2024年中考數學復習：二次函數26題專項練習

26題二次函數專項

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1.如圖1,拋物線yn-Vd■—x+2與直線4：y=-一》一3交于點A,點A的橫坐標

22

為-1,直線與x軸的交點為。，將直線4向上平移后得到直線右，直線乙剛好經過拋物

線與x軸正半軸的交點3和與y軸的交點C.

(1)干脆寫出點A和點。的坐標，并求出點8的坐標；

(2)若點M是拋物線第一象限內的一個動點，連接。0,交直線4于點N,連接40和

AN.設ZWGV的面積為S,當S取得最大值時，求出此時點/的坐標及S的最大值；

(3)如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度從點。動身，沿射線08運動；同時，動

點。以每秒百個單位長度的速度從點C動身，沿射線CB運動，設運動時間為f(f>0).過

P點作軸，交拋物線于點H,當點P、。、H所組成的三角形是直角三角形時，

干脆寫出/的值.tV

圖2

3Q

2、如圖1,二次函數y=一］/+彳工+3的圖象與x軸分別交于A、8兩點，與y軸交于

點C,連接3C,AC。

(1)求線段A5的長和NABC的正切值；

(2)若點Q是該二次函數圖像位于線段AC右上方部分的一點，且AQAC的面積為AAOC

...3

面積的一，求點。的坐標;

4

(3)如圖2,。是線段BC上一動點，連接AD,過點。作DE，x軸于點E,作小，AC

所在直線于點取AD的中點P,連接尸E、PF,

①請問點。在線段5c上的運動過程中，NEPF的大小是否變更？說明理由；

3、如圖，矩形OABC的邊OA、°C分別在x、y,軸的正半軸上，且。4=1,℃=2,

,3

y-2ax+bx--

以。為直角頂點作RfACOD,0°=3,已知二次函數2的圖象過。、B

兩點.

(1)求二次函數的解析式；

⑵如圖1,連接在3Q下方的拋物線是否存在點M。使得四邊形8CDM的面積S最

大?若存在，懇求出S的最大值及點"的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,E為射線上的一點，過E作軸于點H,點尸為拋物線對稱軸上一

點，且在工軸上方。點。在其次象限的拋物線上，是否存在尸、°使得以尸、°、。為頂

點的三角形與ADEH全等?若存在，請干脆寫出點。的坐標，假如不存在，請說明理由.

4、如圖1,拋物線y^ax2+bx-3交x軸于B、C兩點，且B的坐標為(-2,0),直線y=twc+n

過點B和拋物線上另一點4(4,3)

(1)求拋物線和直線的解析式；

(2)若點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，過P作PQ〃尤軸。且PQ=4(點

Q在點P右側)，以PQ為一邊作矩形PQEF,且點E在直線AB上。求矩形PQEF周長的最

大值，并求出此時點P的坐標；

(3)如圖2,在(2)的結論下，連接AP、BP,設QE交x軸于點D,現將矩形PQEF沿射線

DB以每秒1個單位長度的速度平移，當點D到達點B時停止。記平移時間為t,平移后的

矩形PQEF為且Q，E，分別交直線AB、x軸于N、DS設矩形與4ABP

的重疊部分面積為s,當NA=^ND'時,求s的值.

8

圖1

圖2

5、如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線)=_32/+氐+36交X軸于A,B兩點(點

4

A在點B的左側)，交y軸于點W,頂點為C,拋物線的對稱軸與x軸的交點為D。

(1)求直線BC的解析式。

(2)點E(m,0),F(m+2,0)為x軸上兩點，其中(2＜根＜4),EE',EE'分別垂

直于x軸，交拋物線與點E',F',交BC于點M,N,當ME'+Nk的值最大時，在了軸

上找一點R,使得值最大，懇求出R點的坐標及的最大值。

(3)如圖2,已知x軸上一點現以點P為頂點，2石為邊長在1軸上方作等邊

三角形QPC,使GP，x軸，現將沿PA方向以每秒1個單位長度的速度平移，當點

P到達點A時停止，記平移后的aaPG為AQ'P'G',設AQ'PG'與4ADC的重疊部分面積

為s,當點Q'到％軸的距離與點到直線AW的距離相等時，求s的值。

6.如圖(1),已知拋物線y=ax?+bx+5與x軸交于A、B(點A在點B的左側)兩點，與y

軸交于點C,已知點A的橫坐標為-5,且點D(-2,-3)在此拋物線的對稱軸上.

(1)求a、b的值；

(2)若在直線AC上方的拋物線上存在點M,使點M到x軸的距離與M到直線AC的距

離之比為&返，試求出點M的坐標；

3

(3)如圖(2),過點B做BKLx軸交直線AC于點K,連接DK、AD,點H是DK的中

點，點G是線段AK上隨意一點，將△DGH沿邊GH翻折得△DGH,當KG為何值時，△

7.如圖，拋物線y=—x?+2x+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點D,C關于拋

物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸相交于點E.

