江蘇省宿遷市2025屆高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）

江蘇省宿遷市2025屆高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.一只不透亮的盒子中裝有形態(tài)、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若從

中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是

A.-B

3

2.下表是“拽步舞”競(jìng)賽中12個(gè)班級(jí)的得分狀況，則80百分位數(shù)是

班級(jí)得分78910111314

頻數(shù)2123121

A.13.5B.10.5C.12D.13

3.在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若絲/A=包史.，則△ABC的形

a-ccosBsinA

態(tài)是

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

4.在AABC中，AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn)，則EB=

31133113

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-AB+-AC

44444444

5.已知m,n是兩條不相同的直線，a,尸是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是

A.若mua,nu6，m〃n,則a〃尸B.若m_La,m±f3,nca,則n〃6

C.若a_L￡,m±a,m±n,則n〃〃D.若（/〃/?,m±a,n///?,貝！|m〃n

6.已知W=2,b=（也,3）,。在6上的投影向量為:6,則。與6的夾角為

A.一B.—C.一或一D.—

63666

7.在直三棱柱ABC—ABQ中，ZACB=120°,CA=CB=—,AAi=2,則這個(gè)直三棱柱的外

接球的表面積為

A.8?B.16nC.32nD.64萬(wàn)

8.祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)

家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提

出了一條原理：“鼎勢(shì)既同塞，則積

不容異”.這里的“塞”指水平截面

1

的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的

面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等.如圖所示，某帳篷的造型是兩個(gè)全等圓柱垂直相

交的公共部分的一半（這個(gè)公共部分叫做牟合方蓋）.設(shè)兩個(gè)圓柱底面半徑為R,牟合方

蓋與其內(nèi)切球的體積比為4:71.則此帳篷距底面￡處平行于底面的截面面積為

2

222

A.-^-RB.3萬(wàn)R2C.-^-RD.3R

43

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）

9.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（a+i）（l+2i）,aeR,則下列命題正確的是

A.若z為純虛數(shù)，則a的值為2

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-4，2）

2

C.實(shí)數(shù)a=-L1是z=z-（一z為z的共軌復(fù)數(shù)）的充分不必要條件

2

D.若|z|=5,則實(shí)數(shù)a的值為±2

10.中共中央確定，2024年在全黨開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教化,激勵(lì)全黨不忘初心、牢記使命.某

單位隨機(jī)抽取了100名職工組織了“黨史”學(xué)問(wèn)競(jìng)

賽，滿分為100分（80分及以上為優(yōu)良），并將所

得成果分組得到了如圖所示的頻率分布折線圖（組

距為10）.從頻率分布折線圖中得到的這100名職

工成果的以下信息正確的是

A.成果是49分或100分的職工人數(shù)是0

B.成果優(yōu)良的人數(shù)是35人

C.眾數(shù)是75

D.平均分約為75.5分

11.己知。是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

A.5gOAOB=OBOC=OCOA,則0是AABC的重心

B.若向量OA+OB+OC=0,且|OA|=|OB|=|OC|,則AABC是正三角形

C.若0是AABC的外心，AB=3,AC=5,則OA-BC的值為-8

D.若OA+2OB+40c=0,貝!!SAOAB：SAOBC：SAOAC_4:1:2

2

12.已知邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，NADC=60°,將AADC沿AC翻折，下列說(shuō)法正確的是

A.在翻折的過(guò)程中，直線AD,BC所成角的范圍是（0,-）

2

3

B.在翻折的過(guò)程中，三棱錐D—ABC體積最大值為幺

8

C.在翻折過(guò)程中，三棱錐D—ABC表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為（14-86）萬(wàn)/

D.在翻折的過(guò)程中，點(diǎn)D在面ABC上的投影為D，,E為棱CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ED，的最

小值為走a

4

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位

置上）

13.五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別是1,--假定三人的選擇相互之

345

間沒(méi)有影響，那么這個(gè)假期中至少有1人去北京旅游的概率為.

14.若cos（x一生）=’，貝！|sin（2無(wú)+工）=.

646

15.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地

球留給人類保留宇宙隱私的最終遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有

世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞小■

的口徑A、B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)

D

C、D,測(cè)得CD=45m,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA

=15°,ZACB=120°,則A、B兩點(diǎn)的距離為m.

16.某幾何體由圓錐挖去一個(gè)正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面與圓錐內(nèi)接，下底面在圓

錐的底面上，已知該圓錐的底面半徑R=3,正三棱柱的底面棱長(zhǎng)a=括，且圓錐的側(cè)

面綻開(kāi)圖的圓心角為如，則該幾何體的體積為.

