總體取值規(guī)律的估計(jì)（創(chuàng)新設(shè)計(jì)）學(xué)案

9.2用樣本估計(jì)總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.在學(xué)習(xí)繪制頻率分布直方圖的過(guò)程中，掌握應(yīng)用頻率分布直方圖等統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體的取值規(guī)律，發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).教材知識(shí)探究下面按時(shí)間順序(從1789年的華盛頓到2017年的特朗普，共45任)給出了歷屆美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)的年齡：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，70.問(wèn)題你能很容易地看出這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律嗎？若不能，對(duì)這些數(shù)據(jù)如何處理才可以？提示不能.應(yīng)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，用統(tǒng)計(jì)圖表表示出來(lái)才容易看出其規(guī)律.1.畫頻率分布直方圖的步驟畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，而不是頻率(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.(2)決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，常分成5～12組，一般取等長(zhǎng)組距，并且組距應(yīng)力求“取整”.(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表：一般分四列，即分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率.其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1.(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距).小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率.各小長(zhǎng)方形的面積和等于1.)2.其它統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)教材拓展補(bǔ)遺[微判斷]1.頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值.(√)2.頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個(gè)體數(shù).(×)3.扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是比例，條形統(tǒng)計(jì)圖不表示比例.(×)提示2.頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.3.條形圖可以表示頻率或頻數(shù).[微訓(xùn)練]1.把過(guò)期的藥品隨意丟棄，會(huì)造成對(duì)土壤和水體的污染，危害人們的健康.如何處理過(guò)期藥品，有關(guān)機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)若干家庭進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖，其中對(duì)過(guò)期藥品處理不正確的家庭達(dá)到()A.79% B.80% C.18% D.82%解析79%＋1%＋2%＝82%.答案D2.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為()A.20 B.30 C.40 D.50解析樣本數(shù)據(jù)落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.答案B[微思考]1.為什么要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？提示不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計(jì)算出頻率，從而估計(jì)總體的分布特征.2.頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖有什么不同？提示頻數(shù)分布表能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)，而頻率分布直方圖則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.題型一畫頻率分布直方圖【例1】從某校高三學(xué)生中抽取50名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)分組(單位：分)及各組的頻數(shù)如下：[40，50)，2；[50,60)，3；[60,70),10；[70,80),15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)成績(jī)?cè)赱60，90)分的學(xué)生比例.解(1)頻率分布表如下：成績(jī)分組頻數(shù)頻率累積頻率[40，50)20.040.04[50，60)30.060.1[60，70)100.20.3[70，80)150.30.6[80，90)120.240.84[90，100]80.161.00合計(jì)501.00(2)頻率分布直方圖如圖所示.(3)學(xué)生成績(jī)?cè)赱60，90)分的頻率為0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%，所以估計(jì)成績(jī)?cè)赱60，90)分的學(xué)生比例為74%.規(guī)律方法繪制頻率分布直方圖的注意點(diǎn)(1)各組頻率的和等于1，因此，各小矩形的面積的和也等于1；(2)頻率分布直方圖比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律；(3)在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)畫頻率分布直方圖時(shí)，x＝樣本數(shù)據(jù)，y＝eq\f(頻率,組距)，這樣每一組的頻率可以用該組的組距為底、eq\f(頻率,組距)為高的小矩形的面積來(lái)表示.其中，矩形的高＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(1,組距×樣本容量)×頻數(shù)；(4)同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸單位不同，得到的頻率分布直方圖的形狀也會(huì)不同；(5)同一個(gè)總體，由于抽樣的隨機(jī)性，如果隨機(jī)抽取另外一個(gè)相同容量的樣本，所形成的樣本頻率分布直方圖一般會(huì)與前一個(gè)樣本頻率分布直方圖有所不同，但它們都可以近似地看做總體的分布.【訓(xùn)練1】在生產(chǎn)過(guò)程中，測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度(表示纖維粗細(xì)的一種量)共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率[1.30，1.34)4[1.34，1.38)25[1.38，1.42)30[1.42，1.46)29[1.46，1.50)10[1.50，1.54]2合計(jì)100(1)完成頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；(2)估計(jì)纖度落在[1.38，1.50)內(nèi)的可能性及纖度小于1.42的可能性各是多少？解(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[1.30，1.34)40.04[1.34，1.38)250.25[1.38，1.42)300.30[1.42，1.46)290.29[1.46，1.50)100.10[1.50，1.54]20.02合計(jì)1001.00頻率分布直方圖如圖所示.