人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊5.3.1.1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(一)【同步教學課件】

第五章5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 5.3.1函數(shù)的單調(diào)性

第一課時導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(一)1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.3.對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.課標要求素養(yǎng)要求通過利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象對其加以理解，發(fā)展學生數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內(nèi)容索引課前預習知識探究1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系：導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞____f′(x)<0單調(diào)遞____f′(x)＝0常函數(shù)增減(2)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)有如下關(guān)系：函數(shù)的單調(diào)性導數(shù)單調(diào)遞____f′(x)≥0單調(diào)遞____f′(x)≤0常函數(shù)f′(x)＝0增減1.思考辨析，判斷正誤×(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減.()(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)提示

反例：f(x)＝x3，x∈(－1，1)，當x＝0時，f′(0)＝0.(3)函數(shù)y＝x3＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).(

)(4)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大.(

)×√√2.函數(shù)f(x)＝2x＋cosx在(－∞，＋∞)上(

) A.是增函數(shù)

B.是減函數(shù) C.單調(diào)性不確定

D.是奇函數(shù)A解析

∵f′(x)＝2－sinx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù).3.函數(shù)f(x)＝3＋x·lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)C解析

f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)，(3，＋∞).(－∞，－1)，(3，＋∞)課堂互動題型剖析2題型一函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關(guān)系【例1】

(1)已知f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的(

)解析

由題意可知，當x<0和x>2時，導函數(shù)f′(x)<0，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；當x∈(0，2)時，導函數(shù)f′(x)>0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)的圖象如圖D.D(2)已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則滿足f′(x)<f(x)的x的取值范圍為(

)D函數(shù)圖象的單調(diào)性可以通過導數(shù)的正負來分析判斷，即符號為正，圖象上升；符號為負，圖象下降.看導函數(shù)圖象時，主要是看圖象在x軸上方還是下方，即關(guān)心導數(shù)值的正負，而不是其單調(diào)性.解決問題時，一定要分清是函數(shù)圖象還是其導函數(shù)圖象.思維升華【訓練1】

在同一坐標系中作出三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其導函數(shù)的圖象，下列一定不正確的序號是(

)A.①② B.①③

C.③④ D.①④解析

當f′(x)>0時，y＝f(x)是遞增的；當f′(x)<0時，y＝f(x)是遞減的.故可得，①②中函數(shù)圖象的增減趨勢與導函數(shù)的正負區(qū)間是吻合的；而③中導函數(shù)為負的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯誤；④中導函數(shù)為負的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯誤.C【例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型二不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解

f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠1}，求不含參數(shù)函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域.(2)求導數(shù)y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù).(4)解不等式f′(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為減函數(shù).思維升華【訓練2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π).解

(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)<0解得

－3<x<2.故f(x)的增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；減區(qū)間是(－3，2).(2)f′(x)＝cosx－1.因為0<x<π，所以cosx－1<0恒成立，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，π).題型三含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解

函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).綜上所述，當a≥0時，f(x)在(0，1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).利用導數(shù)研究含參函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)分析參數(shù)對區(qū)間端點、最高次項的系數(shù)的影響，以及不等式解集的端點與定義域的關(guān)系，恰當確定參數(shù)的不同范圍，并進行分類討論；(4)在不同的參數(shù)范圍內(nèi)，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.思維升華①當a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.1.導數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，導數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點附近變化的快慢程度.2.求可導函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的2種方法 (1)解不等式法.步驟如下：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，并寫出解集；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)列表法.步驟如下：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0；④列表；⑤得出結(jié)論.3.重視1個易錯點

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常常忽略定義域致誤.

課堂小結(jié)分層訓練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.函數(shù)f(x)＝cosx－x在(0，π)上的單調(diào)性是(

)DA.先增后減

B.先減后增C.單調(diào)遞增

D.單調(diào)遞減解析

易知f′(x)＝－sinx－1，x∈(0，π)，∴f′(x)<0，則f(x)＝cosx－x在(0，π)上單調(diào)遞減.2.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(

)D解析

由函數(shù)y＝f(x)的圖象，知當x<0時，f(x)單調(diào)遞減；當x>0時，f(x)先遞增，再遞減，最后再遞增，分析知y＝f′(x)的圖象可能為D.3.已知函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象可能是(

)B解析

由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1，0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0，1)上增長速度越來越慢，故選B.4.函數(shù)f(x)＝lnx－4x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A5.(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)y＝f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(

)ABDA.f(b)>f(a) B.f(d)>f(e) C.f(a)>f(d)

D.f(c)>f(e)解析

由題圖可得，當x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f′(x)>0，當x∈(c，e)時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函數(shù)，在(c，e)上是減函數(shù)，所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).二、填空題6.函數(shù)y＝x2－4x＋a的增區(qū)間為____________，減區(qū)間為____________.(2，＋∞)(－∞，2)解析

y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增區(qū)間為(2，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，2).(－1，1)8.函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2ln(2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________________.解析

f(x)的定義域是(0，＋∞)，三、解答題9.判斷函數(shù)f(x)＝2x(ex－1)－x2的單調(diào)性.解

函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).當x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0；當x∈(－1，0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減.∵曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.可知h(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，由h(1)＝0知，當0<x<1時，h(x)>h(1)＝0，從而f′(x)>0.當x>1時，h(x)<h(1)＝0，從而f′(x)<0.綜上可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞).11.(多選題)若函數(shù)exf(x)(e＝2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是(

) A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2 C.f(x)＝3－x

D.f(x)＝cosxAB解析

設(shè)g(x)＝ex·f(x)，對于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