5

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

已知向量〃=（3,1）,b=（2,4）.

（1）求向量Q與b夾角；

（2）若（"-Z?），（a+2b）,求實(shí)數(shù)4的值.

3

18.(本小題滿分12分)

已知復(fù)數(shù)z滿意囪=后，z?的虛部為2,在復(fù)平面內(nèi)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限.

(1)求復(fù)數(shù)I;

(2)設(shè)向量OZ表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量，(cosE+isind)?z(夕＞0)的幾何意義是將

向量OZ繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。后得到新的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).利用該幾何意義，若△0AB是等

邊三角形，求向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

19.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/z(x)=sin(x+。)，g(x)=cos(x-。)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條

件中選擇一個(gè)作為已知，其中條件①“外二打九幻+8?。)；條件②：y(x)=/7(x)-g(x)；條

件③：/(x)=h(x)-g(x).求：

(1)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)/(x)在區(qū)間［0,彳］的取值范圍.

(注：假如選擇不同條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.)

20.(本小題滿分12分)

某校高一年級(jí)為了了解某愛(ài)好小組近期的學(xué)習(xí)效果，隨機(jī)抽取40位同學(xué)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，

每位同學(xué)隨機(jī)抽取100個(gè)單選題進(jìn)行作答，答對(duì)了得1分，答錯(cuò)或不選不得分，且每位同學(xué)

檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若從該愛(ài)好小組隨機(jī)抽取一位同學(xué)進(jìn)行檢測(cè)，試估計(jì)得分不小于70分的概率；

(2)利用該頻率分布直方圖的組中值，估計(jì)這40同學(xué)考試成果的方差1；

(3)為了駕馭該小組學(xué)問(wèn)的薄弱點(diǎn)，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，在50到80分之間，抽

取一個(gè)容量為15的樣本，在這15個(gè)成果中，隨機(jī)抽取2次(每次抽取一個(gè)且不放回)，求

在第一次抽到成果在70-80分的狀況下，其次次成果在60到70分之間的概率.

4

21.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA_L底面ABCD,AD/7BC,ADXCD,且AD=CD=4,BC=8,

PA=2A/2.

(1)求證：AB±PC；

(2)在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M—AC—D的大小為45°,假如存在,

求BM與平面ABCD所成的角的正切值，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(本小題滿分12分)

CP

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,ca=6,P,Q為邊BC上兩點(diǎn)，—

BP

BQ=ABjr

=2,ZCAQ=-

QCAC3

(1)求AQ的長(zhǎng);

(2)過(guò)線段AP中點(diǎn)E作一條直線1,分別交邊AB,AC于M,N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xAB,

AN=jAC(xyWO),求x+y的最小值.

5

高一數(shù)學(xué)參考答案

(考試時(shí)間，120分鐘：,總分1150分)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將答案填涂到答JS卡相應(yīng)區(qū)域.

1.Bt2.D：3.Ai4.C,5.B?6.D?7.B?8.D

二、多項(xiàng)選擇趣：本尊共4小卷,每小鹿5分，共20分.在每小里給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符

合咫目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分.有選錯(cuò)的得。分，請(qǐng)將答案填涂

到答尊長(zhǎng)相應(yīng)區(qū)域.

9.ADt10.ABD?11.BCD：12.BC

三、填空限：本題共4小區(qū),每小尊5分,共20分.請(qǐng)將答案填寫(xiě)到答題儀上相應(yīng)區(qū)域.

37

13.—?14.——?15.45^5?16.12"-2/

四、解答腮(本大題共6小尊，共70分.其中第171810分,其余每尊12分.解答應(yīng)q出

文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程)

17.已知向量々=(3,1),3=(24).

(i)求向量G與B夾角；

(2)若(“一山(￡+孫求實(shí)數(shù)2的值.

監(jiān)⑴???。=(3,1),6=(2,4)

-75%0八

??cosva,b>=-—―=--------------2分

HMI2

v<a,5>e[0,^]

所以向量G與3夾角為---------s分

4

(2)??,(尤0—否)_1(1+25卜

???(2"一否)?而+4)=0-------------7分

,/Aa-b=(3A-2,A-4\a+2辦=(7,9)

???7(3,2)+9a-4)=0,

所以力=：---------10分

18.己知復(fù)數(shù)二滿足三的虛部為2.在復(fù)平面內(nèi),二所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)/在第一象限.

