DM，可知MD為△BCQ的中位線，得MD∥AC，MD=12CQ，利用由勾股定理及含30°的直角三角形求解BQ，MD，MP，PQ【解題過程】（1）證明：∵CE∥DA，∴∠ADB=∠ECD，∵DE∥BA，∴∠ABD=∠EDC，又∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDCASA∴AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：四邊形ABPE是平行四邊形，理由如下：延長BP，交CE于G，取CG中點(diǎn)H，連接DH，

∵CE∥DA，∴∠APB=∠EGP，∵PE∥BA，∴∠ABP=∠EPG，∵AD是△ABC的中線，點(diǎn)H為CG的中點(diǎn)，∴DH為△BCG的中位線，∴DH∥BG，BG=2DH，即DH∥PG又∵CE∥DA，即GH∥PD，∴四邊形PDHG為平行四邊形，∴DH=PG，則BG=2DH=2PG=PG+BP，∴BP=PG，∴△ABP≌△EPGASA∴AB=EP，∴四邊形ABPE是平行四邊形；（3）解：取BQ中點(diǎn)M，連接DM，∵AD是△ABC的中線，點(diǎn)M為BQ的中點(diǎn)，∴MD為△BCQ的中位線，∴MD∥AC，MD=1

∵BQ⊥AC，∠ACB=45°，則∠BQC=∠AQP=90°∴∠CBQ=45°=∠ACB，則BQ=CQ，由勾股定理可得：BQ∴BQ=CQ=2∴MD=12CQ=∵M(jìn)D∥AC，∠CAD=30°∴∠BQC=∠DMP=90°，∠PDM=∠CAD=30°，∴PD=2MP，由勾股定理可得：PD2?M則PQ=MQ?MP=3∵∠AQP=90°，∠CAD=30°，∴AP=2PQ，由勾股定理可得：AP2?P7．（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期末）在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接CD．（1）如圖1，若∠ACD=30°,BC=6，求CD的長；（2）如圖2，將線段CD繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接BE，過點(diǎn)C作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，求證：AF=DF；（3）如圖3，以B為直角頂點(diǎn)，在BD下方作直角△BDM，點(diǎn)N為DM的中點(diǎn)，連接CN，點(diǎn)Q為CN的中點(diǎn)，連接DQ，若BC=6,BM=22，直接寫出DQ

【思路點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)（1）過點(diǎn)D作DQ⊥AC，垂足為Q，勾股定理，分母有理化計(jì)算即可．（2）過點(diǎn)A作CD的平行線交CF于點(diǎn)Q，分別證明△ACQ≌△CBE(AAS（3）連接AM，取其中點(diǎn)G，連接GN并延長交BM于點(diǎn)H，利用三角形中位線定理，垂線段最短，斜邊最長，勾股定理計(jì)算即可．【解題過程】（1）過點(diǎn)D作DQ⊥AC，垂足為Q，

設(shè)AQ=x，則DQ=x,CD=2x,CQ=C∴x+3∴x=3∴CD=2x=63（2）過點(diǎn)A作CD的平行線交CF于點(diǎn)Q，∵∠2+∠FCB=90°,∠3+∠FCB=90°，∴∠2=∠3同理可得：∠1=∠E又∵CD∥AQ，∴∠1=∠Q，∴∠Q=∠E在△ACQ和△CBE中∠Q=∠E∴△ACQ≌∴AQ=CE又∵CD=CE∴AQ=CD在△AFQ和△DFC中∠AFQ∠DFC∴△AFQ∴AF=DF．（3）如圖，連接AM，取其中點(diǎn)G，連接GN并延長交BM于點(diǎn)H，∵點(diǎn)N為DM的中點(diǎn)，∴GN是△ADM的中位線，∴GH∥AB，∵

∠ABM=90°，∴∠GHM=90°，過點(diǎn)D作DO⊥GN，交GN的反向延長線于點(diǎn)O，則四邊形DOHB是矩形，∴DO=HB，∵

∠DON=∠MHN∠DNO=∠MNH∴△DON≌△MHNAAS∴DO=MH，∴DO=MH=BH，∵BM=22∴DO=MH=BH=1取AB的中點(diǎn)K，連接GK，則GK是△ABM的中位線，∴GK∥BM,GK=1∵∠ABM=90°，∴∠AKG=90°，連接CK，∵AC=BC=6，∠ACB=90°，∴∠AKC=90°，AK=BK=CK=1∵AC=BC=6，∠AKC+∠AKG=180°，∴C,K,G三點(diǎn)共線，∴CG=AK+KG=42取CG的中點(diǎn)P，連接PQ，則CP=PG=12CG=2∴PK=KG=2∴PQ∥AB的平行線間的距離為2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)QD⊥AB時，DQ取得最小值，且DQ=2當(dāng)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時，DQ取得最大值，且DQ=2故DQ的取值范圍是2≤DQ8．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）如圖，△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線BA，BC上，DE⊥DF，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上，BP=2，CP=6，（1）當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上，證明AE=CF；（2）當(dāng)△MPF為直角三角形，求AE的長（3）直接寫出PM的最小值_____________．

