人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第02講 勾股定理逆定理（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型+習(xí)題鞏固）（原卷版）

第02講勾股定理逆定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①勾股定理逆定理②勾股數(shù)③勾股定理的應(yīng)用掌握勾股定理的逆定理內(nèi)容，并能夠熟練的運(yùn)用它來(lái)判斷直角三角形。掌握勾股數(shù)并能夠判斷勾股數(shù)。能夠在各類實(shí)際問(wèn)題中熟練應(yīng)用勾股定理。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理逆定理勾股定理逆定理內(nèi)容：在△ABC中，如果三角形的三邊分別是且滿足，則該三角形一定是有一個(gè)直角三角形且∠C是直角。勾股定理的逆定理用于判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形。直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一個(gè)角是90°。③三角形中有兩個(gè)角之和為90°?！炯磳W(xué)即練1】1．以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5【即學(xué)即練2】2．如圖，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）試說(shuō)明△ABC為直角三角形．（2）求CE的長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)勾股數(shù)的定義：滿足勾股定理：即的三個(gè)稱為勾股數(shù)。注意：①一定要滿足勾股定理；②一定要是正整數(shù)。常見(jiàn)的勾股數(shù)類型：基本勾股數(shù)：（3，4，5）（6，8，10）①倍數(shù)型勾股數(shù)：②奇數(shù)規(guī)律：滿足的三個(gè)正整數(shù)。（為奇數(shù)）③偶數(shù)規(guī)律：滿足的三個(gè)正整數(shù)。（為偶數(shù)）【即學(xué)即練1】3．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的應(yīng)用勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】4．2023年7月五號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來(lái)對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響）．如圖，線段BC是臺(tái)風(fēng)中心從C市移動(dòng)到B市的大致路線，A是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農(nóng)場(chǎng)A是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為20km/h，則臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？題型01判定直角三角形【典例1】已知a，b，c是△ABC的三邊，下列條件中，能夠判斷△ABC為直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B＝2∠C C．a(chǎn)：b：c＝2：2：3 D．【變式1】下列四條線段不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝17 B．a(chǎn)＝9，b＝12，c＝15 C．a(chǎn)＝，b＝，c＝ D．a(chǎn)：b：c＝2：3：4【變式2】△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C【變式3】若△ABC的三邊分別是a，b，c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6 D．a(chǎn)＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0）題型02勾股定理逆定理的應(yīng)用【典例1】若一個(gè)三角形的三邊分別是7，24，25，則它的面積是（）A．84 B．87.5 C．168 D．300【變式1】如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn)，則△BOC的BC邊上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，試問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，△ABP為直角三角形．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．題型03勾股數(shù)及其求值【典例1】下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．2，4，6 B．1，，2 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5【變式1】勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)，則下列各組數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41【變式2】給出下列四個(gè)說(shuō)法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，所以以0.3，0.4，0.5為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股數(shù)；③若a，b，c是勾股數(shù)，且c最大，則一定有a2+b2＝c2；④若三個(gè)整數(shù)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，則2a，2b，2c一定是勾股數(shù)，其中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【典例2】若3，a，5是一組勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．4 C．或4 D．2【變式1】若6，8，a是一組勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．10 C．或10 D．7【變式2】已知一組勾股數(shù)中的兩個(gè)數(shù)分別是3和4，那么第三個(gè)數(shù)是（）A．5 B．5或 C． D．7題型04勾股數(shù)的證明【典例1】（1）3k，4k，5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)．如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股數(shù)．（1）當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股數(shù)，說(shuō)明理由；（2）當(dāng)n是大于1的奇數(shù)時(shí)，若，x是勾股數(shù)，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）題型05勾股定理的實(shí)際應(yīng)用【典例1】如圖，從電線桿離地面6米處向地面拉一條10米長(zhǎng)的鋼纜，地面鋼纜固定點(diǎn)A到電線桿底部B的距離AB是（）米．A．6 B．7 C．8 D．9【變式1】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【變式2】勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推4m至C處時(shí)（即水平距離CD＝4m），踏板離地的垂直高度CF＝3m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長(zhǎng)是（）A．4m B．5m C．6m D．8m【變式3】圖1是某品牌嬰兒車(chē)，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測(cè)得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即∠ABD＝90°），通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該車(chē)是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【變式4】如圖，一架25m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)梯子的底部B到墻底端C的距離為7m．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑動(dòng)了8m至D，那么梯子的頂端A沿墻垂直也下滑了8m嗎？【變式5】某實(shí)踐探究小組在放風(fēng)箏時(shí)想測(cè)量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過(guò)勘測(cè)，得到如下記錄表：測(cè)量示意圖測(cè)量數(shù)據(jù)邊的長(zhǎng)度①測(cè)得水平距離BC的長(zhǎng)為15米．②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線AB的長(zhǎng)為17米．③小明牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.7米．?dāng)?shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析，他們發(fā)現(xiàn)根據(jù)勘測(cè)組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出風(fēng)箏離地面的垂直高度AD．請(qǐng)完成以下任務(wù)．（1）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求線段AD的長(zhǎng)．（2）如果小明想要風(fēng)箏沿DA方向再上升12米，BC長(zhǎng)度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？1．下列線段能組成直角三角形的一組是（）A．1，2，2 B．3，4，5 C．，2， D．5，6，72．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．6，8，10 D．32，42，523．下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．AB：BC：AC＝1：2： D．AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.54．若3、4、a為勾股數(shù)，則a的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或5．如圖1，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根12米處，圖2是這棵大樹(shù)折斷的示意圖，則這棵大樹(shù)在折斷之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米6．如圖，在四邊形ABCD中，，BC＝2，CD＝1，，且∠BCD＝90°，則四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．7．如圖，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是為hcm，則h的取值范圍是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤138．如圖，為了測(cè)量池塘的寬度DE，在池塘周?chē)钠降厣线x擇了A，B，C三點(diǎn)，且A，D，E，C四點(diǎn)在同一條直線上，∠C＝90°，已測(cè)得AB＝100