人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第01講 變量與函數(shù)3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固（解析版）

第01講變量與函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①常量與變量②函數(shù)的概念與函數(shù)值③自變量的取值范圍掌握常量與變量的概念，能夠準(zhǔn)確的判斷常量與變量。掌握函數(shù)的概念，能夠判斷函數(shù)關(guān)系以及根據(jù)自變量求函數(shù)值。能夠根據(jù)不同的函數(shù)表達(dá)式類型熟練的求出自變量的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)01常量與變量變量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量稱為常量。變量與常量一定存在于一個(gè)變化過(guò)程中，有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化?！炯磳W(xué)即練1】1．閱讀并完成下面一段敘述：（1）某人持續(xù)以a米/分的速度經(jīng)t分時(shí)間跑了s米，其中常量是a，變量是t，S．（2）在t分內(nèi)，不同的人以不同的速度a米/分跑了s米，其中常量是t，變量是a，S．（3）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分各需跑的時(shí)間為t分，其中常量是s，變量是a，t．（4）根據(jù)以上三句敘述，寫(xiě)出一句關(guān)于常量與變量的結(jié)論：常量和變量在一個(gè)過(guò)程中相對(duì)地存在的．【解答】解：（1）由題意得，數(shù)值不變的量為a，為常量，數(shù)值發(fā)生變化的量為t，s，為變量；（2）由題意得，數(shù)值不變的量為t，為常量，數(shù)值發(fā)生變化的量為a，s，為變量；（3）由題意得，數(shù)值不變的量為s，為常量，數(shù)值發(fā)生變化的量為a，t，為變量；（4）根據(jù)以上三句敘述，寫(xiě)出一句關(guān)于常量與變量的結(jié)論：常量和變量在一個(gè)過(guò)程中相對(duì)地存在的．故答案為：a；t，s；t；a，s；s；a，t；常量和變量在一個(gè)過(guò)程中相對(duì)地存在的．知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的概念與函數(shù)值函數(shù)的概念：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量和，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，是的函數(shù)，又稱因變量。說(shuō)明：對(duì)于函數(shù)概念的理解：①有兩個(gè)變量；②一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；③對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)值有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即單對(duì)應(yīng)。函數(shù)值：在一個(gè)函數(shù)中，若存在時(shí)，則就是自變量為時(shí)的函數(shù)值?！炯磳W(xué)即練1】2．關(guān)于變量x，y有如下關(guān)系：①x﹣y＝5；②y2＝2x；③y＝|x|；④y＝．其中y是x函數(shù)的是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．①③④【解答】解：y是x函數(shù)的是①x﹣y＝5；③y＝|x|；④y＝；當(dāng)x＝1時(shí)，在y2＝2x中y＝±，則不是函數(shù)；故選：D．【即學(xué)即練2】3．當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為1．【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，故答案為：1．知識(shí)點(diǎn)03自變量的取值范圍自變量的取值范圍：在函數(shù)表達(dá)式中，自變量的取值必須使相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式有意義。常見(jiàn)的幾種函數(shù)解析式中自變量的取值范圍：①整式型函數(shù)表達(dá)式：自變量取值范圍為一切實(shí)數(shù)。②分式型函數(shù)表達(dá)式：自變量取值范圍為分母不為0的一切實(shí)數(shù)。③根式型函數(shù)表達(dá)式：自變量取值范圍為被開(kāi)方數(shù)大于等于0的一切實(shí)數(shù)。④零次冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪函數(shù)表達(dá)式：自變量取值范圍為底數(shù)不為0的一切實(shí)數(shù)。在實(shí)際問(wèn)題中與幾何圖形中的自變量取值：在實(shí)際問(wèn)題與幾何圖形中，既要滿足函數(shù)表達(dá)式有意義，也要滿足實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義，還要滿足幾何圖形的幾何意義。【即學(xué)即練1】4．函數(shù)的自變量x的取值范圍是x≥﹣5且x≠﹣2．【解答】解：依題意，x+5≥0，x+2≠0，解得：x≥﹣5且x≠﹣2，故答案為：x≥﹣5且x≠﹣2．