(1)求直線AD的解析式；

(2)如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點F,過點F作FGLAD于點G,作FH平行

于x軸交直線AD于點H,求△FGH周長的最大值；

(3)如圖2,點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一動點，點Q是坐標平面內一點，四邊

形APQM是以PM為對角線的平行四邊形，點Q，與點Q關于直線AM對稱，連接MQ，，P

Q(.當APMQ，與0ApQM重合部分的面積是0ApQM面積的〃時，求2APQM面積.

圖1圖2備用圖

8.如圖，拋物線y=+bx+c與％軸交于點A(-5,0),3(1,0),直線/:y=3尤+3與y軸

4

交于點C,與X軸交于點D.

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點尸是x軸上方拋物線上對稱軸左側一動點,過點尸分別作PE〃尤軸交拋物線于點E,

作PFL交于點R若PF=EP,求點P的坐標；

⑶如圖，級拋物線頂點為G點，連接CG、DG,設拋物線對稱軸與直線CZX無軸的交點

為N、Q,以AQ、NQ為邊作矩形AQVM.現將矩形AQM1沿直線G。平移得到矩形,

設矩形A'Q'N'M'與△COG的重疊部分面積為T,當3sAi時，求T的值.

9.如圖1,拋物線y=af+6x+4交x軸于A、8兩點(點A在點8的左側),交y于點C,

連接AC、BC,其中CO=3O=2AO.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為直線3c上方的拋物線上一點，過點。作EAC交3c于E,作QNLx軸于N,

交BC于M,當AEMQ的周長L最大時，求點。的坐標及乙的最大值；

(3)如圖2,在(2)的結論下，連接AQ分別交3c于交0C于G,四邊形從尸起

先沿射線尸C平移，同時點尸從C起先沿折線CO-運動，且點P的運動速度為四邊

形3OGF平移速度的0倍，當點尸到達點8時四邊形BOGF停止運動，設四邊形

BOG產平移過程中對應的圖形為4QG①，當AP尸耳為等腰三角形時，求耳尸長度.

如圖1如圖2備用圖

1,

10、(12分)二次函數丁=一5好一3工+8的圖像與x軸交于A、B兩點(點A在B的

左側)，與y軸交于點C,此拋物線的頂點為點D,對稱軸交x軸于點E,如圖①。

(1)求AC的解析式和拋物線的頂點D的坐標。

(2)點F是拋物線上直線AC上方的一點，求：當AACF的面積最大時，點F的坐標，

并求出AACF的最大面積。

(3)如圖②，點H的坐標是(0,6)連接EH和BH,將AEBH沿直線EH翻折，點B的

對應點為點G,作直線CG,在直線CG上是否存在一點M,使得AEHM是直角三角形？若存在，

干脆寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由。

圖①圖②備用圖

11.已知如圖：拋物線y=-1^2+2*+>|與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側)，與

y軸交于點C,點D為拋物線的頂點，過點D的對稱軸交x軸于點E.

(1)如圖1,連接BD,試求出直線BD的解析式；

(2)如圖2,點P為拋物線第一象限上一動點，連接BP,CP,AC,當四邊形PBAC的面

積最大時，線段CP交BD于點F,求此時DF：BF的值；

(3)如圖3,已知點K(0,-2),連接BK,將ABOK沿著y軸上下平移(包括ABOK),

在平移的過程中直線BK交x軸于點M,交y軸于點N,則在拋物線的對稱軸上是否存在點

G,使得AGMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請干脆寫出點G的坐標；

若不存在，請說明理由.

圖1

圖2圖3

]2A/3

12.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=--x2+――x+3與x軸交于A、B兩

OO

點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,拋物線的頂點為點E.

(1)推斷AABC的形態(tài)，并說明理由；

(2)經過B、C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一

動點，當4PCD的面積最大時，點Q從點P動身，先沿適當的路徑運動到拋物線的對稱軸

上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y軸上的點N處，最終沿適當的路徑運

動到點A處停止.點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經過的最短路徑的長；

(3)如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為

點￡/,點A的對應點為4.將△AOC繞點O順時針旋轉至的位置，點A、C的對

應點分別為點4、6,且點4,恰好落在AC上，連接q//、次是否能為等

腰三角形？若能，懇求出全部符合條件的點》的坐標；若不能，請說明理由.

