湖南省永州市第八中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年8月永州八中初升高入學(xué)考試試卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:120分）注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)寫在本試卷上無效.3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷一選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1.2024的相反數(shù)是（）A. B. C. D.2024【答案】C【解析】【分析】利用相反數(shù)的意義求解即得.【詳解】2024的相反數(shù)是.故選：C2.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義易得.【詳解】根據(jù)軸對(duì)稱的定義，易判斷A,B,C中的圖形都不能關(guān)于某條直線對(duì)稱，而D項(xiàng)圖形顯然有一條對(duì)稱軸，如圖.故選：D.3.2023年全國糧食播種面積17.85億畝，比上年增加954.6萬畝，增長0.5%.將數(shù)17.85億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的要求，將數(shù)寫成的形式即可.【詳解】因17.85億.故選：B.4.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪的運(yùn)算法則和乘法公式，逐一判斷即得.【詳解】對(duì)于A，利用同底數(shù)冪的除法法則易得，，故A正確；對(duì)于B，由同底數(shù)冪的乘法法則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由冪的乘方法則，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.如圖，DE是∠BDC的平分線，若，，則∠2=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)以及平行線被第三條直線所截得同位角相等的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)镈E是∠BDC的平分線，故，由，，得，故，則，又，故，故選：D6.如圖，在△ABC中，，以A為圓心，任意長為半輕畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO，交BC于點(diǎn)E.已如，的面積為（）A.6 B.9 C.12 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知平分，作于F點(diǎn)，結(jié)合，則，又，故的面積為，故選：B7.古語有言“逸一時(shí)，誤一世”，其意是教導(dǎo)我們青少年要珍惜時(shí)光切勿浪費(fèi)時(shí)間，浪費(fèi)青春，其數(shù)字諧音為1，1，4，5，1，4，有關(guān)這一組數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.中位數(shù)為1B.從1，1，4，5，1，4中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，取得奇數(shù)的可能性比較大C.眾數(shù)是1D.平均數(shù)為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)定義求解即得，對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)中奇數(shù)所占的比例易得.【詳解】對(duì)于A，將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序?yàn)椋?，則中位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因1，1，4，5，1，4中有4個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，故從中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，取得奇數(shù)的可能性比較大，B正確；對(duì)于C，因在1，1，4，5，1，4中，1出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，故眾數(shù)為1，故C正確；對(duì)于D，在1，1，4，5，1，4中，平均數(shù)為，故D正確.故選：A.8.今年2月，某班準(zhǔn)備從《在希望的田野上》《我和我的祖國》《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進(jìn)行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時(shí)代，筑夢(mèng)新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（）A. B. C.23 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算，即可求得答案.【詳解】從三首歌曲中選擇兩首進(jìn)行排練，共有《在希望的田野上》《我和我的祖國》，《在希望的田野上》《十送紅軍》以及《我和我的祖國》《十送紅軍》3種情況，恰好選中前面兩首歌曲的情況只有一種，故恰好選中前面兩首歌曲的概率是，故選：B9.如圖，在矩形中，.對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，垂足為，，則的長為（）A. B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)和矩形的性質(zhì)推出是等邊三角形，得到，在中即可求得的長.【詳解】∵，∴，∵四邊形是矩形，，∴，又∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴.故選：D.10.若三條長度分別為的線段能構(gòu)成三角形，我們就把稱為三角數(shù)組，已知是三角數(shù)組，則下列說法正確的是（）①一定是三角數(shù)組；②不一定是三角數(shù)組；③一定是三角數(shù)組；④不一定是三角數(shù)組；A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】由三角數(shù)組的定義逐個(gè)判斷求解即可.【詳解】∵是三角數(shù)組，

