2024年中考數(shù)學(xué)一輪專項復(fù)習(xí)：規(guī)律探索（含答案）

中考教學(xué)一輪專項復(fù)習(xí)——規(guī)律探索

中考備考攻略

強(qiáng)型特點(diǎn)

規(guī)律探索型問題是根據(jù)已知條件或題干所提供的若干特例，通過觀察、類比、歸納，發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的數(shù)字

或圖形的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問題.縱觀宜賓近五年中考，往往以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，這類問題在

素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計等方面都比較新穎.其目的是考查收集、分析數(shù)據(jù)、處理信息的能力.所以規(guī)

律探索型問題備受命題專家的青睞，逐漸成為中考數(shù)學(xué)的熱門考題.

做顓策略

規(guī)律探蓑型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了

一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律.它體現(xiàn)了“特殊到一般”的

數(shù)學(xué)思想方法，既考查分析、解決問題能力，也考查觀察、聯(lián)想、歸納能力以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及

填空題、選擇題或解答題.

中考重難點(diǎn)突破

類型1數(shù)與式變化規(guī)律

【典例1]（2019?達(dá)州中考）a是不為1的有理數(shù)，我們把一—稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為二=—1,

—1的差倒數(shù)[上了=；.已知%=5,a?是'的差倒數(shù)，23是a2的差倒數(shù)，是23的差倒數(shù)，…，依此類推,

a?ON的值是（）

L144

A.5B.—C.gD弓

跟賒訓(xùn)練1

1.一組按規(guī)律排列的多項式：a+b,a2—b3,as+b5,a4—b7,-??,其中第10個式子是（）

A.aio+bi9B.aio—bi9

C.aio—bi7D.aio—b2i

13579

2.有一組數(shù)：XI，W，g關(guān)，…，請觀察它們的構(gòu)成形式，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n（n為正整數(shù)）個

ZJ1U1/ZO

數(shù)：.

3?已知：1十打白白人=RI"抖『店…，根據(jù)此規(guī)律、/1+￡+專

4.(2019?自貢中考)閱讀下列材料：小明為了計算1+2+221-----卜22017+22018的值,米用以下方法:

設(shè)S=l+2+2zH------F22on+22018,①

貝IJ2S=2+22H-----F22018+22019.@

②一①，得2S—S=S=22oi9-L

；.S=1+2+22-1--------1-22017+22018=22019—1.

請仿照小明的方法解決以下問題：

(1)1+2+22H-----^29=；

(2)3+32H-------1-310=；

(3)求1+a+a2H-----Han的和(a>0,n是正整數(shù)，請寫出計算過程).

類型2點(diǎn)陣變化規(guī)律

【典例2】如圖，在一個三角點(diǎn)陣中，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中各行點(diǎn)數(shù)依次為2、4、6、…、2n、…

若前n行點(diǎn)數(shù)和為930,則n=()

A.29B.30C.31D.32

跟蹤研綠2

5.將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

35

7911

13151719

2123252729

??????

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第25行的第20個數(shù)是()

A.6392.637C.635D633

類型3循環(huán)排列規(guī)律

【典例3】觀察下列圖形，并判斷照此規(guī)律從左向右第2018個圖形是()

跟蹤訓(xùn)練3

6.如圖是一列用若干根火柴棒擺成的由正方形組成的圖案.

ncoCCO

第1個第2個第3個

(1)完成下表的填空:

正方形

123456???

個數(shù)

火柴棒

4710131619???

根數(shù)

(2)某同學(xué)用若干根火柴棒按如圖的方式擺圖案，擺完了第1個后，擺第2個，接著擺第3個，第4

個，…，當(dāng)他擺完第n個圖案時剩下了20根火柴棒，要剛好擺完第(n+1)個圖案還差2根.問最后擺的圖案是

第幾個圖案？

類型4圖形生長變化規(guī)律

【典例4】

(2019?內(nèi)江中考)如圖，將AABC沿著過BC的中點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的處，稱為第

一次操作，折痕DE到AC的距離為hj還原紙片后，再將ABDE沿著過BD的中點(diǎn)D］的直線折疊，使點(diǎn)B落在

DE邊上的B,處，稱為第二次操作，折痕D［E］到AC的距離記為h,；按上述方法不斷操作下去……經(jīng)過第n次操

作后得到折痕DtEJ到AC的距離記為h.若4=1,則h的值為()

—5.1+?

