河南省信陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，，則或，又因?yàn)槿?，則.故選：A.2.全稱(chēng)量詞命題“”的否定是（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是.故選：B.3.下列對(duì)應(yīng)是集合A到集合B上的映射的個(gè)數(shù)是（）（1）A=R，B=N*，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值，與B中的元素相對(duì)應(yīng)；（2）A={1，-1，2，-2}，B={1，4}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：f：x→y=x2，x∈A，y∈B；（3）A={三角形}，B={x|x＞0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)集合A中的三角形求面積，與集合B中的元素對(duì)應(yīng).A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由題意，對(duì)于（1）：A中元素0取絕對(duì)值后還是0，B中元素全部是正整數(shù)，沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故不是A到B上的映射；對(duì)于（2）：A中四個(gè)元素分別平方后所得值，都有B中元素與之對(duì)應(yīng)，故是A到B上的映射；對(duì)于（3）：A中每個(gè)三角形的面積，都有B中的一個(gè)正數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故是A到B上的映射.故選：C．4.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）.A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，且，解得.故選：A.5.汽油的單價(jià)會(huì)隨著各種因素不斷變動(dòng)，一段時(shí)間內(nèi)，某人計(jì)劃去加油站加兩次油，兩次加油時(shí)汽油單價(jià)不同，現(xiàn)有兩種加油方案——甲：每次加油的總金額固定；乙：每次所加的油量固定．若規(guī)定平均單價(jià)越低，則該加油方案越實(shí)惠，不考慮其他因素影響，則（）A.甲方案實(shí)惠 B.乙方案實(shí)惠C.哪種方案實(shí)惠需由兩次油價(jià)決定 D.兩種方案一樣實(shí)惠〖答案〗A〖解析〗設(shè)兩次加油的油價(jià)分別為，且.甲方案：設(shè)每次加油總金額為，則平均油價(jià)；乙方案：設(shè)每次加油量為，則平均油價(jià).則，因?yàn)椋?，所以，，所?所以，甲方案實(shí)惠．故選：A.6.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，選項(xiàng)AC都不滿(mǎn)足；而當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B不滿(mǎn)足；函數(shù)的圖象是直線(xiàn)在的部分與直線(xiàn)在的部分組成，D滿(mǎn)足.故選：D.7.已知函數(shù)，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)稱(chēng)軸為，∴在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，若函數(shù)的值域是，則當(dāng)時(shí)，，即恒成立，∴即.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閷?duì)任意的，都有，此時(shí)，則，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，，所以當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)和時(shí)，.由，即，所以或或或，所以或或或無(wú)解，所以原不等式解集為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，且，所以，故B正確；對(duì)于C，由，可得，故C正確；對(duì)于D，由，又，所以，，，所以，即，故D正確.故選：BCD.10.已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗冪函數(shù)的定義域?yàn)?，，，∵函?shù)在單調(diào)遞增，，∴，即，故A正確；，，∵函數(shù)在單調(diào)遞減，，即，∴，即，故B錯(cuò)誤；∵冪函數(shù)上單調(diào)遞增，，∴，，即，∴，故C正確；，∵，∴，即，故D正確.故選：ACD.11.已知關(guān)于的不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗關(guān)于的不等式的解集是，所以，且是一元二次方程即的兩根，所以，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；，選項(xiàng)D正確；由，可得：是錯(cuò)誤的，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：ABD．12.若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為2. D.的最小值為.〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最大值為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最大值為2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的值為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗由于冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，符合題意.當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不符合題意.所以的值為.故〖答案〗為：.14.命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________________．〖答案〗或〖解析〗由題意，解得或.故〖答案〗為：或．15.若是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，則不等式的解集為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得：.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗作出的函數(shù)圖象如圖所示：①當(dāng)時(shí)，，存在唯一的整數(shù)x，使得成立，只有1個(gè)整數(shù)解，又，；②當(dāng)時(shí)，則，存在唯一的整數(shù)x，使得成立，只有1個(gè)整數(shù)解，又，，；當(dāng)或時(shí)，只有1個(gè)整數(shù)解．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求a的取值范圍.解：（1）由題意可得，，解得，即，當(dāng)a=2時(shí)，，故.（2）若，則①時(shí)，②時(shí)，，，綜上，的取值范圍為.18.設(shè)函數(shù).若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：依題意，有實(shí)數(shù)解，即不等式有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解，則，當(dāng)時(shí)，取，則成立，即有實(shí)數(shù)解，于是得，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，要有解，當(dāng)且僅當(dāng)，從而得，綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知，都是正數(shù)，且．（1）求的最小值及此時(shí)x，y的取值；（2）不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，都是正?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為．（2）由，得，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，取得最小值，故的取值范圍為．20.某化工企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府責(zé)成環(huán)保部門(mén)迅速開(kāi)展治污行動(dòng)，根據(jù)有關(guān)部門(mén)試驗(yàn)分析，建議向水源投放治污試劑，已知每投放a個(gè)單位（且）的治污試劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的治污試劑濃度為每次投放的治污試劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)試驗(yàn)，當(dāng)水中治污試劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能治污有效．（1）若只投放一次4個(gè)單位的治污試劑，則有效時(shí)間最多可能持續(xù)幾天？（2）若先投放2個(gè)單位的治污試劑，6天后再投放m個(gè)單位的治污試劑，要使接下來(lái)的5天中，治污試劑能夠持續(xù)有效，試求m的最小值．解：（1）因?yàn)橐淮瓮斗?個(gè)單位的治污試劑，所以水中釋放的治污試劑濃度為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，，故一次投放4個(gè)單位的治污試劑，則有效時(shí)間可持續(xù)7天．（2）設(shè)從第一次投放起，經(jīng)過(guò)天后濃度為．因?yàn)?，則，，所以，即，令，，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故為使接下來(lái)的5天中能夠持續(xù)有效m的最小值為2.21.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值，并證明為奇函數(shù)；（2）求證在上是增函數(shù)；（3）若，解關(guān)于的不等式.解：（1）令，得.，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）證明：在R上任取，則，所以.又，所以函數(shù)在R上是增函數(shù).（3）由，得，.由得.因