∴可設(shè)，且，∴∵∴∴一定是三角數(shù)組，故①正確，②錯(cuò)誤；

令，則即是三角數(shù)組，

∵，

∴不是三角數(shù)組，

∴是三角數(shù)組時(shí)，不一定是三角數(shù)組，故③錯(cuò)誤，④正確．

故選：B第II卷二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】由偶次根式的被開方數(shù)大于等于0，解不等式即得.【詳解】要使式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，需使，即x的取值范圍是.故答案為：.12.分解因式：___________.【答案】【解析】【分析】提取公因式利用平方差公式分解因式即可.詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的方法,屬于基礎(chǔ)題.13.不等式組的解集是__________【答案】【解析】【分析】分別解出和的解集，即可求得答案.【詳解】解，得；解，得，故不等式組的解集是，故答案為：14.若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是_________.【答案】1【解析】【分析】將整理為，其有增根，代入可得.【詳解】由得，即由題意可知方程的根為，代入可得，即，故答案為：115.設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_________【答案】2023【解析】【分析】利用一元二次方程的根的定義和韋達(dá)定理化簡計(jì)算即得.【詳解】因是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有，即，由韋達(dá)定理得，，則.故答案為：2023.16.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，⊙O是ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則的值是_______【答案】【解析】【分析】利用圓周角定理和勾股定理求解即可.【詳解】如圖，連接BO并延長交⊙O于D，則BD為直徑，由圓周角定理得：，由勾股定理可得：.故答案為：17.如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對(duì)角線的交點(diǎn)P，已知點(diǎn)A，C，D在坐標(biāo)軸上，，的面積為16，則____【答案】-【解析】【分析】過點(diǎn)P做軸于點(diǎn)E．利用矩形性質(zhì)推出四邊形為矩形，面積為8，結(jié)合點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，即可得答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)P做軸于點(diǎn)E．∵四邊形為平行四邊形，∴，則軸，故,又∵軸，∴為矩形，∴，∴，∵P為平行四邊形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，則P為的中點(diǎn)，而軸，則E為AO的中點(diǎn)，∴四邊形為矩形，面積為8，即，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，P在反比例函數(shù)的圖象上，故．故答案為：-18.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》:“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”.觀察下列勾股數(shù):3，4，5；5，12，13；7，24，25；....這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是:勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如:6，8，10；8，15，17；...若此類勾股數(shù)的勾為10，則其弦是_______________【答案】26【解析】【分析】依題意，設(shè)股為，由勾股定理得到方程，求解即得.【詳解】依題意，當(dāng)勾股數(shù)的勾為10時(shí)，設(shè)股為，則弦為，由勾股定理，，解得，，則其弦為26.故答案為：26.三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）19.計(jì)算:【答案】2【解析】【分析】利用絕對(duì)值定義，特殊角的三角函數(shù)值和冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】==220.先化簡，后計(jì)算:，其中a是滿足條件的合適的非負(fù)整數(shù).【答案】；【解析】【分析】利用分式的加減乘除運(yùn)算，結(jié)合乘法公式化簡得所求式為，再根據(jù)所求式有意義推得，代入計(jì)算即得.【詳解】由題意可得：因?yàn)榍?，又因?yàn)閍是滿足條件的合適的非負(fù)整數(shù).故，而此時(shí)原式等于.21.如圖1是某商場(chǎng)的入口，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，如圖2是它的示意圖，點(diǎn)在同一水平線上，經(jīng)過測(cè)量，支架的立柱與地面垂直（），米，支撐桿于點(diǎn)，且，從點(diǎn)B觀測(cè)點(diǎn)D的仰角為45°，又測(cè)得米.（1）求該支架的邊的長；（2）求支架的邊的頂端點(diǎn)D到地面的距離（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）10米；（2）米．【解析】【分析】（1）在直角三角形中，利用三角函數(shù)的定義即可計(jì)算求得；（2）先在中求出長，再由矩形得到長，合并即得的長.【小問1詳解】∵，∴是直角三角形，在中，∵，∴，即該支架的邊的長為10米；【小問2詳解】由題意可得，，在中，且，由可得,解得：，在矩形中，，∴米．22.4月22日是“世界地球日”，某校為調(diào)查學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試成績進(jìn)行整理后分成五組，并繪制成如下的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（1），補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“”這組的扇形圓心角為（3）若成績達(dá)到80分以上為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)全校1200名學(xué)生對(duì)“世界地球日”相關(guān)知識(shí)了解情況為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).【答案】（1）50，答案見解析（2）72（3）672（名）【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形圖和頻數(shù)分布直方圖中相關(guān)數(shù)據(jù)占比求出和90～100的學(xué)生數(shù)，即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）由“”這組的頻數(shù)所占的比率乘以即得；（3）由頻數(shù)分布直方圖求出80分以上所占的比率乘以1200即得.