2n-1Zn

C.2—

2n-lZn

眼蹤訓(xùn)練4

7.(2019?廣元中考)如圖，過點(diǎn)A0(0,1)作y軸的垂線交直線1：y=gx于點(diǎn)A/過點(diǎn)A］作直線1的垂

線，交y軸于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作y軸的垂線交直線1于點(diǎn)A3，???,這樣依次下去，得到△AQAIA?、Z^A2A3A4、

△A4A546>???,其面積分別記為S］、S2>S3、…，則S］0G為()

區(qū)（3?wo

C3sx41990.35X2395

類型5與坐標(biāo)有關(guān)的規(guī)律

【典例如圖，已知一…，則點(diǎn)

5]A,(1,0),A,(1,1),A.(-1,1),A.(-1,-1),As(2,1),A2

的坐標(biāo)為.一

018

8.(2019?攀枝花中考)正方形A]B|C]A2、A2B2c2A3、A3B3c3A/…按如圖所示的方式放置，點(diǎn)ArA?、

A3、…和點(diǎn)BpB,、B3、…分別在直線y=kx+b(k>0)和x軸上.已知點(diǎn)A、(0,1),點(diǎn)Bt(1,0),則點(diǎn)C5

的坐標(biāo)是_______；一1

中考備考過關(guān)

L某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(x『yR處,

[a]表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分，如[2.6]=2,[0.2]=0.

按此方案，第2019棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(5,2019)B.(6,2020)

C.(3,403)D.(4,404)

2.正方形A]B￡O、A2B2C2CpA3B3c3c2、…按如圖所示的方式放置，點(diǎn)A「A,、A3、…和點(diǎn)C]、C2.

…分別在直線和軸上二已知則點(diǎn)“的坐標(biāo)是:

C3、y=kx+6(k>0)xBI(1,1),B2(3,2),B

(第2題圖)

3.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖,

位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，用來記錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的

野果數(shù)量為個.

4.(2019?廣安中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A]的坐標(biāo)為(1,0),以O(shè)AI為直角邊作放△OA]A2,

并使/A]OA2=60。；再以O(shè)A2為直角邊作7?fAOA2A3，并使NA20A3=60。；再以O(shè)A3為直角邊作放AOA3A〃

并使NA30A4=60。……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2。"的坐標(biāo)為二.'

5.符號“f”表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=

3,,?,；

⑵巧=2,《)=3,fQ)=4,4)=5,….

利用以上規(guī)律計算：1(忐)一f(2019)=.

6.用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子枚

(用含n的代數(shù)式表示).

第1個第2個第3個

7.觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個圖形共有個。.

第1個第2個第3個第4個

8.如圖，階梯圖的每個臺階上都標(biāo)著一個數(shù)，從下到上的第1個至第4個臺階上依次標(biāo)著一5、一2、1、9,

且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等.

嘗試(1)問前4個臺階上數(shù)的和是多少？

(2)問第5個臺階上的數(shù)x是多少？

應(yīng)用求從下到上前31個臺階上數(shù)的和；

發(fā)現(xiàn)試用含k(k為正整數(shù))的式子表現(xiàn)出數(shù)“1”所在的臺階數(shù).

9.觀察：

11111111

1X2-1-2;2X3-2-3'3義4一廠下

解答下面的問題：

(1)若n為正整數(shù)，請你猜想-乂；

nX(n+1)------------

⑵若n為正整數(shù)，請你猜想出+點(diǎn)+土+■??+=(%)=--------；

(3)若g+(xy-2)2=0,求《+(x+lJ(y+l)+(x+2)(y+2)+…+

的值.

(x+2017)(y+2017)

10.一列火車自A城駛往B城，沿途有n個車站（包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B）,該列火車掛有一節(jié)郵政車廂，

行駛時需要在每個車站?？浚客？恳徽静粌H要卸下已經(jīng)通過的各車站發(fā)給該站的郵包一個，還要裝上該站發(fā)給

后面行程中每個車站的郵包一個.例如，當(dāng)列車?？吭诘趚個車站時，郵政車廂上需要卸下已經(jīng)通過的（x-1）個

車站發(fā)給該站的郵包（x-1）個，還要裝上后面行程中要?？康模╪-x）個車站的郵包（n—x）個.

