安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬考試試題理含解析

PAGE21-安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬考試試題理（含解析）一?選擇題(共12小題，每小題5分，共60分)1.，，若，則的取值集合為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．【詳解】，，，，或，或或．的取值集合為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合子集的定義，以及集合空集的定義，意在考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的駕馭與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.若復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)a的值．【詳解】∵復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，∴，解得a．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知平面內(nèi)一條直線l及平面，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)面面垂直和線面垂直的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可．【詳解】解：由面面垂直的定義知，當(dāng)“l(fā)⊥β”時(shí)，“α⊥β”成立，當(dāng)時(shí)，不肯定成立，即“”是“”的充分不必要條件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題充分性和必要性的推斷，涉及線面垂直和面面垂直的判定，屬基礎(chǔ)題.4.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事務(wù)“”的概率，為事務(wù)“”的概率，為事務(wù)“”的概率，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)事務(wù)“”，如圖（1）陰影部分，對(duì)事務(wù)“”，如圖（2）陰影部分，對(duì)為事務(wù)“”，如圖（3）陰影部分，由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是，正方形的面積為，依據(jù)幾何概型公式可得．（1）（2）（3）考點(diǎn)：幾何概型．5.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，第2項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，當(dāng)整數(shù)時(shí)，恒成立，則等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題目條件，計(jì)算公差，證明該數(shù)列等差數(shù)列，計(jì)算通項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，計(jì)算結(jié)果，即可．【詳解】結(jié)合可知，，得到，所以，所以所以，故選D．【點(diǎn)睛】本道題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)計(jì)算方法，考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算方法，難度中等．6.函數(shù)（且）的圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以解除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.7.已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A、B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A、B兩點(diǎn)，直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】橢圓焦點(diǎn)在軸上，由在圓，則，有，設(shè)，求出，令，，分別常數(shù)，求解得出結(jié)論.【詳解】橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)，點(diǎn)圓上且不同于，，設(shè)，令，，且不等于0.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、換元方法，考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于難題.8.已知實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系式中恒成立的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】依據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得x＞y，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，實(shí)數(shù)x，y滿足（）x<（）y，則x>y，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，y=tanx在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故tanx>tany不肯定成立，不符合題意；對(duì)于B，若0>x>y，則x2+2>y2+2不成立，故ln（x2+2）>ln（y2+2）不肯定成立，不符合題意；對(duì)于C，當(dāng)x>y>0時(shí)，<，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)y=x3在R上為增函數(shù)，若x>y，必有x3>y3，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是駕馭并利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性．9.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，把函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立，即恒成立，令，則，故的最大值為1，此時(shí)，即，所以的最大值為，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)及其應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意知，，三角形為等邊三角形，從而可以得到，即可求出離心率．【詳解】由題意知，，，三角形為等邊三角形，則，，則，解得，故離心率為，答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．11.已知直線經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，則將的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后得到解析式為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線斜率求出周期，從而得，直線與軸的交點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，由此可求得，最終由圖象變換可得結(jié)論．【詳解】直線的斜率為，∴，，，直線與軸交點(diǎn)為，依據(jù)對(duì)稱性，此點(diǎn)是的零點(diǎn)．∴，又，∴，∴．