【即學(xué)即練2】5．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≠3 D．x＞﹣3且x≠3【解答】解：由題意得：x+3＞0且x﹣3≠0，解得：x＞﹣3且x≠3，故選：D．題型01判斷變量與常量【典例1】小亮爸爸到加油站加油，如圖是所用的加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌，金額隨著數(shù)量的變化而變化．則下列判斷正確的是（）A．金額是自變量 B．單價(jià)是自變量 C．7.76和31是常量 D．金額是數(shù)量的函數(shù)【解答】解：?jiǎn)蝺r(jià)是常量，金額和數(shù)量是變量，金額是數(shù)量的函數(shù)，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【變式1】一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)C與半徑r的函數(shù)關(guān)系式為C＝2πr，其中關(guān)于常量和變量的表述正確的是（）A．常量是2，變量是C，π，r B．常量是2，變量是r，π C．常量是2，變量是C，π D．常量是2π，變量是C，r【解答】解：根據(jù)題意得：函數(shù)關(guān)系式C＝2πr中常量是2π，變量是C、r．故選：D．【變式2】已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為15cm2，它的長(zhǎng)為acm，寬為bcm，下列說(shuō)法正確的是（）A．常量為15，變量為a，b B．常量為15，a，變量為b C．常量為15，b，變量為a D．常量為a，b，變量為15【解答】解：∵長(zhǎng)方形的面積始終不變?yōu)槌Ａ?；長(zhǎng)和寬的數(shù)值發(fā)生變化為變量，故選：A．【變式3】球的體積是M，球的半徑為R，則M＝πR3，其中變量和常量分別是（）A．變量是M，R；常量是π B．變量是R，π；常量是 C．變量是M，π；常量是3，4 D．變量是R；常量是M【解答】解：球的體積是M，球的半徑為R，則M＝πR3，其中變量是M，R；常量是π，故選：A．題型02判斷函數(shù)關(guān)系【典例1】下列變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．長(zhǎng)方形的寬一定，其長(zhǎng)與面積 B．正方形的周長(zhǎng)與面積 C．圓柱的底面半徑與體積 D．圓的周長(zhǎng)與半徑【解答】解：A、長(zhǎng)方形的寬一定，其長(zhǎng)與面積成正比，所以其長(zhǎng)與面積是函數(shù)關(guān)系，所以A選項(xiàng)不正確；B、正方形的面積與它的周長(zhǎng)為二次函數(shù)關(guān)系，所以B選項(xiàng)不正確；C、圓柱的底面半徑與體積不是函數(shù)關(guān)系，所以C選項(xiàng)正確；D、圓的周長(zhǎng)與半徑成正比，所以它們?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，所以D選項(xiàng)不正確；故選：C．【變式1】下列所述不屬于函數(shù)關(guān)系的是（）A．長(zhǎng)方形的面積一定，它的長(zhǎng)和寬的關(guān)系 B．x+2與x的關(guān)系 C．勻速運(yùn)動(dòng)的火車(chē)，時(shí)間與路程的關(guān)系 D．某人的身高和體重的關(guān)系【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的長(zhǎng)和寬成反比例，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵x+2中隨x的變化而變化是函數(shù)，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵S＝vt，速度固定時(shí)，路程和時(shí)間是正比例關(guān)系，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∵身高和體重不是函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【變式2】下列關(guān)于變量x和y的關(guān)系式：x﹣y＝0，y2＝x，|y|＝2x，y2＝x2，y＝3﹣x，y＝2x2﹣1，y＝，其中y是x的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：y是x的函數(shù)的有：x﹣y＝0，y＝3﹣x，y＝2x2﹣1，y＝，共4個(gè)，故選：B．【變式3】下列等式中y＝|x|，|y|＝x，5x2﹣y＝0，x2﹣y2＝0，其中表示y是x的函數(shù)的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【解答】解：由函數(shù)的定義判斷：y＝|x|，5x2﹣y＝0表示y是x的函數(shù)；|y|＝x，x2﹣y2＝0不表示y是x的函數(shù)，∴表示y是x的函數(shù)的有2個(gè)．故選：C．題型03求自變量的取值范圍【典例1】在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≠﹣．【解答】解：由題意可得，2x+1≠0，解得x≠﹣，故答案為：x≠﹣．【變式1】使函數(shù)有意義的x的取值范圍是x≥﹣3．【解答】解：由題意得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案為：x≥﹣3．【變式2】函數(shù)的定義域?yàn)閤＞5．