【思路點(diǎn)撥】（1）先證明四邊形ABCD是正方形，即∠EAD=∠DCF=90°，再證明△EAD≌△FCD，問題得解；（2）當(dāng)△MPF為直角三角形，且∠MPF=90°時，先證明PM是△BFE的中位線，問題隨之得解；當(dāng)△MPF為直角三角形，且∠PMF=90°時，連接DM，EP，先證明△DEF是等腰直角三角形，即可得MD垂直平分EF，再證明MP、DM共線，則有DP垂直平分EF，進(jìn)而可得EP=PF，設(shè)AE=CF=x，則BE=AB?AE=8?x，PF=PC+CF=6+x，在Rt△BEP中，根據(jù)PE2（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，設(shè)△MPF、△MPF交于點(diǎn)G，過E點(diǎn)作EH∥BC，交AC于點(diǎn)H，先證明△HGE≌△CGF，即可得點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，同理可證：當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時，可得點(diǎn)M在線段AC上，再根據(jù)垂線段最短即可求解．【解題過程】（1）∵△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°，BA=BC，DA=DC，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是正方形，即∠EAD=∠DCF=90°，∵BP=2，CP=6，∴AB=CD=AD=BC=BP+CP=8，∵DE⊥DF，∠ADC=90°，∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴∠EDA=∠CDF，∵∠EAD=∠DCF=90°，AD=CD，∴△EAD≌△FCD，∴AE=CF；（2）當(dāng)△MPF為直角三角形，且∠MPF=90°時，如圖，∵∠MPF=90°=∠B，∴PM∥BE，∵點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，∴PM是△BFE的中位線，∴BP=PF=2，∴CF=BC?BP?PF=4，∴AE=CF=4；當(dāng)△MPF為直角三角形，且∠PMF=90°時，連接DM，EP，如圖，∵△EAD≌△FCD，∴ED=FD，又∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∵點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，∴MD⊥EF，MD=MF=1∴MD垂直平分EF，∵∠PMF=90°，∴MP⊥EF，∴MP、DM共線，∴DP垂直平分EF，∴EP=PF，設(shè)AE=CF=x，∴BE=AB?AE=8?x，PF=PC+CF=6+x，∴EP=PF=6+x，∵在Rt△BEP中，P∴6+x2解得：x=8即此時，AE=8綜上：△MPF為直角三角形，AE為87或者4（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時，設(shè)△MPF、△MPF交于點(diǎn)G，過E點(diǎn)作EH∥BC，交AC于點(diǎn)H，如圖，∵EH∥BC，∴∠AHE=∠ACB=45°，∴∠AHE=∠EAH=45°，∠HEG=∠GFC，∴AE=EH，∵AE=CF，∴EH=CF，又∵∠HGE=∠FGC，∠HEG=∠GFC∴△HGE≌△CGF，∴GE=GF，∴點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∵點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，，∴點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，∴點(diǎn)M在線段AC上，同理可證：當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時，點(diǎn)M在線段AC上，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥AC時，PM有最小值，∵PM⊥AC，∠PCM=45°，∴∠MPC=∠PCM=45°，∴PM=MC，∵PM2+M∴2PM∴PM=32∴PM有最小值為329．（23-24八年級上·重慶九龍坡·期中）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．

（1）如圖所示，若點(diǎn)E恰好是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AD延長線的垂線，垂足為點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)H．求證：AC?AB=2BH；（2）若∠DAE=90°，∠BAC=48°，且滿足AB+AC=EC，直接寫出∠ACB的度數(shù)．

【思路點(diǎn)撥】（1）延長BH至點(diǎn)P，使HP=HB，連接PC，延長AG，交PC于點(diǎn)Q，根據(jù)中位線性質(zhì)得出HE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠HGA=∠PQA，證明△PAQ≌△CAQASA，得出AP=AC，根據(jù)BP=2BH，AP=AB+BP，得出AC=AB+2BH（2）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)E在CB左側(cè)延長線上時，②當(dāng)點(diǎn)E在BC右側(cè)延長線上時，分別畫出圖形，左側(cè)輔助線，求出∠ACB的度數(shù)即可．【解題過程】（1）證明：延長BH至點(diǎn)P，使HP=HB，連接PC，延長AG，交PC于點(diǎn)Q，如圖所示：∵HP=HB，點(diǎn)E恰好是BC邊的中點(diǎn)，∴HE∥BC，∴∠HGA=∠PQA，∵AG⊥HF，∴∠HGA=90°，∴∠CQA=∠PQA=90°，∵AD為△ABC的角平分線，∴∠PAQ=∠CAQ，∵AQ=AQ，∴△PAQ≌△CAQASA∴AP=AC，∵BP=2BH，AP=AB+BP，∴AP=AB+2BH，∴AC=AB+2BH，∴AC?AB=2BH．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在CB左側(cè)延長線上時，如圖所示，延長CA，使得AF=AB，連接EF，