∴將的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后得到解析式為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦型三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)圖象變換，解題時(shí)留意正弦函數(shù)的“五點(diǎn)法”，求三角函數(shù)的解析式、性質(zhì)經(jīng)常與這五點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)．12.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個(gè)幾何體：圖①是底面直徑和高均為的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個(gè)與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長(zhǎng)和高均為的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺(tái)挖掉一個(gè)底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.依據(jù)祖暅原理，以上四個(gè)幾何體中與的體積相等的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】將題目中的切線寫(xiě)出來(lái)，然后表示出水平截面的面積，因?yàn)槭顷幱安糠中D(zhuǎn)得到，所以水平界面面積為環(huán)形面積，整理后，與其他四個(gè)幾何體進(jìn)行比較，找到等高處的水平截面的面積相等的，即為所求.【詳解】幾何體是由陰影旋轉(zhuǎn)得到，所以橫截面為環(huán)形，且等高的時(shí)候，拋物線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切線對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，切線為，即，橫截面面積圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到橫截面的面積為.所以幾何體和①中的圓錐在全部等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)題目條件的理解和轉(zhuǎn)化，在讀懂題目的基礎(chǔ)上，表示相應(yīng)的截面面積，然后進(jìn)行比較.屬于難題.二?填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13.的綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．【答案】-132【解析】分析：由題意結(jié)合二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式首先寫(xiě)出綻開(kāi)式，然后結(jié)合綻開(kāi)式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：的綻開(kāi)式為：，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，據(jù)此可得：綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.點(diǎn)睛：(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要留意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理探討求解．14.在銳角中，角、、所對(duì)邊分別為，且、、成等差數(shù)列，，則面積的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】分析：由、、成等差數(shù)列可得，然后依據(jù)正弦定理可得，，在此基礎(chǔ)上求得的面積后再依據(jù)三角變換可得．再依據(jù)銳角三角形求得，于是可得面積的取值范圍．詳解：∵中、、成等差數(shù)列，∴．由正弦定理得，∴，∴，∵為銳角三角形，∴，解得．∴，∴，∴，故面積的取值范圍是．點(diǎn)睛：（1）解決三角形中的范圍問(wèn)題的常用方法：①利用余弦定理并結(jié)合基本不等式求解；②結(jié)合正弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如的形式后依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)學(xué)問(wèn)求解．（2）解答本題時(shí)簡(jiǎn)單出現(xiàn)的錯(cuò)誤時(shí)忽視“銳角”這一條件，從而擴(kuò)大了角的范圍．15.如圖所示，已知直線的方程為，⊙，⊙是相外切的等圓.且分別與坐標(biāo)軸及線段相切，，則兩圓半徑__________（用常數(shù)表示）．【答案】【解析】【詳解】分析：由題得△CDM∽△BAO，得，再利用等式的性質(zhì)得到兩圓半徑.詳解：如圖所示，作CM⊥DM,CE⊥AB,由△CDM∽△BAO,得故答案為點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查幾何選講，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.(2)解答本題的關(guān)鍵是得到的化簡(jiǎn)，這里利用到了合比的性質(zhì)，16.已知兩平行平面間的距離為，點(diǎn)，點(diǎn)，且，若異面直線與所成角為60°，則四面體的體積為_(kāi)_________．【答案】6【解析】設(shè)平面ABC與平面交線為CE，取,則三?解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)需給出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)17.在中，邊所對(duì)的角分別為，（1）求角的大??；（2）若的中線的長(zhǎng)為1，求的面積的最大值【答案】（1）（2）面積的最大值為【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理可得：sinC，由余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值，結(jié)合范圍C∈（0，π），可得C的值．（2）由三角形中線長(zhǎng)定理得：2（a2+b2）＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2，結(jié)合基本不等式可求ab，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】（1）∵由已知及正弦定理可得：sinC，∴由余弦定理可得：，即，∴由C∈（0，π），可得．（2）由三角形中線長(zhǎng)定理得：2（a2+b2）＝22+c2＝4+c2，由三角形余弦定理得：c2＝a2+b2﹣ab，消去c2得：（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立），即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形中線長(zhǎng)定理的綜合應(yīng)用，三角形中線長(zhǎng)定理主要表述三角形三邊和中線長(zhǎng)度關(guān)系，定理內(nèi)容為：三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍，屬于中檔題．18.如圖，在四面體中，平面平面，,，，.(1)求證：；(2)設(shè)是的中點(diǎn)，若直線與平面的夾角為，求四面體外接球的表面積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：(1)利用線面垂直的推斷定理結(jié)合題意(2)利用題意首先求得外接球的半徑，然后利用球的表面積公式計(jì)算表面積即可.