（1）根據(jù)題意，完成下表：

車站序號在第X個車站啟程時郵政車廂上的郵包總個數(shù)

1n—1

2(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)

32(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

43(n—3)—3+(n—4)=4(n—4)

5

.?????

n0

（2）根據(jù)上表寫出列車在第x個車站啟程時，郵政車廂上共有的郵包個數(shù)y（用x、n表示）;

（3）當(dāng)n=18時，列車在第幾個車站啟程時郵車上的郵包個數(shù)最多？

參考答案

中考重難點(diǎn)突破

類型1數(shù)與式變化規(guī)律

【典例1】（2019?達(dá)州中考）a是不為1的有理數(shù)，我們把"一稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為1］=—1,

T的差倒數(shù)1—：_］）已知『5,a?是a1的差倒數(shù)，23是a2的差倒數(shù)，是23的差倒數(shù)，…，依此類推,

a?OK的值是（D）

144

A.5氏―4C?Dq

［解析］???%=5,@2=壯］=±=一；,

114

14

???數(shù)列以5、一小與三個數(shù)依次不斷循環(huán).

4

V2019:3=673,/.a2019=a3=/

跟蹤訓(xùn)練1

1.一組按規(guī)律排列的多項式：a+b,a2—b3,a3+b5,a4—b7,???,其中第10個式子是（B）

A.aio+bi9B.aio—bi9

C.aio—bnD.aio—b2i

13579

2.有一組數(shù)：右I，本g示…，請觀察它們的構(gòu)成形式，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n（n為正整數(shù)）個

乙J\jJ.//U

3.已知:

電…，根據(jù)此規(guī)律41+/+擊=/_w?

41(2019?自貢中考)閱讀下列材料：小明為了計算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法:

設(shè)S=l+2+22d--------1-22017+22018,①

則2s=2+22d——F22018+22019.②

②一①，得2S—S=S=22O19—1.

.?.S=l+2+22d-----P22017+22018=22019—1.

請仿照小明的方法解決以下問題：

(1)1+2+22H——F29=；

(2)3+32H----|-3io=；

(3)求1+a+a2H----kan的和(a>0,n是正整數(shù)，請寫出計算過程).

3ii—1

解：⑴2io-l；(2);

⑶設(shè)S=1+a+a2+???+an,①

貝?。輆S=a+a2+a3H-----Fan+an+i.②

②—①，得(a—1)S=an+i—1.

an+l—1ccan+1—1

?**S=-------,即1+a+a2H-----Fan=-----------.

a—1a—1

類型2點(diǎn)陣變化規(guī)律

【典例2】如圖，在一個三角點(diǎn)陣中，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中各行點(diǎn)數(shù)依次為2、4、6、…、2n、…，

若前n行點(diǎn)數(shù)和為930,則n=(B)

A.29B.30C.310.32【解析】設(shè)前n行的點(diǎn)數(shù)和為S,則S=2+4+6+?-?+2n=

若S=930,則n(n+1)=930,即(n+31)(n-30)=0,：.^=~31(不合題意，舍去)，n9=30.

跟蹤訓(xùn)蕉2

5.將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

35

7911

13151719

2123252729

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第25行的第20個數(shù)是(A

A.639及637C.635￡>.633

類型3循環(huán)排列規(guī)律

【典例3】觀察下列圖形,并判斷照此規(guī)律從左向右第2018個圖形是(B

ABCD

【解析】根據(jù)題意可知前面4個笑臉循環(huán)出現(xiàn)，因為2018+4=504...2,所以第2018個圖形是循環(huán)出現(xiàn)到

第2個圖形.

跟蹤訓(xùn)珠3

6.如圖是一列用若干根火柴棒擺成o的由正方r形組n成的圖案.f

第1個第2個

(1)完成下表的填空:

正方形

火柴棒

(2)某同學(xué)用若干根火柴棒按如圖的方式擺圖案，擺完了第1個后，擺第2個，接著擺第3個，第4

個，…，當(dāng)他擺完第n個圖案時剩下了20根火柴棒，要剛好擺完第(n+1)個圖案還差2根.問最后擺的圖案是

第幾個圖案？

解：(1)見上表；

(2)由3(n+1)+1=22,解得n=6.

???這位同學(xué)最后擺的圖案是第7個圖案.

類型4圖形生長變化規(guī)律

【典例4】

BD、D

C2019-內(nèi)江中考)如圖，將4ABC沿著過BC的中點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的處，稱為第

一次操作，折痕DE到AC的距離為現(xiàn)；還原紙片后，再將^BDE沿著過BD的中點(diǎn)D]的直線折疊，使點(diǎn)B落在

DE邊上的B,處，稱為第二次操作，折痕D]Ei到AC的距離記為h,；按上述方法不斷操作下去……經(jīng)過第n次操

作后得到折痕DF],到AC的距離記為％若4=1,則h的值為(C)

【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)高的比等于相似比，得出h,=l+；h],依次得出h3>hg…、hn,再

對年進(jìn)行計算變形即可.，

跟蹤訓(xùn)綜4

7.(2019?廣元中考)如圖，過點(diǎn)A。(0,1)作y軸的垂線交直線1：y=^x于點(diǎn)A『過點(diǎn)A】作直線1的垂

線，交y軸于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作y軸的垂線交直線1于點(diǎn)A3，???,這樣依次下去，得到△AoAjA?、AA2A3A4>

△A4A546、…，其面積分別記為S]、S2>S3、…，則Si。。為(D)一一一

。?。?/p>

fyB100

C.3s義41990.35義2395

類型5與坐標(biāo)有關(guān)的規(guī)律

【典例5］如圖，已知A1(1,0),A,(1,1),A3(-1,1),A4(-1,-1),A5(2,-1),則點(diǎn)A2

018的坐標(biāo)為(505,505).

