遼寧省大連市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧希?，則，即集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D.3.某質(zhì)點(diǎn)的位移與運(yùn)動時(shí)間的關(guān)系式為，其圖象如圖所示，圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，與直線的相鄰三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，則下列說法正確的是（）A.B.C.質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減D.質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)走過的路程為〖答案〗C〖解析〗由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，所以，故A錯(cuò)誤；令，所以，又，所以，因?yàn)椋曰?又，所以，所以.故B錯(cuò)誤；由已知得圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線，，且在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；由圖象得該質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的路程為，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓C：的圓心為，半徑為2，直線l的方程可化為，于是l過定點(diǎn)，且，顯然，即，又，因此，設(shè)，，顯然，則，其中，當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，，符合條件，所以的最大值為．故選：D.5.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗等價(jià)于，令，則，所以是增函數(shù)，所以等價(jià)于，所以，所以，令，則，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．6.已知雙曲線的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C.7.已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，，，所以即，，顯然在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.8.如圖，平行四邊形中，，.現(xiàn)將沿起，使二面角大小為120°，則折起后得到的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，兩直線相交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，⊥，則⊥，由于⊥，故即為二面角的平面角，則，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椤?，⊥，，平面，故⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，又，平面，則⊥平面，，取的中點(diǎn)，則外接球球心在平面的投影為，即⊥平面，連接，，則，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則，，，由余弦定理得，設(shè)，則，故，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，外接球表面積為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某商場為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎活動，袋中裝有8個(gè)大小形狀相同的小球，并標(biāo)注這八個(gè)數(shù)字，抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球，事件A表示“取出球的編號為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件D表示“取出球的編號小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，故A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.如圖所示，在直三棱柱中，若，，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐表面積為B.點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的最小值為C.、分別為、的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截三棱柱，則該截面周長為D.點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，若直線，是共面直線，則點(diǎn)的軌跡長度為〖答案〗ABC〖解析〗對于A：在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，所以，，所以，所以三棱錐表面積，故A正確；對于B：將沿旋轉(zhuǎn)與共面且位于的異側(cè)，如圖所示，，即點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的最小值為，故B正確，對于C：延長、，設(shè)，連接交于點(diǎn)，連接，則過的截面為如圖所示四邊形，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，故是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以為的重心，，，所以截面周長為，故C正確，對于D：平面，共面，所以平面，又點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，平面平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，故點(diǎn)的軌跡長度為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與C交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)在上的射影，線段與軸的交點(diǎn)為，線段的延長線交于點(diǎn)，則（）A.B.C.直線與相切D.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）有最大值〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，所以，故A錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以，則直線的方程為，令，得，即，所以，則，故，故B正確；因?yàn)椋灾本€的方程為，由，消去整理得，顯然，所以直線（）與相切，故C正確；設(shè)，，：，由，可得，顯然，所以，，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)有最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為，點(diǎn)P是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值為_________.〖答案〗〖解析〗由題意知，每個(gè)三角形的頂角為，，作垂直的延長線于點(diǎn)M，根據(jù)正八邊形的特征知，，設(shè)與所成的角為，則，所以，由的最大值為，所以的最大值為.13.函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則函數(shù)的〖解析〗式為_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示.區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得，解得，故，可得，即，又的圖象過點(diǎn)，即，因?yàn)椋?，解?故.14.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1）），亦稱“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，已知與的面積之比為，設(shè)，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)邊長為，邊長為，由題意得與的面積之比為，可得，化簡得，可得，不妨設(shè)，如圖，作，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，在中，設(shè)，由余弦定理得，解得，故，，且設(shè)，作，故，故得，解得，由勾股定理得，故，易知，，，可得，，，且，，可得，得到，解得，顯然.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如下圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．（1）證明：；（2）若，分別為，的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，所以，由題意可知，等腰梯形的高為1，故等腰梯形的面積為：，∴，∴，在中，，．∴，即，∴為的三等分點(diǎn)，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2）解：取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，∴．∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴四點(diǎn)共面．連接交于，連接，則二面角即二面角．∵平面，平面，∴，易知四邊形為正方形，則，∵，∴，又，平面，平面，∴平面．∵，∴平面，∵平面，平面，∴，．∴是二面角的平面角，在中，，，∴，∴，∴二面角的余弦值為.16.水平相當(dāng)?shù)募?、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進(jìn)行，首輪的負(fù)者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局?jǐn)?shù)的期望.解：（1）甲第三輪獲勝的基本事件有：{第一、二、三輪甲全勝}，{第一輪甲輸，第三輪甲勝}，設(shè)“甲在第i輪獲勝”，則；（2）設(shè)事件“第輪甲輪空”，則，，，；（3）設(shè)一輪比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)為，則，，，，，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，，，局勝的局?jǐn)?shù)為:（局）.17.已知橢圓短軸長為2，橢圓上一點(diǎn)到距離的最大值為3．（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)橢圓的離心率達(dá)到最大時(shí)，過原點(diǎn)斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，分別與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．①是否存在實(shí)數(shù)，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；②記與交于點(diǎn)，求線段長度的取值范圍．解：（1）設(shè)，由題知，，即，則，即，記，則在上的最大值為9，對稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，，成立；②當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，可知不成立；綜上，；（2）由（1）得，，所以當(dāng)時(shí)，離心率達(dá)到最大，此時(shí)，橢圓，①存在，理由如下，設(shè)，則，其中，即，，由，得，即，所以，，所以，，由，得，即，所以，，可得，所以，的斜率；②由①知，，由，，即，將代入橢圓方程得：，所以，的軌跡方程為，所以，線段長度的取值范圍為．18.已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前2k項(xiàng)和;（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列?若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在，說明理由解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，解得，所以；?）由（1）知，所以對于，有，，所以（），.（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)三項(xiàng)按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)，下面說明理：若，則由，得，化簡得，此式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，不可能成立，若，則由，得，化簡得，令，則，所以,所以只有，此時(shí)，綜上，在數(shù)列中，僅存在連續(xù)三項(xiàng)按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)，19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有極值點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，又，，則，，因?yàn)槭欠匠痰膬筛瑒t，，得，，所以．令解得：，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，．（2）因?yàn)椋?，所以，即．又，，?/p>