吉林市2024年高三四模（第四次模擬考試）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

★保密?啟用前★

吉林地區(qū)普通高中2023-2024學(xué)年度高三年級第四次模擬考試

數(shù)學(xué)試題

說明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答非選擇題時(shí)，用0.5毫米

的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。

3.請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙

上答題無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)是符合題目要求.

1.已知命題p:Vx>l,|xQ?l,則命題p的否定為

A.3x>l,|x|^lB.三七￡?duì)朇.Vx>l,|x|<lD.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2|+|z-2|=6,.則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為

A.線段B.圓￡.橫圓D.雙曲線

3.如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖槽人雕像相映成趣，是吉

林市的重要地標(biāo)之一.該時(shí)鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常

運(yùn)行的過程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震

時(shí)釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為?E=4.8+1.5M.

2024年3月25日，斐濟(jì)附近海域發(fā)生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿

克蘇地區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震的

A.10倍B.100倍C,1000倍D.10000倍

5.已知雙曲線C:4一［=1(6>0)的一條漸近線為了=限，則雙曲線C的離心率為

3b

cn2石cnC…2石

A.2B.-------C.—D.2或----

323

高三數(shù)學(xué)試題第1頁共6頁

6.越來越多的人喜歡參加戶外極限運(yùn)動，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，A,8兩個(gè)地區(qū)分別有3%,8%

的人參加戶外極限運(yùn)動,兩個(gè)地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)的比為2:3.若從這兩個(gè)地區(qū)中任意選取一人,

則此人參加戶外極限運(yùn)動的概率為??；若此人參加戶外極限運(yùn)動，則此人來自“地區(qū)的概

率為P”那么

u33

=---.=-3

2HpH

Ac.PAI10U0B.530

1D.-

FP1

=2-71=

50

7.已知&45c的三個(gè)內(nèi)角45,C的對邊分別為a,A,c,A=DC=2BD,6=3，c=l,

則線段z。的長為

A.立B.叵C.亙0.叵

3333

8.如圖所示，曲線C是由半橢圓G：=4<=1()<0)，半圓。2：住—1)2+/2=1(72°)和

43

半圓G：(X+1)2+/=1(JN0)組成，過G的左焦點(diǎn)K作直線。與

曲線c僅交于月，萬兩點(diǎn)，過G的右焦點(diǎn)月作直線，2與曲線C僅

交于M,N兩點(diǎn)，且4〃。，則|48|+|跖V|的最小值為

A.3B.4C.5D.6

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則

A.抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有C；C；8種

B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為褰

C.抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為1-

D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為9

高三數(shù)學(xué)試題第2頁共6頁

10.已知在公差不為0的等差數(shù)列｛%｝中，6=-5,4是外與心的等比中項(xiàng)，數(shù)列｛4｝的前

n項(xiàng)和為S?,且=--—,則

%%+1

A.an=2n-13B.V/ieN*,b?^-l

D.VMGTV,S^S?^S

112?-ll6S

sinlx

11.已知函數(shù)/(x)=B-,則

1+coslx

A.函數(shù)/(x)一個(gè)周期是江

B.函數(shù)/(x)遞減區(qū)間為(而r-q,A;r+9)(A€Z)

C.函數(shù)/(x)有無數(shù)多個(gè)對稱中心

D.過點(diǎn)(2,0)作曲線j=/(x)的切線有且只有一條

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對得2分，

第二個(gè)空填對得3分.

12.已知隨機(jī)變量X,Y,滿足Z)(X)=2,y=3-2X,則D(P)=.

13.已知函數(shù)/(x)=s加如?>0),將函數(shù)/(*)的圖象向右平移言個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的

圖象，點(diǎn)Z,B,C是函數(shù)/(X)與g(x)圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若41BC是鈍角三

角形，則0的取值范圍是.

14.清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“羨藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的全等正四面體組

合而成(每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)).

如圖，若正四面體棱長為2,則該組合體的表面積為；該組合體

的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為.

高三數(shù)學(xué)試題第3頁共6頁

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且叫=1,2Sn=3an+m.

(I)求實(shí)數(shù)，”的值和數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若%=%〃喈3%+1，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和籌.

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=(x2-<ix-ff)ev.