【小問1詳解】本次調(diào)查共抽測(cè)了名學(xué)生，即,90～100的學(xué)生有：（人），補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示：【小問2詳解】““這一組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是；【小問3詳解】估計(jì)全校1200名學(xué)生對(duì)“世界地球日”相關(guān)知識(shí)了解情況為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為名．23.為了培育“一鎮(zhèn)一特，一村一品”，加快農(nóng)民脫貧致富步伐.近年來，長沙某鎮(zhèn)依托地域優(yōu)勢(shì)創(chuàng)辦了優(yōu)質(zhì)葡萄種植基地，該基地對(duì)外銷售種植的A，B兩種不同品種的葡萄，A品種葡萄每千克的售價(jià)比B品種葡萄每千克的售價(jià)的2倍少4元，3千克A品種葡萄比4千克B品種葡萄多賣4元.（1）問葡萄種植基地銷售A，B兩種葡萄每千克的售價(jià)各是多少元?（2）某超市計(jì)劃從葡萄種植基地購進(jìn)400千克葡萄，其中A品種葡萄不少于80千克，且總費(fèi)用不超過3600元，超市對(duì)購進(jìn)的葡萄進(jìn)行包裝銷售（如下表），全部包裝銷售完，當(dāng)包裝A品種葡萄多少包時(shí)，所獲總利潤最大?最大總利潤為多少元?葡萄品種A品種B品種每包中葡萄重量（千克）12售價(jià)（元/包）1820每個(gè)包裝盒的成本（元）32【答案】（1）12元，8元；（2）100包，最大總利潤為600元【解析】【分析】（1）設(shè)葡萄種植基地銷售的A，B兩種葡萄每千克的售價(jià)各是x元，y元，根據(jù)“A品種葡萄每千克的售價(jià)比B品種葡萄每千克的售價(jià)的2倍少4元，3千克A品種葡萄比4千克B品種葡萄多賣4元．”列方程組并解方程組即可；（2）設(shè)包裝A品種葡萄m包，則包裝B品種葡萄包，設(shè)總利潤為w元，列不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】設(shè)葡萄種植基地銷售的A，B兩種葡萄每千克的售價(jià)各是x元，y元，根據(jù)題意，得，解得答：A，B兩種葡萄每千克的售價(jià)各是12元，8元；【小問2詳解】設(shè)包裝A品種葡萄m包，則包裝B品種葡萄包，設(shè)總利潤為w元?jiǎng)t解得，總利潤∵，∴w隨著m的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，得到最大值，∴當(dāng)包裝A品種葡萄100包時(shí)，所獲總利潤最大，最大總利潤為元24.如圖，已知的內(nèi)接銳角三角形中，所對(duì)的邊分別記作.（1）如圖①，若在直徑的延長線上取一點(diǎn)，使，求證:是的切線；（2）如圖①，在（1）的條件下，若，，求的長度;（3）如圖②，若設(shè)的半徑為，求證：.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】(1)利用直徑所對(duì)圓周角是,利用三角形相似,結(jié)合角之間得關(guān)系可得,可證是的切線.(2)利用三角形相似得到邊長之間的關(guān)系,在中，由勾股定理可得滿足的關(guān)系,解方程即可得的長度.(3)過圓心作直徑,利用直徑所對(duì)圓周角是,同弧所對(duì)圓周角相等,根據(jù)直角三角形中正弦的定義,即可證明.【小問1詳解】如圖，連接,是直徑，，，，，即，，，即，是半徑，是的切線.【小問2詳解】設(shè)，則，，，即，解得，（舍去），，，在中，由勾股定理得，即，解得（舍去），得長度為；【小問3詳解】如圖，連接并延長交于，連接，則，，，，即，連接并延長交于，連接，則，同理可得，即，連接并延長交于，連接，則，同理可得，即，.25.定義:有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形稱為“等補(bǔ)四邊形”.（1）下列選項(xiàng)中一定是“等補(bǔ)四邊形”的是A.平行四邊形 B.矩形 C.正方形 D.菱形（2）如圖1，在邊長為a的正方形ABCD中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（E不與C、D重合），交于點(diǎn)F，過F作交于點(diǎn)H.①試判斷四邊形是否為“等補(bǔ)四邊形"并說明理由；②如圖2，連接，求的周長;③若四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，求的長，【答案】（1）C（2）①四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，理由見解析；②2a；③或【解析】【分析】（1）根據(jù)“等補(bǔ)四邊形”的規(guī)定，易得正方形為“等補(bǔ)四邊形”；（2）①通過證明得到，再利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)得到，從而證得，即得，說明四邊形AFHB是否為“等補(bǔ)四邊形”；②通過圖形旋轉(zhuǎn)證明，將轉(zhuǎn)化成，從而可求出的周長；③由四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，分成四種情況，結(jié)合圖形分別求解即可.【小問1詳解】在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)，故正方形是等補(bǔ)四邊形，故選：C；【小問2詳解】①四邊形AFHB是否為“等補(bǔ)四邊形”，理由如下：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又因，則，故，∴，又，故；②如圖，連接，由①知，為等腰直角三角形，則，將圍繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)H對(duì)應(yīng)點(diǎn)L，則，則，∵，∴，∴，則的周長為；③若四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，因，則存在四種情況.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由（1）知，，則，則為等邊三角形，如圖,則，則，在中，,則；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，而，∴為等邊三角形，故該情況與的情況相同；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由②知，的周長為2a，設(shè)，則，則，解得：；（Ⅳ）當(dāng)時(shí)，則，而當(dāng)點(diǎn)F是的中點(diǎn)時(shí)，才存在，故這種情況不存在.綜上，的長度為：或.26.我們定義:對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果自變量x與函