人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第05講 正方形（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類(lèi)熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（原卷版）

第05講正方形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①正方形的定義與性質(zhì)②正方形的判定③中點(diǎn)四邊形熟悉正方形的定義，掌握正方形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。掌握正方形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定正方形。掌握中點(diǎn)四邊形的定義，能夠熟練的根據(jù)四邊形的性質(zhì)判斷中點(diǎn)四邊形的形狀。知識(shí)點(diǎn)01正方形的定義與性質(zhì)正方形的定義：四條邊都，四個(gè)角都是的四邊形叫做正方形。所以正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，還是特殊的菱形。正方形的性質(zhì)：同時(shí)具有平行四邊形、矩形以及菱形的一切性質(zhì)?！炯磳W(xué)即練1】1．下列有關(guān)特殊平行四邊形的性質(zhì)說(shuō)法正確的是（）A．菱形的對(duì)角線(xiàn)相等 B．矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直 C．菱形的四個(gè)角相等 D．正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等【即學(xué)即練2】2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，P為邊BC上一點(diǎn)，且BP＝OB，則CP的長(zhǎng)為（）A． B． C．0.5 D．1【即學(xué)即練3】3．在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，則∠CEF＝（）A．75° B．60° C．50° D．45°知識(shí)點(diǎn)02正方形的判定直接判定：四條邊相等，四個(gè)角也相等的四邊形是正方形。符號(hào)語(yǔ)言：∵ABBCCDAD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝?！嗨倪呅蜛BCD是正方形利用平行四邊形、矩形以及菱形判定：先判定四邊形是平行四邊形，在判定它是矩形和菱形即可判定為正方形。①平行四邊形＋鄰邊相等＋一個(gè)角是90°。符號(hào)語(yǔ)言：在?ABCD中，∵AB＝BC，且∠ABC=90°∴?ABCD是正方形②平行四邊形＋鄰邊相等＋對(duì)角線(xiàn)相等。符號(hào)語(yǔ)言：?ABCD中∵AB＝BC且AC＝BD∴?ABCD是正方形③平行四邊形＋對(duì)角線(xiàn)垂直＋一個(gè)角是90°符號(hào)語(yǔ)言：?ABCD中∵AC⊥BD且∠ABC＝90°∴?ABCD是正方形④平行四邊形＋對(duì)角線(xiàn)垂直＋對(duì)角線(xiàn)相等。符號(hào)語(yǔ)言：?ABCD中∵AC⊥BD且AC＝BD∴?ABCD是正方形可先證矩形再證菱形，也可先證菱形，再證矩形?！炯磳W(xué)即練1】4．若?ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)OA＝OD時(shí)，?ABCD為菱形 B．當(dāng)AB＝AD時(shí)，?ABCD為正方形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，?ABCD為矩形 D．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，?ABCD為矩形【即學(xué)即練2】5．已知菱形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，添加條件可使菱形ABCD成為正方形．【即學(xué)即練3】6．如圖，已知矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分線(xiàn)交于BC邊上一點(diǎn)E．點(diǎn)F為矩形外一點(diǎn)，四邊形AEDF為平行四邊形．求證：四邊形AEDF是正方形．知識(shí)點(diǎn)03中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形的定義：連接四邊形各邊的得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。中點(diǎn)四邊形的形狀：①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是。②對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是。③對(duì)角線(xiàn)相互垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是?！炯磳W(xué)即練1】7．順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的圖形為?！炯磳W(xué)即練2】8．如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH為矩形，四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是（）A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直 B．對(duì)角線(xiàn)相等 C．一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行 D．對(duì)角線(xiàn)互相平分題型01利用正方形的性質(zhì)求線(xiàn)段或周長(zhǎng)【典例1】如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，作EF⊥AD于點(diǎn)F，連接DE，若DF＝2．則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．2.5【變式1】如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，則BN的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．【變式2】如圖所示，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AF＝CE，BF＝2AF．連接DF、DE、EF，EF與對(duì)角線(xiàn)AC相交于點(diǎn)G，則線(xiàn)段BG的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【變式4】如果一個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿(mǎn)，既不重疊，又無(wú)縫隙，就稱(chēng)為“優(yōu)美長(zhǎng)方形”如圖，“優(yōu)美長(zhǎng)方形”ABCD的周長(zhǎng)為78，則正方形c的邊長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．15【變式5】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP、EF．給出下列結(jié)論：①；②四邊形PECF的周長(zhǎng)為8；③EF的最小值為2；④AP＝EF；⑤AP⊥EF．其中正確的結(jié)論有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)題型02利用正方形的性質(zhì)求角度【典例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)．連接BE，且AB＝AE，則∠EBC的度數(shù)是（）A．45° B．30° C．22.5° D．20°【變式1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)D，AB上，滿(mǎn)足DE＝AF，連接CE，DF，點(diǎn)P，Q分別是DF，CE的中點(diǎn)，連接PQ．若∠ADF＝α．則∠PQE可以用α表示為（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°【變式2】如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，連接DE，AF⊥DE于點(diǎn)F，連接CF，設(shè)∠DAF＝α，若AF＝2DF，則∠DCF一定等于（）A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D．【變式3】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED交AB于點(diǎn)F，連接BE，DF，若∠ADF＝α，則∠BEF的度數(shù)是（）A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．