(2)利用樣本估計(jì)總體，則纖度落在[1.38，1.50)的可能性即為纖度落在[1.38，1.50)的頻率，即為0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纖度小于1.42的可能性即為纖度小于1.42的頻率，即為0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.題型二頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用【例2】為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？eq\a\vs4\al(各小矩形的面積等于樣本數(shù)據(jù)落在該組內(nèi)的頻率)(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？解(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來(lái)反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方圖可估計(jì)該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.【遷移1】(變結(jié)論)在例2條件下，試求樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù).解樣本的達(dá)標(biāo)率為88%，樣本容量為150，不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12.所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人).【遷移2】(變結(jié)論)在例2條件下，試求次數(shù)在130以上(含130次)的學(xué)生人數(shù).解次數(shù)在130以上(含130次)的學(xué)生人數(shù)為：eq\f(9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝36.規(guī)律方法解決與頻率分布直方圖有關(guān)問(wèn)題的關(guān)系式由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系式：(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率.(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為：樣本容量×頻率＝頻數(shù).【訓(xùn)練2】某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求圖中a的值；(2)若這100名學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?cè)谀承┓謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)依題意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，60)之間的人數(shù)為100×0.05＝5，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱60，70)之間的人數(shù)為100×0.4×eq\f(1,2)＝20，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱70，80)之間的人數(shù)為100×0.3×eq\f(4,3)＝40，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱80，90)之間的人數(shù)為100×0.2×eq\f(5,4)＝25，所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90)之外的人數(shù)為100－5－20－40－25＝10.題型三折線圖、條形圖、扇形圖及應(yīng)用eq\a\vs4\al(準(zhǔn)確識(shí)圖，正確讀圖是解題的關(guān)鍵)【例3】如圖是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，試根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖反映的信息，繪制該市3月1日到10日最低氣溫(單位：℃)的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖.解該城市3月1日至10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表：日期12345678910最低氣溫(℃)－3－20－1120－122其中最低氣溫為－3℃的有1天，占10%，最低氣溫為－2℃的有1天，占10%，最低氣溫為－1℃的有2天，占20%，最低氣溫為0℃的有2天，占20%，最低氣溫為1℃的有1天，占10%，最低氣溫為2℃的有3天，占30%，扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示：規(guī)律方法1.條形圖是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量或頻率，根據(jù)數(shù)量的多少或頻率的大小畫成長(zhǎng)短不同的矩形條，條形圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目或頻率.2.扇形圖是用整個(gè)圓面積表示總數(shù)(100%)，用圓內(nèi)的扇形面積表示各個(gè)部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).3.在畫折線圖時(shí)，要注意明確橫軸、縱軸的實(shí)際含義.【訓(xùn)練3】如圖是甲、乙、丙、丁四組人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的部分結(jié)果，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的情況可以知道丙、丁兩組人數(shù)和為()A.250 B.150 C.400 D.300解析甲組人數(shù)是120，占30%，則總?cè)藬?shù)是eq\f(120,30%)＝400.則乙組人數(shù)是400×7.5%＝30，則丙、丁兩組人數(shù)和為400－120－30＝250.答案A一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)學(xué)習(xí)頻率分布直方圖、條形圖、扇形圖、折線圖及其應(yīng)用，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).2.由于總體取值不易知道，因此我們用樣本取值的規(guī)律去估計(jì)總體取值的規(guī)律，并且常借助于如下統(tǒng)計(jì)圖表：頻率分布直方圖、條形圖、折線圖、扇形圖等.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.200輛汽車經(jīng)過(guò)某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速超過(guò)60km/h(含60km/h)的汽車數(shù)量為()A.65輛 B.76輛 C.88輛 D.95輛解析由頻率分布直方圖可得數(shù)據(jù)落在[60，80)內(nèi)的頻率是(0.028＋0.010)×10＝0.38，故時(shí)速超過(guò)60km/h(含60km/h)的汽車數(shù)量為200×0.38＝76(輛).答案B2.甲、乙兩個(gè)城市2018年4月中旬每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的是________城市(填“甲”“乙”).解析從折線統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的看到乙城市的氣溫變化較大，而甲城市氣溫相對(duì)來(lái)說(shuō)較穩(wěn)定，變化基本不大.答案甲3.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n＝________.解析設(shè)第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率分別為2x，3x，4x，6x，4x，x，則2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq\f(1,20)，所以前三組數(shù)據(jù)的頻率分別是e