【解析】根據(jù)各個點(diǎn)（點(diǎn)A1和第四象限內(nèi)的點(diǎn)除外）分別位于象限的角平分線上，逐步探索出下標(biāo)和各點(diǎn)坐

標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律推出點(diǎn)A。m9的坐標(biāo).

ZUIo

通過觀察可得序號是4的倍數(shù)的點(diǎn)在第三象限，由2018+4=504.......2,得點(diǎn)A,0,°在第一象限，其橫、縱坐

ZUlo

標(biāo)都為(2018-2)+4+1=505.,

跟賒倒族5

8.（2019?攀枝花中考）正方形A[B]CiA,、A,B2c2A3、A3B3C3A4、…按如圖所示的方式放置，點(diǎn)A「冬、

A3、…和點(diǎn)B,、B3、…分別在直線y=kx+b-（kSo）和x軸上.已知點(diǎn)A[（0,1）,點(diǎn)B1（1,0）,則點(diǎn)心

的坐標(biāo)是（47,16）一W.

中考備考過關(guān)

L某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)「卜（xpyk）處,

其中

[a]表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分，^[2.6]=2,[0.2]=0.

按此方案，第2019棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為（D）

A.(5,2019)B.(6,2020)

C.(3,403)D.(4,404)

2.正方形A[B[C]O、A,B,C,C]、A3B3c3C,、…按如圖所示的方式放置，點(diǎn)A「\、Ap…和點(diǎn)C「C,、

C3、…分別在直線y=kx+b（k>0）和x軸上，已知B1（1,1）,B,（3,2）,則點(diǎn)B：的坐標(biāo)是（2n,l.Dn-

3.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖，一

位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，用來記錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的

野果數(shù)量為1838個.

4.（2019?廣安中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1,0）,以O(shè)AI為直角邊作放AOA]A2,

并使/A]OA2=60。；再以O(shè)A2為直角邊作7?ZAOA2A3，并使NA20A3=60。；再以O(shè)A3為直角邊作RtXON3A4，

并使/A30A4=60。按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2Q19的坐標(biāo)為（-22017.22017束）W.

5.符號“f”表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：（1）f（1）=0,f（2）=1,f（3）=2,f（4）=

3,…；

⑵族=2,@）=3,月）=4,《）=5,….

利用以上規(guī)律計算：（J叵）—f（2019）=1W.

6.用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子（3n+

1J_枚（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個第2個第3個

7.觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個圖形共有6058

個O.

第I個第2個第3個第4個

8.如圖，階梯圖的每個臺階上都標(biāo)著一個數(shù)，從下到上的第1個至第4個臺階上依次標(biāo)著一5、一2、1、9,

且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等.

嘗試（1）問前4個臺階上數(shù)的和是多少？

（2）問第5個臺階上的數(shù)x是多少？

應(yīng)用求從下到上前31個臺階上數(shù)的和；

發(fā)現(xiàn)試用含k（k為正整數(shù)）的式子表現(xiàn)出數(shù)“1”所在的臺階數(shù).

解：嘗試（1）由題意，得-5-2+1+9=3,故前4個臺階上的數(shù)字的和是3;

（2）由題意，得-2+l+9+x=3,所以x=-5;

應(yīng)用由題意知臺階上的數(shù)從下到上每4個循環(huán)，因為31X=7……3,所以7X3+1-2-5=15,

即從下到上前31個臺階上數(shù)的和是15.

發(fā)現(xiàn)“1”所在的臺階數(shù)為4k-1.

9.觀察：

11111111

1X2--2'2義3一廠胃3義4一廠1

解答下面的問題：

(1)若n為正整數(shù)，請你猜想17VL；

nX(n+1)------------

(2)若n為正整數(shù)，請你猜想…+17^^^7丁=；

1X22X33X4nX(n+1；------------

(3)若A/X—1+(xy—2)2=0,求'+(、I4、+(℃1(+…+

Y)