∵AB+AC=AC+AF=CF=EC，∴∠CFE=∠CEF，∵AD為△ABC的角平分線，∠BAC=48°，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠DAE=90°，∴∠FAE+∠CAD=90°，∠BAE+∠BAD=90°，∴∠FAE=∠BAE，∵AE=AE，AF=AB，∴△EAF≌△EABSAS∴∠FEA=∠BEA，設(shè)∠FEA=∠BEA=α，則∠CFE=∠CEF=2α，∵∠EDA=∠ACB+∠CAD，∴∠EDA=∠ACB+24°，∵∠DAE=90°，∴∠BEA+∠EDA=90°，∴α+24°+∠ACB=90°，∴α+∠ACB=66°，∵∠CFE+∠CEF+∠ACB=180°，∴4α+∠ACB=180°，聯(lián)立方程組α+∠ACB=66°4α+∠ACB=180°解得：∠ACB=28°；②當(dāng)點(diǎn)E在BC右側(cè)延長線上時，如圖所示，延長CA，使得AF=AB，連接EF，延長DA交EF于點(diǎn)G，

∵AF=AB，AF+AC=CF，∴CF=AB+AC，∵CE=AB+AC，∴CF=CE，∴∠CFE=∠CEF，∵AD為△ABC的角平分線，∠BAC=48°，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠GAF=∠CAD，∴∠GAF=∠BAD，∵∠DAE=∠GAE=90°，∴∠FAE=∠GAE+∠GAF，∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠FAE=∠BAE，∵AE=AE，AF=AB，∴△EAF≌△EABSAS

∴∠CFE=∠ABE，∠FEA=∠BEA，∵∠CFE=∠CEF，∴∠CFE=∠CEF=∠ABE，設(shè)∠FEA=∠BEA=α，則∠CFE=∠CEF=∠ABE=2α，∴∠ACB=∠CFE+∠CEF=4α，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠EDA=∠ACB+24°，∵∠DAE=90°，∴∠BEA+∠EDA=90°，∴α+24°+∠ACB=90°，∴α+∠ACB=66°，∵∠CFE+∠CEF+∠ACB=180°，∠BAC=48°，∴2α+4α+48°=180°，解得：α=22°，∴∠ACB=4α=88°；綜上分析可知，∠ACB的度數(shù)為28°或88°．10．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，連接BD，取DE、BD、AB的中點(diǎn)分別為G、F、H，連接FG、GH、HF．

圖1

圖2（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上，點(diǎn)E在BC邊上時，如圖1，判斷△FGH的形狀為；（2）把圖1中△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)得到圖2，判斷△FGH的形狀是否改變？請說明理由；（3）把△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若AC=10，DC=6，求線段GH的最大值與最小值．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知：∠DBE=45°?∠ABD，∠ADB+∠ABD=180°?∠CAB=135°，再根據(jù)DE、BD、AB的中點(diǎn)分別為G、F、H，可得GF=12BE，GF∥BE，HF=12AD，HF∥AD，即有GF=HF，根據(jù)GF∥BE，HF∥AD，可得∠DFG=∠DBE，（2）連接AD、BE，先證明△CAD≌△CBE，即有AD=BE，∠CAD=∠CBE，根據(jù)DE、BD、AB的中點(diǎn)分別為G、F、H，可得FH=12AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=12BE，F(xiàn)G∥BE，即有FH=FG，延長AD交FG于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)（3）由（2）可知△FGH是等腰直角三角形，由勾股定理可得GH=2HF，HF=12AD，即有GH=22AD，在△ADC中AC?CD<AD<AC+CD，當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時，AC?CD=AD，當(dāng)點(diǎn)D在【解題過程】（1）∵AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∴AD=BE，∠CAB=∠CBA=45°，∴∠DBE=45°?∠ABD，∠ADB+∠ABD=180°?∠CAB=135°，∵DE、BD、AB的中點(diǎn)分別為G、F、H，∴GF=12BE，GF∥BE，HF=∴AD=BE，∴GF=HF，∵GF∥BE，HF∥AD，∴∠DFG=∠DBE，∠ADB+∠DFH=180°，∴∠DFG=45°?∠ABD，∠DFH=180°?∠ADB，∴∠DFG+∠DFH=45°?∠ABD+180°?∠ADB=225°?∠ABD+∠ADB∵∠ADB+∠ABD=180°?∠CAB=135°，∴∠DFG+∠DFH=90°，∴△HFG是等腰直角三角形；（2）△FGH的形狀不改變，理由如下：連接AD、BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵AC=BC，DC=EC，∴△CAD≌△CBE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵DE、BD、AB的中點(diǎn)分別為G、F、H，∴FH=12AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=∴FH=FG，延長AD交FG于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)P，∴∠AMC=∠BMP，∵∠AMC+∠CAD=90°，∴∠BMP+∠CBE=90°，∴∠APB=90°，∵FG∥BE，∴∠ANF=∠APB=90°，∵FH∥AD，

