高中二年級下學期數(shù)學《導數(shù)在不等式恒成立問題中的應用》課件

導數(shù)在不等式

恒成立問題中的應用年級：高二（下）學科：數(shù)學（人教A版）新課引入

不等式恒成立問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，不僅考查函數(shù)、不等式的相關知識，更涉及到轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法。而導數(shù)，以其本身所具備的一般性和有效性，在求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值中，起到無可替代的作用，是我們研究恒成立問題的有力工具。例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？新課探究

恒成立分析（記

）

（1）當

時，

恒大于0，

在

單調(diào)遞增，

若不等式

對任意

恒成立.

記

，只需.解法一:

例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？求導得:.當

時，

，恒成立.不滿足

對任意

解法一:

例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？（2）當

時，令

，解得.當

時，

，

單調(diào)遞增，當

時，

，

單調(diào)遞減，所以

解得.綜上所述：實數(shù)

的取值范圍是.

方法總結(jié)恒成立恒成立函數(shù)最值法：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為某含參函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，然后構(gòu)建不等式，進而求出參數(shù)的取值范圍.一般地：

恒成立新課探究思考

能否將參數(shù)

與變量

分離開呢？

分析

恒成立（記

）

例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？若不等式

對任意

恒成立，解法二:

也即

對任意

恒成立.記

，

只需

.

求導得：.令

，解得.例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？當

時，

，

單調(diào)遞增；當

時，

，

單調(diào)遞減.當

時，

取最大值.所以

的取值范圍是.解法二:

例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？分離參數(shù)法：將不等式通過恒等變形，將要求的參數(shù)分離出來單獨放在不等式一側(cè)，另一側(cè)看成一個新函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)的范圍.恒成立一般地：恒成立方法總結(jié)新課探究思考

對任意

恒成立能轉(zhuǎn)化為不等式

左右兩側(cè)函數(shù)圖象間的什么位置關系？函數(shù)的圖象恒在圖象的下方或在

圖象上

恒成立分析例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？記

，

解法三:

對任意

恒成立，則原問題等價于函數(shù)

的圖

記

，

，則不等式

像恒在

的下方或兩者重合.在

單調(diào)遞增；表示恒過定點

的一條直線.例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？是該直線的斜率.切線方程為：解法三:

設切點為

，

將點

代入得：

，則切線斜率

，

解得.則切線斜率

，

例

若不等式

對任意

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍？

只需過點

求出

函數(shù)

的切線斜率.所以

的取值范圍是.數(shù)形結(jié)合法：將不等式恒成立的問題，合理地轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的圖象恒位于另一個函數(shù)圖象的上（下）方，進而利用圖形的直觀性解決問題.恒成立函數(shù)

的圖象恒在

圖象的上方

恒成立函數(shù)

的圖象恒在

圖象的下方

一般地：方法總結(jié)課堂小結(jié)轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合一、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的基本方法1、函數(shù)最值法2、分離參數(shù)法3、數(shù)形結(jié)合法二、數(shù)學思想方法導數(shù)課后作業(yè)1.已知不等式

對任意的

恒成立，求實