人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【課件】

第五章

5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求在利用導(dǎo)數(shù)的定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)012x2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝____________f(x)＝sinxf′(x)＝______________f(x)＝cosxf′(x)＝______________f(x)＝axf′(x)＝______________

(a>0)f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logaxf′(x)＝_______(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝_______0αxα－1cosx－sinxaxlnaex點(diǎn)睛(1)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式中，一要注意名稱(chēng)的改變，二要注意符號(hào)的變換.可用口訣記憶：正弦求導(dǎo)數(shù)，弦變符不變；余弦求導(dǎo)數(shù)，弦變符也變.(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)時(shí)，一定要看清原函數(shù)的形式.只有當(dāng)函數(shù)符合上述形式時(shí)，才能用導(dǎo)數(shù)公式表求導(dǎo).

1.思考辨析，判斷正誤(1)若f(x)＝0，則f′(x)＝0.(

)√×√(4)若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xlog4e.(

)×提示

若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xln4.2.已知f(x)＝x2，則f′(3)等于(

) A.0 B.2x

C.6 D.9C解析

∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.D4.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿(mǎn)足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為_(kāi)_______.1解析

f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解

(1)y′＝0；求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁瑣；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問(wèn)題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.思維升華【訓(xùn)練1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(3)y′＝(sinx)′＝cosx；題型二利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線(xiàn)問(wèn)題A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4B角度2求參數(shù)值【例3】

已知y＝kx是曲線(xiàn)y＝lnx的一條切線(xiàn)，則k＝________.角度3曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離問(wèn)題【例4】

設(shè)P是曲線(xiàn)y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝x的最小距離.解如圖，設(shè)l是與直線(xiàn)y＝x平行，且與曲線(xiàn)y＝ex相切的直線(xiàn)，則切點(diǎn)到直線(xiàn)y＝x的距離最小.設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y＝ex相切于點(diǎn)P(x0，y0).因?yàn)閥′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線(xiàn)問(wèn)題的兩種情況(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率公式進(jìn)行求解.思維升華解

設(shè)所求切線(xiàn)的斜率為k.(2)求曲線(xiàn)y＝lnx的斜率等于4的切線(xiàn)方程.解

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0).即4x－y－1－ln4＝0.【例5】某城市近10年間房?jī)r(jià)年均上漲率為10%，房?jī)r(jià)p(單位：萬(wàn)元)與時(shí)間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個(gè)年頭，房?jī)r(jià)上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬(wàn)元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)題型三導(dǎo)數(shù)公式的實(shí)際應(yīng)用解

由題意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬(wàn)元/年)，所以在第5個(gè)年頭，該市房?jī)r(jià)上漲的速度大約是0.15萬(wàn)元/年.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率，所以求某個(gè)量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).思維升華【訓(xùn)練3】

從時(shí)刻t＝0開(kāi)始的t(s)內(nèi)，通過(guò)某導(dǎo)體的電量(單位：庫(kù)侖)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒時(shí)的電流強(qiáng)度(單位：安).解

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒時(shí)的電流強(qiáng)度分別是－sin5安，－sin7安.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題C1.函數(shù)y＝3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為(

)A.9 B.6 C.9ln3 D.6ln3解析

y′＝(3x)′＝3xln3，故所求導(dǎo)數(shù)為9ln3.2.(多選題)下列結(jié)論中，正確的是(

)ACD解析

由(xn)′＝nxn－1知，選項(xiàng)D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴選項(xiàng)A，C，D正確.3.設(shè)正弦曲線(xiàn)y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線(xiàn)為直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l的傾斜角α的范圍是(

)A解析

∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤tanα≤1，又∵α∈[0，π)，4.函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線(xiàn)有(

) A.1條

B.2條 C.3條

D.不確定B5.若曲線(xiàn)y＝x4的一條切線(xiàn)l與直線(xiàn)x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為(

) A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0A解析

由題意，知切線(xiàn)l的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0).∵y′＝4x3，∴k＝4＝4，解得x0＝1，∴切點(diǎn)為(1，1)，∴l(xiāng)的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.17.若y＝10x，則y′|x＝1＝________.10ln10解析

y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.8.曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_(kāi)_______.解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)斜率為k＝e2，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1.三、解答題9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：10.已知兩條曲線(xiàn)y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在這兩條曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，使得在這一點(diǎn)處，兩條曲線(xiàn)的切線(xiàn)互相垂直？并說(shuō)明理由.解

不存在，理由如下：因?yàn)閥1＝sinx，y2＝cosx，所以y1′＝cosx，y2′＝－sinx.設(shè)兩條曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)P(x0，y0)，則兩條曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若兩條切線(xiàn)互相垂直，則cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，所以sin2x0＝2，顯然不成立，所以這兩條曲線(xiàn)不存在這樣的公共點(diǎn)，使得在這一點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)互相垂直.11.設(shè)f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2021(x)＝(

) A.sinx B.－sinx

C.cosx D.－cosxB解析根據(jù)題意，f0(x)＝cosx，則f1(x)＝f0′(x)＝－sinx，f2(x)＝f1′(x)＝－cosx，f3(x)＝f2′(x)＝sinx，f4(x)＝f3′(x)＝cosx，…，