∴∠ANF+∠GFH=180°，∴∠GFH=90°，∴△FGH是等腰直角三角形，形狀不改變；（3）由（2）可知△FGH是等腰直角三角形，由勾股定理可得GH=2HF，∴GH=2在△ADC中AC?CD<AD<AC+CD，當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時，AC?CD=AD，當(dāng)點(diǎn)D在AC延長線上時，AC+CD=AD，∴AC?CD≤AD≤AC+CD，∴4≤AD≤16，當(dāng)AD最大時GH最大，當(dāng)AD最小時GH最小，∴GH最大為：22×16=82，GH11．（22-23八年級下·福建泉州·階段練習(xí)）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為直線BC上一動點(diǎn)，連接AE并延長交過點(diǎn)C且與AB平行的線于點(diǎn)F

（1）如圖1，若點(diǎn)E為線段BC上的一點(diǎn)，BE=2CE，AE=2EF且AF=310，求AB（2）如圖2，點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BG⊥AF于G，延長BG交CF于點(diǎn)H，連接EH，求證：AE=BH+EH；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動時，過點(diǎn)B作BG⊥AF于G，點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，連接CD，當(dāng)AB=42時，請求出CD

【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1中,設(shè)CE=a，則AC=BC=3a，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；（2）如圖2中,延長AC交BH的延長線于點(diǎn)T，證明△ACE≌△BCTASA,推出CE=CT,AE=BT,證明△HCT≌△HCESAS,推出（3）如圖3中,取AB的中點(diǎn)Q,連接CQ,DQ,取AQ的中點(diǎn)R,連接CR,DR.想辦法求出CR,DR,根據(jù)CD≥CR?DR,可得結(jié)論．【解題過程】（1）解：如圖1中，設(shè)CE=a，∵BE=2CE，∴AC=BC=3a，∵AE=2EF且AF=310∴AE=210∵∠ACE=90°，∴AC∴9a∴a=2，∴AC=BC=6，∴AB=2（2）證明：如圖2中，延長AC交BH的延長線于點(diǎn)T．

∵BH⊥AF，∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BGE=90°，∵∠AEC=∠BEG，∴∠CAE=∠CBT，∵∠ACE=∠BCT=90°，CA=CB，∴△ACE≌△BCTASA∴CE=CT，AE=BT，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°，∵CF∥∴∠ECF=∠ABC=45°，∠TCH=∠CAB=45°，∴∠HCT=∠HCE，∵CH=CH，∴△HCT≌△HCESAS∴EH=HT，∴AE=BT=BH+HT=BH+EH．（3）解：如圖3中，取AB的中點(diǎn)Q，連接CQ，DQ，取AQ的中點(diǎn)R，連接

∵AD=DG，AQ=QB，∴DQ∥∵BG⊥AF，∴QD⊥AF，∴∠ADQ=90°，∵AQ=BQ=1∴AR=RQ=2∴DR=AR=QR=2∵∠ACB=90°，CA=CB，AQ=QB，∴CQ=12AB=2∴∠CQR=90°，∴CR=∴CD≥CR?DR=10∴CD的最小值為10?12．（22-23九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DC=EC，連接DE、AE、BD，點(diǎn)M、N、P分別是AE,BD,AB的中點(diǎn)，連接PM,PN,MN

（1）則PM與PN的關(guān)系是________；（2）將△DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）若CB=3,CE=2，在將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時，直接寫出MN

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)中點(diǎn)即可得PM=12BE，PN=12（2）連接AD，延長BE交AD于點(diǎn)H，根據(jù)條件證明△DCA≌△ECBSAS和∠AHB=90°（3）作CG⊥BD，根據(jù)勾股定理求出BE，再找出MN=2【解題過程】（1）解：∵點(diǎn)M、N、P分別是AE,BD,AB的中點(diǎn)，∴PM∥BC，PN∥AD，∵∠ACB=90°，∴∠MPN=90°，∵DC=EC，AC=BC，∴AC?DC=BC?CE，即AD=BE，∵點(diǎn)M、N、P分別是AE,BD,AB的中點(diǎn)，∴PM=12BE∴PM與PN的關(guān)系是PM=PN,PM⊥PN；（2）解：成立；連接AD，延長BE交AD于點(diǎn)H，如圖，