試題解析：(1)由平面平面，，得平面，又由，，，得，所以故平面，所以（2）取的中點(diǎn)，連接，則,因?yàn)槠矫嫫矫孢B接,則，又，所以四面體的外接球的半徑故四面體的外接球的表面積=（向量解法酌情給分）.19.已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)且傾斜角的直線與拋物線交于點(diǎn)的面積為．（I）求拋物線的方程；（II）設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為直線與直線軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)是以為圓心為半徑的圓上隨意兩點(diǎn)，求最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（I）；（II）．【解析】試題分析：（I）拋物線焦點(diǎn)為，寫(xiě)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后可得，其中，可再求出原點(diǎn)到直線的距離，由求得，也可由求得；（II）首先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出兩切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線方程為，從而可得坐標(biāo)，得的長(zhǎng)，而要使最大，則與圓相切，這樣可求得，最終由基本不等式可得最大值．也可用正切函數(shù)求最大值．試題解析：（I）依題意，，所以直線的方程為；由得，所以，到的距離，，拋物線方程為（II）設(shè)，由得，則切線方程為即，同理，切線方程為，把代入可得故直線的方程為即由得，，當(dāng)與圓相切時(shí)角最大，此時(shí)，等號(hào)當(dāng)時(shí)成立當(dāng)時(shí)，所求的角最大．綜上，當(dāng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)睛：在解析幾何中由于的邊過(guò)定點(diǎn)，因此其面積可表示為，因此可易求，同樣在解解析幾何問(wèn)題時(shí)如擅長(zhǎng)發(fā)覺(jué)平面幾何的性質(zhì)可以幫助解題，第（II）小題中如能發(fā)覺(jué)則知是圓的切線，因此取最大值時(shí)，中一條與重合，另一條也是圓的切線，從而易得解．另解：（I）依題意，，所以直線的方程為；由得，，，拋物線方程為．（II）設(shè)，由得，則切線方程為即，同理，切線方程為，把代入可得故直線的方程為即由得，，留意到，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．20.2024年某市政府出臺(tái)了“2024年創(chuàng)建全國(guó)文明城市簡(jiǎn)稱創(chuàng)文”的詳細(xì)規(guī)劃，今日，作為“創(chuàng)文”項(xiàng)目之一的“市區(qū)公交站點(diǎn)的重新布局及建設(shè)”基本完成，市有關(guān)部門(mén)打算對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)調(diào)查結(jié)果確定是否驗(yàn)收，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關(guān)規(guī)則為：調(diào)查對(duì)象為本市市民，被調(diào)查者各自獨(dú)立評(píng)分；采納百分制評(píng)分，內(nèi)認(rèn)定為滿足，80分及以上認(rèn)定為特別滿足；市民對(duì)公交站點(diǎn)布局的滿足率不低于即可進(jìn)行驗(yàn)收；用樣本的頻率代替概率．求被調(diào)查者滿足或特別滿足該項(xiàng)目的頻率；若從該市的全體市民中隨機(jī)抽取3人，試估計(jì)恰有2人特別滿足該項(xiàng)目的概率；已知在評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿足的緣由，并從中選取2人擔(dān)當(dāng)群眾督察員，記為群眾督查員中老年人的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）依據(jù)直方圖的意義，求出后四個(gè)小矩形的面積和即可求得被調(diào)查者滿足或特別滿足該項(xiàng)目的頻率；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，被調(diào)查者特別滿足的頻率是，依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次發(fā)生次的概率公式可得結(jié)果；（3）隨機(jī)變量的全部可能取值為0，1，2，利用組合學(xué)問(wèn)依據(jù)古典概型概率公式分別求出各隨機(jī)變量的概率，即可得分布列，依據(jù)期望公式可得結(jié)果.試題解析：（1）依據(jù)題意：60分或以上被認(rèn)定滿足或特別滿足，在頻率分布直方圖中，評(píng)分在的頻率為：；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，被調(diào)查者特別滿足的頻率是，用樣本的頻率代替概率，從該市的全體市民中隨機(jī)抽取1人，該人特別滿足該項(xiàng)目的概率為，現(xiàn)從中抽取3人恰有2人特別滿足該項(xiàng)目的概率為：；（3）∵評(píng)分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，又從被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人，∴這9人中，老年人有3人，非老年人6人，隨機(jī)變量的全部可能取值為0，1，2，的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望.21.設(shè)函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，證明：.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，分別常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成兩類(lèi)，探討函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.試題解析：（Ⅰ），是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立.令，得，令（）.以下只需求的最大值.求導(dǎo)得，令，，是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)，，，遞增；當(dāng)，，，遞減；故當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是.（Ⅱ）.令（），以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0.求導(dǎo)得.①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，令，則，又，取且使，即，則，因?yàn)椋蚀嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為微小值點(diǎn)，又，且，即，故，因?yàn)?，故是上的減函數(shù).所以，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，總有.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)由于已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故其導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒為非負(fù)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒為非正數(shù).分別常數(shù)后可求得的取值范圍.22.選修4-4