湖南省炎德英才杯2024-2025學年高二數(shù)學下學期基礎(chǔ)學科知識競賽試題

PAGE11-湖南省炎德英才杯2024-2025學年高二數(shù)學下學期基礎(chǔ)學科學問競賽試題時量：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1.已知命題p：x>0，ln(x＋1)>0，則命題p的否定是A.x>0，ln(x＋1)≤0B.x≤0，ln(x＋1)>>0C.x0>0，ln(x0＋1)>0D.x0>0，ln(x0＋1)≤02.已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{t∈Z|t＝2x＋1，x∈A}，則A∩B＝A.{－1，0，1}B{－1，0}C{0，1}D.{0}3.已知正項等比數(shù)列{an}的公比為q，若a2a6＝4a52，則公比q＝A.B.C.D.24.已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，c＝λa＋μb，若a⊥c，則下列結(jié)論正確的是Aλ－μ＝0B.λ＋μ＝0C.2λ－μ＝0D.2＋μ＝05.(2x2＋)5的綻開式中，x4的系數(shù)是A160B.80C.50D.106.已知cos(α－)sin(－α)＝，α∈()，則sin2α＝A.B.C.D.7.唐朝聞名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖2).當這種酒杯內(nèi)壁表面積(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米)固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值范圍為A.(0，]B.[，＋∞)C.(，]D.[，)8.巳知實數(shù)a，b滿意ab>0，則的最大值為A.2－B.2＋C.3－2D.3＋2二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線A的焦點F位于x軸上，且雙曲線A與雙曲線B：有相同漸近線，則下列結(jié)論正確的是A雙曲線A與雙曲線B的離心率相等B雙曲線A與雙曲線B的焦距相等C.若雙曲線A的焦點F到漸近線距離為2，則雙曲線A的標準方程為D.若雙曲線A的焦點F到漸近線距離為2，則雙曲線A的標準方程為10.2024年國際數(shù)學奧林匹克競賽(IMO)中國隊王者歸來，6名隊員全部摘金，總成果榮獲世界第一，數(shù)學奧林匹克協(xié)會支配了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機依次前往機場接參賽選手。某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計兩種乘車方案。方案一：不乘坐第一輛車，若其次輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：干脆乘坐第一輛車。記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則下列結(jié)論正確的是A.P1<P2B.P1＝P2C.2P1＝3P2D.P1＋P2＝11.如圖所示，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB、AD、AA1的中點，點P、Q分別在線段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)。設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，則下列結(jié)論正確的是A.l//平面ABCDB.l⊥ACC.直線l與平面BCC1B1不垂直D.當x改變時，l不是定直線12.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)滿意f(x0)＝f(x0＋1)＝－，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，無最大值。則下述四個結(jié)論正確的是Af(x0＋)＝－1B.若x0＝0，則f(x)＝sin(2πx－)C.f(x)的最小正周期為3D.f(x)在(0，2024)上的零點個數(shù)最少為1345個三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a＋i(a∈R)，且滿意z＝，則|z|＝。14.已知函數(shù)f(x)＝，則f(x2－2x)<f(2－x)的解集是。15.已知拋物線：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為直線l，點A與F在準線l的兩側(cè)，且AF⊥l，|AF|＝2p，B(，y0)是拋物線上的一點，BC垂直l于點C，AB分別交l，CF于點D，E，則|BC|＝；若|EF|＝λ|DF|，則λ的值為。16.巳知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋ax＋1(a≤1)在不同的兩點P1(t1，f(t1))，P2(t2，f(t2))處的切線的斜率相等，若不等式f(t1＋t2)＋m≥0(m∈R)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(本小題滿分10分)在①3a2＋b2＋b4＝0，②a4＝b4，③S3＝－27這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答問題。設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，，a5＝b1，4Tn＝3bn－1(n∈N*)，是否存在實數(shù)λ，對隨意n∈N*都有λ≤Sn?若存在，求實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由。(注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)18.(本小題滿分12分)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos＝bsinA。(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍。19.(本小題滿分12分)已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E，M分別是BC，PD上的中點，直線EM與平面PAD所成角的正弦值為，點F在PC上移動。(1)證明：無論點F在PC上如何移動，平面AEF⊥平面PAD；(2)若點F為PC的中點，求二面角C－AF－E的余弦值。20.(本小題滿分12分)過橢圓C：內(nèi)一點A(0，1)的動直線l'與橢圓相交，當l'平行于x軸和垂直于x軸時，l'被橢圓C所截得的線段長均為2。(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點F(，0)作直線l交橢圓C于點M，N，求三角形OMN面積的最大值。21.(本小題滿分12分)華為手機的“麒麟970”芯片在華為處理器排行榜中最高主頻2.4GHz，同時它的線程結(jié)構(gòu)也做了很大的改善，整特性能及效率至少提升了50%，科研人員曾就是否需采納西門子制程這一工藝標準進行了反復(fù)比較，在一次試驗中，工作人員對生產(chǎn)出的50片芯片進行探討，結(jié)果發(fā)覺運用了該工藝的30片芯片有28片線程結(jié)構(gòu)有很大的改善，沒有運用該工藝的20片芯片中有12片線程結(jié)構(gòu)有很大的改善。(1)用列聯(lián)表推斷：這次試驗是否有99.5%的把握認為“麒麟970”芯片的線程結(jié)構(gòu)有很大的改善與運用西門子制程這一工藝標準有關(guān)?(2)在“麒嶙970”芯片的線程結(jié)構(gòu)有很大的改善后，接下來的生產(chǎn)制作還需對芯片的晶圓依次進行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術(shù)。光阻去除這四個環(huán)節(jié)的精密操作，進而得到多晶的晶圓，生產(chǎn)出來的多晶的晶圓經(jīng)過嚴格的質(zhì)檢，確定合格后才能進入下一個流程。假如生產(chǎn)出來的多晶的晶圓在質(zhì)檢中不合格，那么必需依次對前四個環(huán)節(jié)進行技術(shù)檢測并對全部的出錯環(huán)節(jié)進行修復(fù)才能成為合格品。在試驗的初期，由于技術(shù)的不成熟。生產(chǎn)制作的多晶的晶圓很難達到志向狀態(tài)，探討人員依據(jù)以往的數(shù)據(jù)與閱歷得知在試驗生產(chǎn)多晶的晶圓的過程中，前三個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為，每個環(huán)節(jié)出錯須要修復(fù)的費用均為200元，第四環(huán)節(jié)生產(chǎn)正常的概率為，此環(huán)節(jié)出錯須要修復(fù)的費用為100元，問：一次試驗生產(chǎn)出來的多晶的晶圓要成為合格品大約還須要消耗多少元