∵∠ACB=90°=∠DCE，∴∠DCA+∠ACE=90°=∠BCE+∠ACE，∴∠DCA=∠BCE，∵DC=EC，AC=BC，∴△DCA≌△ECBSAS∴AD=BE，∠HAC=∠HBC，∵點(diǎn)M、N、P分別是AE,BD,AB的中點(diǎn)，∴PM=12BE∴PM=PN，∵∠ACB=90°,AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠AHB=180°?(∠HAB+∠ABH)=180°?(45°+∠HAC+∠ABH)，=∠180°?(45°+∠HBC+∠ABH)=180°?90°=90°，∴∠MPN=∠AHB=90°，∴PM⊥PN，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）解：①作CG⊥BD，

∵∠DCE=90°，DC=EC，CE=∴CG=GE=DG=1，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時，在Rt△BCG∵CB=3,CE=BG=B∴BE=BG?GE=7由（2）可得：PM=12BE∴MN=∴MN=2②作CG⊥BD，

∵∠DCE=90°，DC=EC，CE=∴CG=GE=DG=1，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時，在Rt△BCG∵CB=3,CE=BG=B∴BE=BG+GE=7∴MN=213．（22-23八年級下·四川成都·期中）已知，如圖1，△ABC中，AC=BC，D，E分別是線段AC，AB的中點(diǎn)，且滿足DE∥BC，BC=2DE，P為邊AB上一動點(diǎn)，連接DP，以DP為一邊在右側(cè)作△DPQ，使DP=DQ，且∠PDQ=∠ACB，連接EQ并延長交直線BC于點(diǎn)（1）求證：△APD≌△EQD；（2）若∠ACB=120°，判斷線段BC與線段CH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，延長DQ交BC于點(diǎn)G，若AC=6，當(dāng)△HQG為直角三角形時，求AP的長度．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)SAS證明△APD≌△EQD即可；（2）連接CE，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出BC=2CE，根據(jù)△APD≌△EQD，得出∠DEQ=∠A=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠H=∠DEQ=30°，證明∠CEH=∠H=30°，得出CH=CE，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合時，△HQG為直角三角形，當(dāng)∠QGH=90°時，分別畫出圖形，求出AP的長即可．【解題過程】（1）證明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵D，E分別是線段AC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=12BC∴∠ADE=∠ACB，AD=DE，∵AC=BC，DP=DQ，∠PDQ=∠ACB，∴∠A=∠B=∠DPQ=∠DQP，∠ADE=∠ACB=∠PDQ，∴∠ADP=∠EDQ，在△APD和△EQD中AD=ED∠ADP=∠EDQ∴△APD≌△EQDSAS（2）解：BC=2CH；理由如下：連接CE，如圖所示：∵AC=BC，∠ACB=120°，E為AB的中點(diǎn)，∴∠A=∠B=30°，CE⊥AB，∠BCE=30°，∴BC=2CE，∵△APD≌△EQD，∴∠DEQ=∠A=30°，∵DE∥BC，∴∠H=∠DEQ=30°，∵∠CEH+∠H=∠BCE=60°，∴∠CEH=∠H=30°，∴CH=CE，∴BC=2CH．（3）解：設(shè)HE與AC的交點(diǎn)為N，∵∠H=30°，∠ACB=120°，∴∠CNH=∠ACB?∠H=90°，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合時，△HQG為直角三角形，∵∠PDN=120°，∴∠ADP=60°，∴∠APD=180°?∠A?∠ADP=90°，∵D為AC的中點(diǎn)，AC=6，∴AD=3，∵∠A=30°，∠APD=90°，∴DP=1AP=A當(dāng)∠QGH=90°時，如圖所示：∵∠QGH=∠DNQ=90°，∠HQG=∠DQN，∴∠H=∠GDC=30°，∴∠CDP=90°=∠ADP，又∵∠A=30°，∴AP=2DP，AD=3∴DP=3∴AP=23綜上分析可知，AP的長為332或14．（23-24九年級下·北京·階段練習(xí)）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC邊上的動點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，求證：D是BC的中點(diǎn)；（2）如圖2，連接BE，取線段BE的中點(diǎn)M，連接AM，直接寫出∠MAC的大小并證明；（3）若F是BC的中點(diǎn)，BC=6，直接寫出EF的最小值為______．