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(*)的極值；

(U)求證：當(dāng)0<。<1,x>0時(shí)，/(x)>—

a-\

高三數(shù)學(xué)試題第4頁共6頁

17.(本小題滿分15分)

某商場為慶祝開業(yè)40周年，開展了為期一個(gè)月的有獎促銷活動，消費(fèi)者一次性消費(fèi)滿200

元，即可參加抽獎活動.抽獎盒子中裝有大小相同的2個(gè)黃球和2個(gè)白球，規(guī)則如下：每

次從盒子中任取兩個(gè)球，若取到的兩個(gè)球均為黃球，則中獎并獲得獎品一份，活動結(jié)束；

否則將取出的兩個(gè)球放回盒中，并再放入一個(gè)大小相同的紅球，按上述規(guī)則，重復(fù)抽獎，

參加抽獎的消費(fèi)者最多進(jìn)行三次，即使第三次沒有中獎，抽獎也會結(jié)束.

(I)現(xiàn)某消費(fèi)者一次性消費(fèi)200元，記其參加抽獎的次數(shù)為隨機(jī)變量求J的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

(U)隨著抽獎活動的有效開展，參加抽獎活動的人數(shù)越來越多，J表示第x天參加抽獎

活動的人數(shù)，該商場對活動前5天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：

第X天12345

人數(shù)J

必y3y4ys

經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)少與文具有線性相關(guān)關(guān)系.

(1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)「，并說明J與x的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；(結(jié)果精確到0.01)

(u)請用最小二乘法求出J關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a,并據(jù)此估計(jì)第10天

參加抽獎的消費(fèi)者人數(shù).

附：①相關(guān)系數(shù):

X(巧一初弘一力￡-V,-nxy

最小二乘估計(jì)分別為：b=四r------------=丹----------，a=y-bx

2（巧-可沅2

1=11=1

555

②參考數(shù)據(jù)：2（巧一初切一刃=160,￡（以一刃z=2890,￡=4890.

1=1/=1/=]

高三數(shù)學(xué)試題第5頁共6頁

18.(本小題滿分17分)

如圖所示，半圓柱與四棱錐Z-SCDE拼接而成的組合體中，尸是半圓弧5c上(不

含笈，C)的動點(diǎn)，F(xiàn)G為圓柱的一條母線，點(diǎn)力在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，

OB=2OOl=2,AB=AC=2y[l.

(I)求證：CG工BF；

(n)若nr〃平面ABE,求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值；

G

(m)求點(diǎn)G到直線0D距離的最大值.

19.(本小題滿分17分)

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如〃(x-2)-(>-1)=0表示過點(diǎn)(2,1)且

斜率存在的直線族，y=x+，表示斜率為1的直線族,直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族

中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族

中的某條直線.

(I)若直線族++l=”G?的包絡(luò)曲線是圓。：X?+『2=16,求叫“滿足

的關(guān)系式；

(n)若點(diǎn)不在直線族0:2〃-町-1=0GGR)的任意一條直線上，對于給

定的實(shí)數(shù)X。，求為的取值范圍和直線族S的包絡(luò)曲線E；

(卬)在(ED的條件下，過直線x-4j-8=0上一個(gè)動點(diǎn)P作曲線E的兩條切線，切點(diǎn)

分別為Z,B,求原點(diǎn)。到直線Z5距離的最大值.

命題、校對：高三數(shù)學(xué)核心組

高三數(shù)學(xué)試題第6頁共6頁

吉林地區(qū)普通高中2023-2024學(xué)年度高三年級第四次模擬考試根據(jù)函數(shù)j，=Vis/"(2x-生)與函數(shù)j，=2x-3圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷(*)式的根的個(gè)數(shù).

4

教學(xué)延伸：思考過點(diǎn)(1,0)能作幾條與函數(shù)/(x)=x-S，，x圖象相切的直線？

數(shù)學(xué)試題參考答案

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對得2分，第二個(gè)

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.空填對得3分.

12345678(。亨

12.813.

ACDCBDBC

(注：表示成0VOV巫產(chǎn)也可以)

二、多項(xiàng)選擇題，本大題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得6分，部分選對的得部分3

分，有選錯的得0分.14.________6、曰:27_______

9101114題教學(xué)提示：

ACDABDBCD可以將該組合體嵌入到正方體內(nèi)進(jìn)行研究(如圖所示).

該組合體外接球半徑為正方體的外接球半徑.

11題C選項(xiàng)教學(xué)提示?

兩正交四面體公共部分內(nèi)切球半徑為正八面體的內(nèi)切球半徑,

f(x)=^-tanx也是正四面體的內(nèi)切球半徑.

法一：因?yàn)閖，=S〃x的對稱中心為(竺,0)(AeZ),且(竺，")(AeZ)是j，=：的對稱中心,四、解答題

2242

15.【解析】

故/(X)的對稱中心為(竺，竺)(AeZ).