2b般圖I

26?#r用圖

13.(12分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線丁=一3爐+2》+*,分別交x軸

1644

于A與B點，交y軸交于C點，頂點為D,連接AD。

(1)如圖1,P是拋物線的對稱軸上的一點，當AP1AD時，求P的坐標。

(2)在(1)的條件下，在直線AP上方、對稱軸右側的拋物線上找一點Q,過Q作

QH1x軸，交直線AP于H,過Q作QEP”交對稱軸于E,當QHPE周長最大時,在拋

物線的對稱軸上找一點M,使|加-最大，并求這個最大值及此時M點的坐標。

(3)如圖2：連接把/ZM郵x軸平移到4X45,在平移過程中把/D'A?繞A旋轉，

使/ONE的一邊始終經過。點，另一邊交直線DB于R,是否存在這樣的R點,使ADR4'

為等腰三角形，若存在，求出BR的長；若不存在，說明理由。

（備用圖）

14.如圖1,在平面直角坐標系中，0為坐標原點，拋物線y=ax?+bx+c（a

25

WO）的頂點為（-3,——），與x軸交于A,B兩點（點A在點B的右側）與y軸交于點C,

4

D為BO的中點，直線DC解析式為丫=1?+4（kWO）。

⑴求拋物線的解析式和直線CD的解析式

⑵點P是拋物線其次象限部分上使得APDC面積最大的一點，點E為DO的中點，F

是線段DC上隨意一點（不含端點），連接EF,一動點M從點E動身沿線段EF以每秒

1個單位長度的速度運動到F點，在沿線段FC以每秒行個單位長度的速度運動到

C點停止，當點M在整個運動中用時最少為t秒時，求線段PF的長及t值。

⑶如圖2,直線DN:y=mx+2(mW0)經過點D,交y軸于點N,點R是已知拋物線上一

動點，過點R作直線DN的垂線RH,垂足為H,直線RH交x軸與點Q,當NDRH=NACO

時，求點Q的坐標。

15、已知拋物線y=-—4省與x軸交點A、B,與y軸交于點C,拋物線的頂

點為。，點F(0,26)是y軸正半軸上一點，

(1)點E是線段8C上一點，連接EB、FE,若△五砂的面積為6石，求點E的坐標；

(2)點M是拋物線CO之間一動點，求四邊形8DMC面積的最大值及此時點M的坐標；

(3)在(1)的條件下，假設P為y軸上一動點，將△尸8E沿直線PE翻折得到當

△08R為等腰三角形時，求P點的坐標。

16、如圖，已知拋物線+6x+3(a*0)與無軸交于點A(-1,O),點8(3,0),與y軸交

于點C,頂點為。，連接3C。

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)如圖1,點E,尸為線段3C上的兩個動點，旦EF=2叵,過點E,歹作y軸的平行線EM,

FN,分別與拋物線交于點M,N,連接MN,設四邊形ERVM面積為S,求S的最大值和

此時點M的坐標；

(3)如圖2,連接如，點「為如的中點，點。是線段3C上的一個動點，連接。。,「。，

當AD'P。與ABCD重疊部分的面積是AB。。面積的工

將\DPQ沿PQ翻折得到AD/Q,

4

17.如圖1,拋物線y=qx2-]X+6與X軸交于A、B兩點(點A在B的左側)，交y軸交

于點C,點D是線段AC的中點，直線BD與拋物線y=-(x2-]x+6交于另一點E,交y

軸交于點Fo

(1)求直線BE的解析式；

(2)如圖2,點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD、PF,當4PDF的面積最大時，

在線段BE上找一點G(不與E、B重合)，使得PG-三GE的值最小，求出點G的坐標及PG-

5

31

三GE的最小值；

5

（3）如圖3,將AOBF繞點B順時針旋轉口度（0°＜夕＜180°）,記旋轉過程中的AOBF

為△O|BF「直線與x軸交于點M,與直線BE交于點N。在AOBF旋轉過程中，是

否存在一個合適的位置，使得ANINB是一個等腰三角形？若存在，請干脆寫出全部符合條

件的點N的坐標；若不存在，請說明理由。

18.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A

在點B的左邊），與y軸交于點C,點A、C的坐標分別為（-1,0）,（0,-3）,直線

x=l為拋物線的對稱軸.點D為拋物線的頂點，直線BC與對稱軸相較于點E.

（1）求拋物線的解析式并干脆寫出點D的坐標；

（2）點P為直線x=l右方拋物線上的一點（點P不與點B重合）.記A、B、C、P四點所

構成的四邊形面積為S,若5卷刖，求點P的坐標；

(3)點Q是線段BD上的動點，將ADEQ延邊EQ翻折得到△D，EQ,是否存在點Q使得

△DEQ與ABEQ的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，懇求出BQ的長，若不存在，請

說明理由.

_4,8

19、在直角坐標系xoy中，拋物線丁=-1廠+耳％+4與x軸交于兩點，與y軸交于

點C連接ACIC。

(1)求NACO的正弦值。

(2)如圖1,。為第一象限內拋物線上一點，記點。橫坐標為機，作DEIIAC交BC千

點及?！ā▂軸交于5。于點//,請用含機的代數式表示線段的長，并求出當

CH:BH=2:1時線段DE的長。

(3)如圖2,P為x軸上一動點(P不與點A、