【思路點(diǎn)撥】（1）證明△ADE是等邊三角形，得到∠DAE=60°，進(jìn)而證明∠BAD=∠CAD=1（2）如圖所示，延長BA到G，使得AB=AG，連接AE，GE，同（1）可證明△ADE是等邊三角形，則∠DAE=60°，AD=AE，證明△CAD≌△GAESAS，得到∠G=∠C=30，再證明AM為△BEG的中位線，得到AM∥EG，則∠BAM=∠G=30°（3）如圖所示，連接AF，CG，由三線合一定理得到CF=12BC=3，AF⊥CF，進(jìn)而求出AC=233CF=23，證明△ACG是等邊三角形，推出∠CGE=30°，∠BCG=90°，則點(diǎn)E在直線GE上運(yùn)動；設(shè)直線GE交BC于T，過點(diǎn)【解題過程】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DA=DE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=60°，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=1又∵AB=AC，∴D是BC的中點(diǎn)；（2）解：∠MAC=90°，證明如下：如圖所示，延長BA到G，使得AB=AG，連接AE，同（1）可證明△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∵∠BAC=120°，∴AC=AG，∴∠DAE=∠CAG=60°，∴∠CAD=∠GAE，∴△CAD≌△GAESAS∴∠G=∠C=30，∵點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，∴AM為△BEG的中位線，∴AM∥EG，∴∠BAM=∠G=30°，∴∠MAC=∠BAC?∠BAM=90°；（3）解：如圖所示，連接AF，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，AB=AC∴CF=1∵∠ACF=30°，∴AC=2∵AC=AG，∴△ACG是等邊三角形，∴∠AGC=∠ACG=60°，∴∠CGE=30°，∴點(diǎn)E在直線GE上運(yùn)動，設(shè)直線GE交BC于T，過點(diǎn)F作FH垂直于直線GE于H，∴CT=3∴FT=CF?CT=1，∵∠FTH=∠CTG=90°?∠CGT=60°，∴∠HFT=30°，∴FH=3由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)H，即FE⊥EG時，F(xiàn)E有最小值，最小值為32故答案為：3215．（22-23九年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)D在AB的延長線上，且BD=3，分別過點(diǎn)D作DE⊥AD交AC的延長線于點(diǎn)E，連接（1）求DE的長，并證明EB⊥CD；（2）如圖1，在射線DC上只用圓規(guī)作一點(diǎn)Q，使得AQ⊥AE（保留作圖痕跡，并簡要說明作法）；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接EQ，分別取EQ、CE的中點(diǎn)M、N，動點(diǎn)H在EG上運(yùn)動，求MH+NH的最小值