24解：(I)當(dāng)”=1時(shí)，2S,=3a,+m,

法二：/(x)+/(2?-x)=y-tanx+X-tan(2a-x)=a-\tanx+tan(2a—x)|

丁Si=.,2a\=3a,+m,

當(dāng)2。=?乃(4€2)即。=W(*€2)時(shí)，f(x)+f(2a-x)=a

m=-flj=-1..........................................................................................................................................2分

故/(x)的對稱中心為(吟，即與年)(AeZ).,；心一3

當(dāng)〃時(shí)，

D選項(xiàng)教學(xué)提示，-J吟/N22%=2S“-2s=3%-1-(3%_1-1),

設(shè)過點(diǎn)(2,0)的直線與曲線y=/(x)相切于點(diǎn)>=42叫Z\/

整理得(in=3%_］，/0：?——=3,

P(x,^—tanx),則切線方程為-----

00\J/A;

，數(shù)列｛冊｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

尸仔一皿。)=(；—羲心-與)，y/

???%=3〃T.5分

代人(2,0)得拒S/MQXL與=2Xo-3(*)

(H)法一，

高三數(shù)學(xué)試題答案1頁(共7頁)

/o3-1當(dāng)時(shí)，，

,-,*?=?.?^3??+i="?log#"=n-3"''7分(I)a=0/(x)=x*(xwR)

.*.T?=lx3°+2x3,+3x32+-+(rt-l)-3"-2+/i-3"-1①f(x)=(x1+2x)ex=x(x+2)ex2分

1X3,+2X32+3X33+-+(/I-1)-3"-,+?-3"②9分令/'(x)=0得x=0或x=-2,當(dāng)x變化時(shí)，/'(X)與/住)變化如下表:

①-②得

XS,-2)-2(-2,0)0(0,4co)

-2T?=3°+3'+32+…+3"T+3”T_“.3”

/'(X)+0-0+

lx(l-3")

=-----------------M?3

1-34

/(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減0單調(diào)遞增

1(1-2/0-3"7

=——+--------------

24分

1(2w-l)-3"4

13分故當(dāng)x=-2時(shí)，/(x)取得極大值/；當(dāng)x=0時(shí)，/(*)取得極小值0.6分

44

法二，

(H)f(x)=|x2+(2-<i)x-2?]ex=(x+2)(x-a)ex,x>0

,?也=冊./%叫+1=3"、/嗚3"=小3"-’7分

,/x>0x+2>0

_,

設(shè)4=(Z〃+6)?3”T4〃-1)+5]?3"T=(2/1//+/1+2B).3"令/'(x)=0,則x=。，當(dāng)x變化時(shí)，/'(x)與/(x)變化如下表：

???2Z=1且4+25=0,解得力=」,5=-白.

Xa(a,+co)

24(0,。)

f,(x)-0+

(注：此處沒有過程，直接寫出4形式不扣分)fW;單調(diào)遞減—aea單調(diào)遞增

即4=C““-C.，其中呢=|1(?-1)-1].3-

24

故/(*).=/(a)=-ae"............................................................................................................10分

:…+b“

要證當(dāng)x>0時(shí)，/(、)>含.

=(q-c1)+(c3-c2)+.-+(c?+1-c?)

法一?

只需證當(dāng)0<“<1時(shí)，即(l-a)e"<l(*).........................................................12分

a-i

(2〃-1)?3〃￡

4+4令g(a)=(l-a)e"，0<?<1,則g'⑷=-ae-<0,；.g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減

“卜丁...........................................................

?故g(a)<g(0)=l,即(*)式成立，原不等式成立..................................15分

(注：利用錯位相減法求數(shù)列的和，若直接套用公式?jīng)]有過程給2分法二：

16.【解析】

高三數(shù)學(xué)試題答案2頁(共7頁)

只需證當(dāng)0＜。＜1時(shí)，-?！埃尽挂患?。"+」一＜0(*)

12分(注：r計(jì)算得出但未得出0.94或其它數(shù)值，扣1分.)

(1-1fl-1

令/,(a)=e"+-L^,0</?<1,則//(a)=e"--二=二”〈二】

(ff-1)(fl-1)16()

(u)b=-^—z-------------------=——=16

10

令皿〃)=(0-1)%。-1,0<?7<1,則，〃'(〃)=(/-1"<0/-I

???皿〃)在(0,1)上單調(diào)遞減.