【解答】解：根據(jù)題意得x﹣5＞0，解得x＞5．故答案為：x＞5．【變式3】函數(shù)中自變量x的取值范圍是x≠﹣1．【解答】解：由題意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案為：x≠﹣1．【變式4】函數(shù)的自變量x的取值范圍是x≥﹣2且x≠1．【解答】解：由題意可得：2x+4≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣2且x≠1．∴自變量x的取值范圍是x≥﹣2且x≠1．故答案為：x≥﹣2且x≠1．題型04求函數(shù)值【典例1】在關(guān)系式中，當(dāng)因變量y＝﹣2時(shí)，自變量x的值為（）A． B．﹣4 C．﹣12 D．12【解答】解：當(dāng)y＝﹣2時(shí)，﹣2＝﹣x+2，解得x＝12，故選：D．【變式1】已知函數(shù)f（x）＝2x﹣3，那么f（1）＝﹣1．【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝2×1﹣3＝﹣1，故答案為：﹣1．【變式2】已知函數(shù)，那么f（2）＝2．【解答】解：∵，∴f（2）＝＝2．故答案為：2．【變式3】已知函數(shù)，那么f（）＝4+2．【解答】解：當(dāng)x＝時(shí)，f（）＝＝＝4+2．故答案為：4+2．【變式4】根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入x的值是8，則輸出y的值是﹣3，若輸入x的值是﹣8，則輸出y的值是（）A．10 B．14 C．18 D．22【解答】解：當(dāng)x＝8時(shí)，＝﹣3，∴b＝2，∴當(dāng)x＝﹣8時(shí)，y＝﹣2×（﹣8）+2＝16+2＝18，故選：C．1．在圓錐體積公式中（其中，r表示圓錐底面半徑，h表示圓錐的高），常量與變量分別是（）A．常量是，變量是V，h B．常量是，變量是h，r C．常量是，變量是V，h，r D．常量是，變量是V，h，π，r【解答】解：由圓錐體積公式中（其中，r表示圓錐底面半徑，h表示圓錐的高），可知：常量是，變量是V，h，r．故選：C．2．下列關(guān)系式中，y不是x的函數(shù)的是（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣2x D．|y|＝x【解答】解：A、y＝x+1，y是x的函數(shù)，故A不符合題意；B、y＝x﹣1，y是x的函數(shù)，故B不符合題意；C、y＝﹣2x，y是x的函數(shù)，故C不符合題意；D、|y|＝x，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝±2，即對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y不是有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，∴y不是x的函數(shù)，故D符合題意．故選：D．3．下列表達(dá)式中，與表格表示同一函數(shù)的是（）x…﹣2﹣1012…y…531﹣1﹣3…A．y＝﹣2x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x﹣1 D．y＝2x+1【解答】解：設(shè)表格表示的函數(shù)為y＝kx+b，將（0，1），（1，﹣1）代入y＝kx+b得，解得，∴表格表示的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+1，故選：A．4．油箱中存油40升，油從油箱中均勻流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩余油量Q（升）與流出時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系是（）A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40【解答】解：由題意得：流出油量是0.2t，則剩余油量：Q＝40﹣0.2t，故選：B．5．如圖，有一個(gè)球形容器，小海在往容器里注水的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個(gè)變量．下列有四種說(shuō)法：①S是V的函數(shù)；②V是S的函數(shù)；③h是S的函數(shù)，④S是h的函數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由題意可知，對(duì)于注水量V的每一個(gè)數(shù)值，水面面積S都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，即S是V的函數(shù)，故①正確；對(duì)于水面面積S的每一個(gè)數(shù)值，注水量V的值不唯一，即V不是S的函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于水面面積S的每一個(gè)數(shù)值，水面的高度h不唯一，即h不是S的函數(shù)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于水面的高度h的每一個(gè)數(shù)值，水面面積S有唯一值與之對(duì)應(yīng)，即S是h的函數(shù)，故④正確．故正確的結(jié)論有①④．故選：B．6．某市的出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)（包括3千米）收費(fèi)8元，超過(guò)3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租車(chē)行駛的距離為x（x＞3）千米，則需付費(fèi)用y元與x（千米）之間的關(guān)系式是（）A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3【解答】解：y＝8+2（x﹣3）＝8+2x﹣6＝2+2x，故選：B．