【思路點(diǎn)撥】（1）由兩個垂直條件及BD=BC=3，可證明△BDE≌△BCE，則有DE=CE，由勾股定理建立方程即可求得DE；再由線段垂直平分線的判定定理即可得EB⊥CD；（2）由AQ⊥AE及∠ACB=90°，可得AQ∥BC，則可得△FQD也是等腰三角形，且腰長為8，于是以A為圓心，AD為半徑畫弧交射線DC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q滿足條件；（3）取DE的中點(diǎn)P，連接HP，MP，則當(dāng)點(diǎn)N在線段MP上時，【解題過程】（1）解：由題意知：∠BDE=∠BCE=90°，BD=BC=3，又BE=BE，∴△BDE≌△BCE(HL∴DE=CE，由勾股定理得：AC=A∴AE=AC+CE=4+DE，∵AD=AB+BD=5+3=8，由勾股定理得：AD即82解得：DE=6；∵BD=BC，∴BE是線段CD的垂直平分線，∴EB⊥CD；（2）解：滿足條件的點(diǎn)Q如下圖所求，且AQ⊥AE；∵AQ⊥AE，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴∠Q=∠DCB，∵BD=BC，∴∠DCB=∠BDC，∴∠BDC=∠Q，∴AQ=AD=8，所以△FQD是等腰三角形，且腰長為8，于是以A為圓心，AD為半徑畫弧交射線DC于點(diǎn)Q，則有AQ⊥AE（3）解：取DE的中點(diǎn)P，連接HP，∵DE=CE，EB⊥CD，∴EB平分∠CED，∵N、P分別為CE，∴NH=PH，∴MH+NH=MH+PH≥PM,當(dāng)點(diǎn)N在線段MP上時，MH+NH的值最小，最小值為線段PM的長；在Rt△BDE中，由勾股定理得BE=∴S∴DG=6∴DC=2DG=12在Rt△AQC中，由勾股定理得QC=∴DQ=DC+QC=6∵M(jìn)，P分別為∴PM=1即MH+NH的值最小為13516．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，等腰△ACB，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=90°，∠EDF的兩邊分別與線段AC、線段BC交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），請寫出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=60°，∠EDF的兩邊分別與線段AC、、線段BC交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合）．直接寫出線段CF、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為______；（3）【拓展延伸】如圖③，在四邊形CEDF中，CD平分∠ACF，∠ACF=120°，∠EDF=60°，過點(diǎn)D作AD⊥CD，交CE的延長線于點(diǎn)A，若CE=6，F(xiàn)C=2，求AE的長．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠ACD=45°，CD=BD，∠CDB=90°，再證明∠CDE=∠BDF，進(jìn)而證明△CDE≌△BDFASA，得到CE=BF，即可得到BC=CF+BF=CE+CF（2）如圖所示，取AC中點(diǎn)G，連接DG，DC，先推出AC=BC，∠DCA=∠DCB=12∠ACB=60°，然后證明DG為△ABC的中位線，推出DG=CG，證明△CDG是等邊三角形，得到DG=DC=CG，再證明△DGE≌△DCF（3）如圖所示，延長CF，AD交于H，證明△ADC≌△HDC，得到AC=HC，AD=DH，再仿照（2）證明CG=CE+CF=8，則AC=2CG=16，即可得到【解題過程】解：（1）BC=CE+CF，證明如下：∵等腰△ACB中，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴∠A=∠B=∠ACD=45°，CD=BD，∠CDB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠EDF=∠CDB，∴∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDFASA∴CE=BF，∴BC=CF+BF=CE+CF；（2）如圖所示，取AC中點(diǎn)G，連接DG，∵等腰△ACB中，∠ACB=120°，D為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC，∠DCA=∠DCB=12∵點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，∴DG為△ABC的中位線，∴DG=1∴DG=1∴△CDG是等邊三角形，∴DG=DC=CG，∠CDG=∠DGC=60°，∵∠EDF=60°=∠CDG，∴∠EDG=∠FDC，又∵∠DGE=∠DCF=60°，∴△DGE≌△DCFASA∴GE=CF，∴CG=CE+GE=CE+CF，∵CG=1∴CE+CF=1故答案為：CE+CF=1（3）如圖所示，延長CF，AD交于∵CD平分∠ACF，∠ACF=120°∴∠ACD=∠HCD=60°，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠HDC=90°，又∵CD=CD，∴△ADC≌△HDC，∴AC=HC，AD=DH，如圖所示，取AC中點(diǎn)G，連接DG，∵點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，D為AH的中點(diǎn)，∴DG為△AHC的中位線，∴DG=1∴DG=1∴△CDG是等邊三角形，∴DG=DC=CG，∠CDG=∠DGC=60°，∵∠EDF=60°=∠CDG，∴∠EDG=∠FDC，又∵∠DGE=∠DCF=60°，∴△DGE≌△DCFASA∴GE=CF，∴CG=CE+GE=CE+CF，∵CE=6，F(xiàn)C=2，∴CG=8，∴AC=2CG=16，∴AE=AC?CE=10．17．（22-23八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：如圖1，四邊形ABCD中AD∥BC，（1）求證：四邊形ABCD是平?四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，連接EF，AC交于點(diǎn)K，AF=KF，∠ADC=60°，∠ACD=90°，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是BC下??點(diǎn)，連接PE，PB，∠BPE=∠ACB，PE=2，G為PE中點(diǎn)，連接KG，若CK=2AK，KG=17，求BP

【思路點(diǎn)撥】（1）連接AC，證明△ABC≌（2）過A作AG∥EF，證明（3）延長EF、BA交于N，證出NK=EK，再過E作EM⊥BP，取BE的中點(diǎn)Q，連接GQ、MG、MQ、KM，從而可證出KE=MQ，再證△KEM≌△QMG，【解題過程】（1）證明：連接AC，∵AD∥∴∠CAD=∠BCA，在△ABC和△CDA中∠CAD=∠BCAAC=CA△ABC≌∴BC=DA，∴四邊形ABCD是平?四邊形．（2）證明：過A作AG∥EF，交BC于由（2）得，∠ABC=60°，AB∥CD，∵∠ADC=60°，∠ACD=90∴∠CAD=∠ACB=30°，∠BAC=90°，∵AF=KF，∴∠FKA=∠CAD=30°，∴∠EKC=30°，∴∠KEB=∠EKC+∠ECK=60°，∴∠AGB=∠KEB=60°，∴∠ABC=∠AGB=60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG=AB，∴EF=AB，在Rt△CAB∴AC∴A∴AC=3∴AC=3（3）解：延長EF、BA交于N，∴∠NAF=∠ADC=60°，∠NFA=∠FAK+∠FKA=60°，∴NA=NF，∠BEF=60°，由（2）得：AB=EF，∴AB+NA=EF+NF，即：BN=EN，∴△NBE是等邊三角形，設(shè)AK=x，∵CK=2AK，AC=3∴EF=3在Rt△NAKNA∴NK∴NK=2∴FK=3∴EK=EF?FK=2∴NK=EK，∴BK⊥EF，∴KE=1如圖，過E作EM⊥BP，取BE的中點(diǎn)Q，連接GQ、MG、MQ、KM，∴MQ=QE=1∴KE=MQ，∠QEM=∠QME，∵G是EP的中點(diǎn)，∴GQ∥PB，∵∠P=30°，∴EM=MG=12PE=1，∠EMG=60°∴∠KEM=∠KEB+∠QEM=60°+∠QEM，∠QMG=∠QME+∠EMG=60°+∠QME，∴∠KEM=∠QMG，在△KEM和△QMG中KE=QM∠KEM=∠QMG∴△KEM≌∴∠KME=∠QGM=30°，KM=QG，∴∠KMG=∠KME+∠EMG=90°，∴KM===4，∴QG=4，∴BP=8．18．（22-23八年級下·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，連接CD，以CD為斜邊向右側(cè)作直角△CDE，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)∠CDE=30°，AD=1，BD=3時，求線段DE的長；（2）如圖2，當(dāng)CE=DE時，求證：點(diǎn)E為線段AF的中點(diǎn)；（3）如圖3，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，AB=4，H為BF邊上一點(diǎn)，G為AB邊上一點(diǎn)，連接BE，當(dāng)BE取最大值時，請直接寫出三角形EHG周長的最小值．