???t(M-刃2=乞只-5V=4890-5V=2890

/.m(?)<m(0)=0,h\a)<0/■I/■1

???力(。)在(0,1)上單調(diào)遞減，//(?)<7/(0)=0:.j=20

即(*)式成立，原不等式成立....................................................15分.*.?=J-*x=20-16x3=-28

17.【解析】

經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=16x-2813分

(I)4的所有可能取值為1,2,3

當(dāng)x=10時(shí)，,=16x10-28=132

m哈4

故估計(jì)第10天有132名消費(fèi)者參與抽獎...........................................15分

尸(>2)=。-3噌$(教學(xué)建議：本次考試r,￡均給出兩個(gè)公式，但教學(xué)中要求學(xué)生會由公式一推導(dǎo)得出公式二)

18.【解析】

(I)法—

?取弧5C中點(diǎn)//,則CWJ_5C.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

.?*的分布列;

g123以。8,0",。。,所在直線

￡13

p分別為x軸，/軸，z軸

6n4

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

:.E(4)=1x—+2x—+3x—=—.6分

612412

連接。4,在A48c中，8c=4,

zTTx/.\-1+2+3+4+5

(II)(1)x=---------------------=3

AB=AC=142,OB=OC,

區(qū)(注：也可由￡巧2-5工得出)

￡-a=4+1+0+1+4=10則/1O_L8C,AO=2,

/■I/aI

易得0(0,0,0),4(0,-2,0),5(2,0,0),C(-2,0,0),0(-2,0,1)

火(巧-幻(必-7)

2分

16016…

，?1_________________=.——1---=—?0.94

j￡(X—)2V10xV289017設(shè)尸(x,y,0),則G(x,y,l),其中/+_)產(chǎn)=4,j，>0,

V/"!I/-I

CG=(x+2,j,l)?BF=(x-2,^,0)?

.?」與x線性相關(guān)程度很強(qiáng)............10分

高三數(shù)學(xué)述題答案3頁(共7頁)

法二：

有江海=*2-4+/=0，：.CG±BF，

(I)取弧5c中點(diǎn)〃，則OH1BC.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)8,OH,OO1所在直線

所以CG1BF........................................................................................................................5分

分別為x軸，J，軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

(H)因?yàn)?EJ.平面X8C,4Cu平面4BC,所以5EJ.4C,

連接04,在A4BC中，BC=4,AB=AC=141,OB=OC,則40J.8C,AO=2,

X--AB1+AC1BC1:.AB1AC,-.AB[｝BE=B,

則0(0,0,0),5(2,0,0),C(-2,0,0),0(-2,0,1),4(0,-2,0),

所以4CJ.平面45E,所以就=(-2,2,0)為平面45E的一個(gè)法向量.TSLZBOF=0,O<0<n,

有F(2cos0,2sin0,O),G(Icos0,2sin0,

OF=(X+2,J>,-1),?.?DF〃平面4BE:.DFAC=-2x-4+2y=0,

CG=(lcos0+2,lsinG,\),

,,(x=0

又一+/=4,)>0,解得｛BF=(2cos0-2,2sin0,O),

=2

此時(shí)尸(0,2,0),(7(0,2,1)......................................................................................................9分^CGBF=4cos20-4+4sin10=O,：.CG±BF

設(shè)7=(a,b,c)是平面FOD的法向景.

所以CGJ.5F...........................................................................................................................5分

n?OF=2^=0

則｛_____,取。=1,則b=0,c=2,(II)OD=(-2,0,l)>OG=(2cose,2sinO,\),

n?OD=-2。+c=0

因?yàn)锽E_L平面45c,4Cu平面X5C,

則7=(1,0,2)是平面FOD的一個(gè)法向量.所以5EJ.4C,

又因?yàn)?5J.XC,AB[yBE=B,

設(shè)/w=(e,/,g)是平面GOD的法向■:.所以4c1平面X8E,

所以就=(-2,2,0)為平面ABE的一個(gè)法向量.

則也西=2/+g=0,取e=],則/=_i,g=2,

ni?OD=-2e+g=0

DF=(2i;os0+2,2sin0,-1))DF-AC=-4cos0—4+4sin0=0

則G=(l,-1,2)是平面GOD的一個(gè)法向量..........................................................................11分

^sin0-cosO-=41sin(0--)=\,由得9=四，

42

則平面FOD與平面GOD夾角的余弦值為絲旦二袋...................................................13分

此時(shí)尸(0,2,0),G(0,2,l).......................................................................................................9分

1?11??16

可得G=(1,0,2)是平面FOD的一個(gè)法向量.

(ID)OD=(-2,0,1),OG=(x,j，,l),

是平面的一個(gè)法向量(注：此處法向量的求解過程參照法一)分

。-2?=(1,