第二章 向量代數(shù)、平面與直線

§3.2數(shù)量積向量積混合積

一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積

四、小結(jié)一、兩向量的數(shù)量積

啟示實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.M1FSM2

定義1

兩個(gè)向量α與β的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，它等于這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度與它們的夾角θ=(α,β)余弦的乘積，記作α·β或(α，β)，即α·β=|α|·|β|·cosθ

數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.

結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：證證時(shí)當(dāng)當(dāng)或之一為零時(shí)，可以認(rèn)為數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：易證下面證明分配律：證

當(dāng)γ≠0時(shí)，有(α+β)·γ=|γ|·Prjγ(α+β)，Prjγ(α+β)=Prjγα+Prjγβ，由投影性質(zhì)2，可知當(dāng)γ=0時(shí)，上式顯然成立；(α+β)·γ=|γ|(Prjγα+Prjγβ)=|γ|Prjγα+|γ|Prjγβ=α·γ+β·γ例1試用向量證明三角形的余弦定理.

證

設(shè)在△ABC中，

∠BCA=θ,|BC|=α,|CA|=β,|AB|=γ

，

ABC要證

γ2=α2+β2-2αβcos則有γ=α-β，

從而|γ|2=γ·γ=(α-β)·(α-β)

=α·α+β·β-2α·β

=|α|2+|β|2-2|α|·|β|cos(α,β)

∧記

CB=α，CA=β,AB=γ，

即

γ

2=α

2+β2-2α

βoos

例2

已知|α|=3,|β|=6，α與β的夾角為π/3

，且向量3α-λβ與α+2β垂直，求λ的值.

解

由兩個(gè)向量垂直的充要條件，得

0=(3α-λβ)·(α+2β)

=3α2+(6-λ)α·β-2λβ2=3|α|2+|α||β|(6-λ)cos(π/3)-2λ|β|2

=81-81λ

于是λ=1.

直角坐標(biāo)系下向量?jī)?nèi)積的計(jì)算

設(shè)α=x1i+y1j+z1k=(x1,y1,z1),β=x2i+y2j

+z2k=(x2,y2,z2).

按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得

α·β=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2j

+z2k)

α·β=x1x2+y1y2+z1z2.

數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式由此可知兩向量垂直的充要條件為特別地由兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式

2=x12+y12+z12.

例3設(shè)α=(1,2,3),β=(8,5,11),γ=(7,5,1).求α+β+γ的長(zhǎng)度和方向余弦，并求α+β+γ與α的夾角.=(16,12,15).解

α+β+γ=(1，2，3)+(8，5，11)+(7，5，1)|α+β+γ|==25，

它的方向余弦為cosα=16/25，cosβ=12/25，

cosγ=15/25=3/5α+β+γ與α的夾角的余弦為

而解

例4已知向量α、β的模|α|=2,|β|=1和它們的夾角(α，β)=π/3，求向量A=2α+3β與向量B=3α-β的夾角.同理可以計(jì)算出|從而二、

兩向量的向量積

實(shí)例向量積的幾何意義：向量積也稱為“叉積”、“外積”.

定義2

兩向量α與β的向量積是一個(gè)向量，記作α×β，它的模是|α×β|=|α|·|β|sinθ(θ=（α,β）），它的方向與α和β垂直，并且α、β、α×β構(gòu)成右手系，

如果α與β是非零且不共線的向量，α與β的叉積的模|α×β|=|α||β|sinθ就是以α、β為鄰邊的平行四邊形面積的數(shù)值.證//由向量積的定義可以推得：

于是θ=0或π，即α∥β；

當(dāng)α，β中有一個(gè)為零或兩個(gè)都為零時(shí)，由于零向量與任何向量都平行，所以結(jié)論仍然成立.

當(dāng)α，β都不為零時(shí)，如果α×β=0，由于|α|≠0,|β|≠0，故必有sinθ=0，

反之，如果α∥β，那么θ=0或θ=π，于是sinθ=0,從而|α×β|=0，即α×β=0.向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)：下面來(lái)推導(dǎo)向量積的坐標(biāo)表示式

向量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)α=x1i+y1j+z1k，β=x2i+y2j+z2k,

（x1i+y1j+z1k）（x2i+y2j+z2k）

向量積還可用三階行列式表示向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：解下面推導(dǎo)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積

定義3

設(shè)已知三個(gè)向量α、β和γ.如果先作兩個(gè)向量α和β的向量積α×β，把所得到的向量與第三個(gè)向量γ再作數(shù)量積(α×β)·γ，這樣得到的數(shù)量叫做三向量α、β、γ的混合積.記作(α，β，γ)或［αβγ］.

設(shè)α=x1i+y1j+z1k，

β=x2i+y2j+z2k,

γ=x3i+y3j+z3k,

因?yàn)樗?α，β，γ)=(α×β)·γ混合積的坐標(biāo)表達(dá)式（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說(shuō)明：(α，β，γ)=(α×β)·γ的絕對(duì)值表示以向量α、β、γ為棱的平行六面體的體積.

如果α、β、γ組成左手系，那么混合積的符號(hào)是負(fù)的.

如果向量α、β、γ組成右手系，那末混合積的符號(hào)是正的；ADBC

因?yàn)橐韵蛄喀?、β、γ為棱的平行六面體的底面積S在數(shù)值上等于|α×β|，它的高h(yuǎn)等于向量γ在向量f上的投影的絕對(duì)值，即h=|Prjfγ|=|γ||cosθ|，所以平行六面體的體積

V=Sh=|α×β||γ||cosθ|=|(α，β，γ)|.(2)混合積具有輪換對(duì)稱性

［αβγ］（3）三向量共面的充要條件是證若α、β、γ共面，當(dāng)α∥β時(shí)，α×β=0，自然有α×β)·γ=0；因而α×β⊥γ，仍有(α×β)·γ=0.反之，若(α，β，γ)=0，當(dāng)α×β=0時(shí)，有α∥β，故α、β、γ共面；，有α×β⊥γ，當(dāng)α∥β時(shí)，α×β垂直于α，β所在的平面，當(dāng)α×β≠0時(shí)又因α×β亦垂直于α及β，從而α、β、γ共面.(5)(α,β,γ+mα)=(α,β,γ)由混合積的定義可得下列性質(zhì)：(1)(α，α，γ)=0；(2)(α，β，γ)=-(β，α，γ)；(3)((α1+α2)，β，γ)=(α1,β,γ)+(α2