【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得出CG=2，DG=1，運(yùn)用勾股定理可得出CD=5，再運(yùn)用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求出答案；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DM⊥CD交CE的延長線于點(diǎn)M，連接AM，在CG上截取GN=DG，連接DN，先證明△DGN是等腰直角三角形，再證明△CDN≌△DMA，即可證得結(jié)論；（3）延長EH至點(diǎn)E′，使HE′=EH，延長EG至點(diǎn)E″，使GE″=EG，連接E′E″，取AC中點(diǎn)Q，連接EQ，BQ，利用軸對稱性質(zhì)和三角形中位線定理可求得E′E″=2【解題過程】（1）解：如圖1，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵AD=1，BD=3，∴AB=4，∵AC=BC，∠ACB=90°，CG⊥AB，∴CG=AG=12AB=2∴DG=1，∴CD=CG∵∠CDE=30°，∠CED=90°，∴DE=32CD=5（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DM⊥CD交CE的延長線于點(diǎn)M，連接AM，在CG上截取GN=DG，連接DN，∵CG⊥AB，GN=DG，∴△DGN是等腰直角三角形，∴∠DNG=45°，∴∠CND=135°，∵DM⊥CD，∴∠CDM=∠AGC=∠ACB=90°，∴∠DCG+∠CDG=∠CDG+∠ADM=90°，∴∠DCG=∠ACM，∵AC=BC，∠ACB=90°，CG⊥AB，∴AG=CG，∴AG?DG=CG?GN，即DA=CN，∵∠CED=∠CDM=∠DEM=90°，CE=DE，∴∠DCE=∠CDE=∠EDM=∠DME=45°，∴CE=DE=EM，∴CD=DM=2DE，∴△CDN≌△DMA(SAS∴∠CND=∠DAM=135°，∴∠CAM=∠DAM?∠BAC=135°?45°=90°，∴∠CAM=∠ACB，∴AM∥∴∠AME=∠FCE，∵∠AEM=∠FEC，∴△AEM≌△FEC(ASA∴AE=EF，∴點(diǎn)E為線段AF的中點(diǎn)；（3）如圖3，延長EH至點(diǎn)E′，使HE′=EH，延長EG至點(diǎn)E″，使GE″=EG，連接E′E″，取AC∵AB=4，∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=22，∵點(diǎn)Q是AC中點(diǎn)，∴CQ=2，∴BQ=BC∵∠AEC=90°，點(diǎn)Q是AC中點(diǎn)，∴EQ=12AC=2∴BE的最大值為10+∵HE′=EH，GE″∴HG=12∵EH⊥BC，EG⊥AB，∴E、E′關(guān)于BC對稱，E、E″關(guān)于∴三角形EHG周長的最小值為E′∴∠E′BH=∠EBH，∠E″BG=∠EBG，BE′=BE∴∠E′BE″∴E′E″=2∴HG=22∵要使GH最大，必須BE最大，BE的最大值為10+∴三角形EHG周長的最小值為E′E″19．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4cm，BC=AD=3cm，點(diǎn)E從點(diǎn)D開始以3cm/s的速度沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以4cm/s的速度沿射線CB的方向運(yùn)動，連接AE，AF，連接EF交AB于點(diǎn)G，如果E、F同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)（1）判斷△AEF的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)△AEG成為以AG為腰的等腰三角形時，求出t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)G是EF中點(diǎn)時，點(diǎn)M、N分別在AF、AE上，且GM⊥GN，當(dāng)AN=2時，請直接寫出AM的值．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理逆定理求解即可；（2）分兩種情況：當(dāng)AG=GE時，