(1)求復(fù)數(shù)三t

(2)設(shè)向量表示復(fù)數(shù);對(duì)應(yīng)的向量,(cos6+isin6)?二(^>0)的幾何意義是將向

6

量應(yīng)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g后得到新的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).利用該幾何意義,若

AO.48是等邊三角形.求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

解：⑴設(shè):=a+6i(abc&)則.:1=a2-b:+2abi,+南

因?yàn)閨:|=0./的虛部為2.所以卜一+'=2得、?！窱--------------2分

lab=2p*=1

因?yàn)槎鶎?duì)應(yīng)的點(diǎn)4在第一象限，所以。>0,b>0得。=Lb=l.==l+i-------4分

所以二=l-i--------------6分

(2)等邊三角形皿S可以看成而向量用統(tǒng)旋轉(zhuǎn)工?設(shè)向量麗對(duì)復(fù)數(shù)二，

3

2=(cosysiny1M1?+?i)=!十]十^^1-----------9分

或I+i=(cosg?ising)，'，所以父=1十.341)3j------------H分

所以向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)匕叵+L甚i或L芭+匕叵i------------12分

2222

19.己知函數(shù)人(x)=sin1r+W)g(x)=cos[x-gj.再?gòu)臈l件①.條件②.條件③這三個(gè)

條件中選擇一個(gè)作為已知.其中條件①?八幻=川(幻+屋(幻；條件②,

/(x)=A(.r)-g(x):條件③：/(x)=/r(x)g(x)

(注r如果選擇不同條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.)

求?(1)”外的單調(diào)遞減區(qū)間r

(2)/(外在區(qū)間0,[的取值苑用.

19.解1選①：/(x)=h'(x)+g:(x)=sin:(x+y)+cos*(x-y)

l-cos(2x+爭(zhēng)+l+cos(2xT)=2+"sin2x

2+2=24分

(I)令2A“+[42X424;T+T一5分

7

所以/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為++'必—)---------6分

44

(2)當(dāng)*€[0,斗]時(shí).則2xw[0,3”]

所以sin2rw[-l,l]-------------8分

〃小話四呼學(xué)“今

所以/(外在區(qū)間10,包]的取值葩懵是

12分

2

1-V3

選②，/(x)=h(x)-g(x)=sin(x+y)-cos(x-j)=(sinx-cosx)

2

(I)令I(lǐng)kn-^Mx-三工2kn+三AkwZ),-------------S分

242

解得”“一+主，(AsZ).

44

所以/(幻的單調(diào)遞族區(qū)間為[2k^--,2k^+—l(,keZ)---------6分

44

(2)當(dāng)xw[0.如]時(shí).-Lx-L運(yùn).

2444

-------------8分

中八?門(mén)\^2-^6./^2—^6^3-I-114

所以f(x)=--------sin(x-----)e|r-----------,--------]--------------11分

2422

所以〃幻在區(qū)間0，半的取值范用是[0：而-------------12分

選③X/(x)=A(x)?g(x)=sin[x+??cosX-斗sinxcosx+

3)4

=—sin2x+-*4分

24

(1)令24萬(wàn)+￡42工42女尸+芷

?5分

22

8

所以f（X）單調(diào)遞減區(qū)間為世產(chǎn)+2,A”+—e:）---------6分

44

<2）當(dāng)xw[O,爭(zhēng)時(shí).則2xw[0,3司

所以sin2xe[-l,l]-------------8分

所以/"(x)-isin2x+^-e[^^—

------------11分

所以八幻在區(qū)間O.y的取值范用是4?12分

20.某校高年級(jí)為了了解洪興46小組近期的學(xué)習(xí)效果,隨機(jī)抽取■?位問(wèn)學(xué)送行順星技

測(cè),用位同學(xué)隨機(jī)抽取100個(gè)單選想進(jìn)行作答,答對(duì)了得1分.答錯(cuò)或不選不得分,且

掠位同學(xué)檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立.得到如圖所示的頻率分布直方圖.

'1>若從該興理小組隨機(jī)抽取一位同學(xué)進(jìn)行檢測(cè),試估計(jì)得分不小于70分的概率1

12）若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表.求這40同學(xué)考拭成績(jī)的樣本方差S,

'3）為了掌握該小組知識(shí)的薄弱點(diǎn),現(xiàn)采用分層抽樣的方法在50到80分之間,抽取

一個(gè)容量為15的樣本.在這15次成績(jī)中,隨機(jī)抽取2次（每次抽取一個(gè)且不放

回）.求在第一次抽到成績(jī)?cè)?0-80分的情況下，第二次成績(jī)?cè)?0到70分之間的

微率.

