高中二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用》課件

導(dǎo)數(shù)在不等式

恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用年級(jí)：高二（下）學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）新課引入

不等式恒成立問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不僅考查函數(shù)、不等式的相關(guān)知識(shí)，更涉及到轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。而導(dǎo)數(shù)，以其本身所具備的一般性和有效性，在求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值中，起到無(wú)可替代的作用，是我們研究恒成立問(wèn)題的有力工具。例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？新課探究

恒成立分析（記

）

（1）當(dāng)

時(shí)，

恒大于0，

在

單調(diào)遞增，

若不等式

對(duì)任意

恒成立.

記

，只需.解法一:

例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？求導(dǎo)得:.當(dāng)

時(shí)，

，恒成立.不滿足

對(duì)任意

解法一:

例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？（2）當(dāng)

時(shí)，令

，解得.當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞增，當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞減，所以

解得.綜上所述：實(shí)數(shù)

的取值范圍是.

方法總結(jié)恒成立恒成立函數(shù)最值法：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某含參函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，然后構(gòu)建不等式，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.一般地：

恒成立新課探究思考

能否將參數(shù)

與變量

分離開呢？

分析

恒成立（記

）

例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？若不等式

對(duì)任意

恒成立，解法二:

也即

對(duì)任意

恒成立.記

，

只需

.

求導(dǎo)得：.令

，解得.例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，

，

單調(diào)遞減.當(dāng)

時(shí)，

取最大值.所以

的取值范圍是.解法二:

例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？分離參數(shù)法：將不等式通過(guò)恒等變形，將要求的參數(shù)分離出來(lái)單獨(dú)放在不等式一側(cè)，另一側(cè)看成一個(gè)新函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.恒成立一般地：恒成立方法總結(jié)新課探究思考

對(duì)任意

恒成立能轉(zhuǎn)化為不等式

左右兩側(cè)函數(shù)圖象間的什么位置關(guān)系？函數(shù)的圖象恒在圖象的下方或在

圖象上

恒成立分析例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？記

，

解法三:

對(duì)任意

恒成立，則原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)

的圖

記

，

，則不等式

像恒在

的下方或兩者重合.在

單調(diào)遞增；表示恒過(guò)定點(diǎn)

的一條直線.例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？是該直線的斜率.切線方程為：解法三:

設(shè)切點(diǎn)為

，

將點(diǎn)

代入得：

，則切線斜率

，

解得.則切線斜率

，

例

若不等式

對(duì)任意

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍？

只需過(guò)點(diǎn)

求出

函數(shù)

的切線斜率.所以

的取值范圍是.數(shù)形結(jié)合法：將不等式恒成立的問(wèn)題，合理地轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的圖象恒位于另一個(gè)函數(shù)圖象的上（下）方，進(jìn)而利用圖形的直觀性解決問(wèn)題.恒成立函數(shù)

的圖象恒在

圖象的上方

恒成立函數(shù)

的圖象恒在

圖象的下方

一般地：方法總結(jié)課堂小結(jié)轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合一、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的基本方法1、函數(shù)最值法2、分離參數(shù)法3、數(shù)形結(jié)合法二、數(shù)學(xué)思想方法導(dǎo)數(shù)課后作業(yè)1.已知不等式

對(duì)任意的

恒成立，求實(shí)