7．函數(shù)y＝+中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9【解答】解：，解得x≥2且x≠9．故選：B．8．變量y與x之間的關(guān)系是y＝﹣2x+3，當(dāng)自變量x＝6時(shí)，因變量y的值是（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣15【解答】解：當(dāng)x＝6時(shí)，y＝﹣2×6+3＝﹣9．故選：B．9．用如圖所示的程序框圖來(lái)計(jì)算函數(shù)y的值，當(dāng)輸入x為﹣1和7時(shí)，輸出y的值相等，則b的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝3x+b＝3×（﹣1）+b＝﹣3+b；當(dāng)x＝7時(shí)，y＝6﹣x＝6﹣7＝﹣1．∵﹣3+b＝﹣1，∴b＝2．故選：D．10．火車(chē)勻速通過(guò)隧道時(shí)，火車(chē)在隧道內(nèi)的長(zhǎng)度y（米）與火車(chē)行駛時(shí)間x（秒）之間的關(guān)系用圖象描述如圖所示，有下列結(jié)論：①火車(chē)的長(zhǎng)度為150米；②火車(chē)的速度為30米/秒；③火車(chē)整體都在隧道內(nèi)的時(shí)間為25秒；④隧道長(zhǎng)度為750米．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．②④【解答】解：在BC段，所用的時(shí)間是5秒，路程是150米，則速度是30米/秒．故②正確；火車(chē)的長(zhǎng)度是150米，故①正確；整個(gè)火車(chē)都在隧道內(nèi)的時(shí)間是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正確；隧道長(zhǎng)是：30×35﹣150＝900米，故④錯(cuò)誤．故正確的是：①②③．故選：A．11．下列各式①y＝0.5x﹣2；②y＝|2x|；③3y+5＝x；④y2＝2x+8中，y是x的函數(shù)的有①②③（只填序號(hào)）【解答】解：①y＝0.5x﹣2；②y＝|2x|；③3y+5＝x，y是x的函數(shù)，故答案為：①②③．12．若函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則自變量的取值范圍是x≥﹣3且x≠3．【解答】解：由題意得：x+3≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣3且x≠3，故答案為：x≥﹣3且x≠3．13．函數(shù)y＝f（﹣4）＝﹣2x+b＝﹣5，則f（0）＝﹣13．【解答】解：將x＝﹣4代入﹣2x+b＝﹣5，得8+b＝﹣5，解得b＝﹣13，∴y＝﹣2x﹣13．∴當(dāng)x＝0時(shí)，f（0）＝﹣13．故答案為：﹣13．14．如圖是1個(gè)紙杯和6個(gè)疊放在一起的相同紙杯的示意圖．若設(shè)杯沿高為a（常量），杯子底部到杯沿底邊高為b，寫(xiě)出杯子總高度h隨著杯子數(shù)量n（自變量）的變化規(guī)律h＝an+b．【解答】解：由題意可知，h＝an+b，故答案為：h＝an+b．15．一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多3cm，矩形的面積是Scm2．設(shè)矩形的寬為xcm，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是S＝x2+3x．【解答】解：由題意得：矩形的長(zhǎng)為（x+3）cm，則S＝x（x+3）＝x2+3x，∴S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是：S＝x2+3x．故答案為：S＝x2+3x．16．求下列函數(shù)中自變量的取值范圍．（1）y＝2x﹣1；（2）；（3）．【解答】解：（1）y＝2x﹣1中，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；（2）由題意得：x﹣3≥0，5﹣x≥0，解得：3≤x≤5；（3）由題意得：4﹣2x＞0，解得：x＜2．17．周長(zhǎng)為20cm的矩形，若它的一邊長(zhǎng)是xcm，面積是Scm2．（1）請(qǐng)用含x的式子表示S，并指出常量與變量；（2）當(dāng)x＝6時(shí)，求S的值．【解答】解：（1）S＝x×＝﹣x2+10x，周長(zhǎng)20cm是常量；一邊xcm，面積Scm2是變量．（2）當(dāng)x＝6時(shí)，S＝﹣x2+10x＝﹣62+10×6＝﹣36+60＝24．18．如圖，是一個(gè)“因變量隨著自變量變化而變化“的示意圖，下面表格中，是通過(guò)運(yùn)算得到的幾組x與y的對(duì)應(yīng)值．根據(jù)圖表信息解答下列問(wèn)題：輸入x…﹣202…輸出y…2m18…（1）直接寫(xiě)出：k＝9，b＝6，m＝6；（2）當(dāng)輸入x的值為﹣1時(shí)，求輸出y的值；（3）當(dāng)輸出y的值為12時(shí)，求輸入x的值．【解答】解：（1）把x＝﹣2，y＝2代入y＝2x+b得2＝﹣4+b，解得b＝6；把x＝2，y＝18代入y＝kx得18＝2k，解得k＝9；把x＝0，y＝m代入y＝2x+6得m＝0+6，解得m＝6．故答案為：k＝9，b＝6，m＝6；（2）當(dāng)x＝﹣1＜1時(shí)，有y＝2×（﹣1）+6＝4；（3）當(dāng)y＝12，x＜1時(shí)，2x+6＝12，解得