20.解…0.45+0.2+0.05=0.7-2分

<2)55x0.1+65x0.2+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74-------------4分

s2=(55-74)2xO.l+(65-74fxO.2+(75-74)2xO.45+(85-74fxO.2+(95-74fx0.05

=99------------6分

(3)—x15=2,—xl5=4.—xl5=9-------------8分

0.750.750.75

設(shè)抽到成績(jī)?cè)?0-80分的個(gè)體為小,…,4

9

抽到成績(jī)?cè)?0—70分的個(gè)體為4也.…也

第一次抽到成績(jī)?cè)?0-?0分之間的情況下，第二次分?jǐn)?shù)在60-70分之間為有?

<?’,優(yōu)）.（a”心卜（"］向卜<%出卜</向卜（%，4）?（%,包）

（《，幻/為也口出也Ma,也）

共4x9-36個(gè)

總的基本事件數(shù)為9x14個(gè)---------10分

記在第一次抽到成績(jī)?cè)?0—80分之間的情況下,第二次分?jǐn)?shù)在60-70分之間為事件A

山）=鵠］

14x97

所以在第一次抽到成績(jī)?cè)?0-80分的情況下,第二次成績(jī)?cè)?0到70分之間的概率;

--------------12分

2L如圖,在四棱錐中尸_/灰7）._L底面d8CO,AD!IBC,ADLCD,且

（2）在線段尸。匕是否存在一點(diǎn)A1,使得二面角的大小為45。.如

果存在，求8M與平面.43CO所成的角的正切值，如果不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析（1）證明：四邊形.48C0中，.4?！?c..4Z）_LCD..4。=。。=4,BC=8*

所以四邊形X8C。是直角梯形,且/。=4先.

AB=^（BC-.dDf+CD2=4忘.

所以4夕+4仁2=64=5^,即..............2分

又7M_L平面.48（"W8C平面/BCD，所以a4J.45.

又2（0.4。=/,且尸4/Cw面4c,所以.48_L平面/MC.

又PCu平面P/C.：.ABlPCt...........................4分

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A/作于'?如圖，

10

因?yàn)镻4J_平面4?C￡）,且Rfu面Rd。.所以平面RID_L平面.48CD,

又平面/MDD平面d8C0=.40,“小匚面尸.40,AA'±AD,所以AWJ.平面

ABCD.

所以MNJ.dC.

過(guò)煎N作NG工AC于G.連接MG,則dCJ_A/G,

所吸4/G"是二面角Af-.4（'一。的平面角...............6分

若ZA/GN=45。，則NG=AW,又4V=￡\G=QMV.

設(shè).MN=x,囑AN=g,ND=A-42X-

而MN//PA,△P4ZJ中,...-....

ADPA

4-衣x

即丁二邁

8分

所以MN=、萬(wàn),即M是線段PD的中點(diǎn).

所以存在點(diǎn)A/使得二面角A1-/C-O的大小為450............................10分

連接BN,因?yàn)锳fN±平面ABCD

所以AMBN為BM與平面ABCD所成的角.

且NB=yl（BC-ND）2+CD2=2而

在MfBN中，lan川BN=冶=/:理

BM2V1326

所以與平面.4所成的角的正切值為叵..............12分

22.A48c的內(nèi)角.4,8,C的對(duì)邊分別為a.b.c,a=6.P,Q為邊BC上兩點(diǎn)

CPBQAB

-lc2,ZC40=y.

（I）求/0的長(zhǎng)t

（2）過(guò)線段/P中點(diǎn)E任作一條直線分別交邊.45,/C于M.N兩點(diǎn).設(shè)

11

Ahl=xAB,AN=yAC（xy,*0）.求x+p的fit小值.

?：ID在AJ50與A4。。中分別使用正弦定理有：

BQABCQ/C

sinNB/QsinZJQB和sinNC/10sinZ.4pC

BQABsinZBAQ

兩式相除得：奈=“，〃，二

QCACsinZCAQ

因?yàn)橐?空，所以sin/O0=sinNA10,

AC^

因?yàn)樯闲?。?.NA40w（（U）,所以N84Q=q,Z5.4C=Y...............2分

CPIB

因?yàn)樯?3=2,所以CP=28PJ5=2.4C