3α【變式4】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N、P分別在A(yíng)B、CD、BD上，∠MPN＝90°，MN經(jīng)過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O，若∠PMN＝α，則∠AMP一定等于（）A．2α B．45°+α C．90﹣ D．135°﹣α題型03利用正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1）【變式1】如圖，正方形ABCO中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝60°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD的頂點(diǎn)C，D在第二象限，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)在x軸上，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)M，OM＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．題型04正方形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，仍不能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等邊三角形【變式1】如圖，AC和BD是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使其成為正方形，下列條件：①AC＝BD；②A(yíng)C⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【變式2】如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CM＝DN．求證：四邊形EFMN是正方形．【變式3】如圖，四邊形AECF是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC、EF交于點(diǎn)O，點(diǎn)D、B是對(duì)角線(xiàn)EF所在直線(xiàn)上兩點(diǎn)，且DE＝BF，連接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若正方形ABCD的面積為72，BF＝4，求點(diǎn)F到線(xiàn)段AE的距離．【變式4】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝3，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OF的長(zhǎng)．【變式6】如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF∥AE．（1）求證：四邊形BECF是菱形；（2）當(dāng)∠A＝°時(shí)，四邊形BECF是正方形；（3）在（2）的條件下，若AC＝4，則四邊形ABFC的面積為．題型05中點(diǎn)四邊形【典例1】如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【變式1】順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，它的形狀是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【變式2】四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，下列條件中能使四邊形EFGH為矩形的是（）A．AB⊥BC B．AB＝BD C．AC＝BD D．AC⊥BD【變式3】如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形 B．若四邊形ABCD是任意矩形，則存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是菱形 C．若四邊形ABCD是任意菱形，則存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是矩形 D．若四邊形ABCD是任意矩形，則至少存在一個(gè)四邊形EFGH是正方形1．菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直 B．對(duì)角線(xiàn)相等 C．四條邊相等，四個(gè)角相等 D．兩組對(duì)邊分別平行且相等2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形 C．當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形 D．當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是正方形3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是矩形；③當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是正方形．其中結(jié)論正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝8cm，則四邊形EFGH的面積是（）A．48cm2 B．32cm2 C．24cm2 D．12cm25．隨著科技的進(jìn)步，機(jī)器人在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．如圖為正方形形狀的擦窗機(jī)器人，其邊長(zhǎng)是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN為窗戶(hù)的邊緣，擦窗機(jī)器人的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別落在PM、PN上，PA＝14cm，將擦窗機(jī)器人繞中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得AD∥PM，則旋轉(zhuǎn)角度是（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，且AE＝FC＝8，BF＝DE＝6，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．7．小明用四根相同長(zhǎng)度的木條制作了一個(gè)正方形學(xué)具（如圖1），測(cè)得對(duì)角線(xiàn)，將正方形學(xué)具變形為菱形（如圖2），∠DAB＝60°，則圖2中對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)為（）A．20cm B． C． D．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG，下列結(jié)論中不正確的是（）A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．9．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P作直線(xiàn)PD交BC于點(diǎn)E，過(guò)P作直線(xiàn)GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下結(jié)論：①△ABP為等邊三角形；②PG＝PD③S△PBE＝PD2④BP＝PE+PG其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連接菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為（）A． B． C． D．11．小華在復(fù)習(xí)四邊形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，繪制了如圖所示的框架圖，④號(hào)箭頭處可以添加的條件是．（寫(xiě)出一種即可）12．已知正方形ABCD，分別以BC，DC為邊長(zhǎng)作等邊△BEC和等邊△DCF，連接EF，則∠CEF＝°．13．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個(gè)正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn)．若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則圖中陰影部分圖形的面積為．14．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)在線(xiàn)段AC上以1cm/s的速度反向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別到達(dá)A，C兩點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．連接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形DEBF為正方形．15．如圖，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，則GE的長(zhǎng)為．16．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在A(yíng)D的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：