遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答題標(biāo)號；答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或?qū)懺诒驹嚲砩蠠o效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A項(xiàng)，因，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯誤.故選：B.2.已知等比數(shù)列滿足，，則（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，，，所?故選：C3.2021年7月30日，東京奧運(yùn)會女子七人制橄欖球中國隊(duì)完勝日本隊(duì)，該事件吸引了大批大學(xué)生開始練習(xí)橄欖球，某大學(xué)橄欖球社團(tuán)先對報(bào)名者力量和速度進(jìn)行綜合評分，評分達(dá)標(biāo)者方能被吸收為正式社員.現(xiàn)有400人報(bào)名，他們的綜合評分服從正態(tài)分布，若80分以上為達(dá)標(biāo)，則估計(jì)能被吸收為正式社員的人數(shù)為（）（附：若隨機(jī)變量，則，，.）A.18 B.13 C.9 D.5〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閄服從正態(tài)分布，所以，則估計(jì)能被吸收為正式社員的人數(shù)為（人）.故選：C4.有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．己知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工”，事件“零件為次品”，則（）A.0.2 B.0.05 C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意可得：；；由全概率公式可得：；故.故選：D.5.已知數(shù)列滿足：，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，，，，，，，，，可知從?項(xiàng)起數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，又，所以.故選：B6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B7.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，，，則由累加法得，，因此，而滿足上式，即，則，所以，.故選：D8.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗顯然，，因?yàn)椋?；又因?yàn)?，，令，．則，可知在上單調(diào)遞增，則，可得，令，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以；綜上所述：．故選：A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機(jī)事件的概率分別為，且，則（）A.事件與事件相互獨(dú)立 B.事件與事件相互對立C. D.〖答案〗AC〖解析〗對A，根據(jù)題意可得由條件概率公式可得，又所以，又易知，所以；即滿足，所以事件與事件相互獨(dú)立，即A正確；對B，又，不滿足，所以事件與事件不是相互對立事件，即B錯誤；對C，易知，即C正確；對D，由條件概率公式可得，所以D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B.有極大值C.無最小值D.若函數(shù)恰有6個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以A正確，對于B，由選項(xiàng)A可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，所以B正確，對于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，綜上，的值域?yàn)?，所以有最小?，所以C錯誤，對于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以的大致圖象如圖所示由，得，令，則，由的圖象可知，要使有6個零點(diǎn)，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，不妨令，若，則由圖可知有6個零點(diǎn)，但，所以不符合題意，所以，因?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是，所以D正確，故選：ABD11.已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意可知，所以，則，所以，故A錯誤；對C，由，故C正確；對C，所以，則，故B正確；對D，易知，令，則，則單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榍?，所以，則，又，所以，因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：13.已知數(shù)列滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，則，因?yàn)?，顯然，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，則.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，則不等式的解集是__________.〖答案〗〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，則；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減；又，所以，即；所以函數(shù)圖像上的點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，即函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，不等式變形為，即；可得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得.則不等式的解集為.故〖答案〗：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.令，得，又，所以，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以在上單調(diào)遞增.令，解得，所以在上單調(diào)遞減，又，，，所以在上的值域?yàn)?16.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)椋?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，則，兩式相減得，即，所以，因此的通項(xiàng)公式為.（2）由題可知，則，所以，，兩式相減得，所以.17.2024年1月18日是中國傳統(tǒng)的“臘八節(jié)”，“臘八”是中國農(nóng)歷十二月初八（即臘月初八）這一天．臘八節(jié)起源于古代祭祀祖先和神靈的儀式，后逐漸成為民間節(jié)日，盛行于中國北方．為調(diào)查不同年齡人群對“臘八節(jié)”民俗文化的了解情況，某機(jī)構(gòu)抽樣調(diào)查了某市的部分人群．（1）在100名受調(diào)人群中，得到如下數(shù)據(jù)：年齡了解程度不了解了解30歲以下162450歲以上1644根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析受調(diào)群體中對“臘八節(jié)”民俗的了解程度是否存在年齡差異；（2）調(diào)查問卷共設(shè)置10個題目，選擇題、填空題各5個．受調(diào)者只需回答8個題：其中選擇題必須全部回答，填空題隨機(jī)抽取3個進(jìn)行問答．某位受調(diào)者選擇題每題答對的概率為0.8，知道其中3個填空題的〖答案〗，但不知道另外2個的〖答案〗．求該受調(diào)者答對題目數(shù)量的期望．參考公式：①．獨(dú)立性檢驗(yàn)常用小概率值和相應(yīng)臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②隨機(jī)變量X，Y的期望滿足：解：（1），根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為受調(diào)群體中對“臘八節(jié)”民俗的了解程度不存在年齡差異；（2）用分別表示受調(diào)者答對選擇題、填空題的個數(shù)，則，所以，則可取則，所以，，，所以，由，該受調(diào)者答對題目數(shù)量的期望為.18.某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動員，然后該運(yùn)動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動員，有的概率傳給另一位運(yùn)動員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動員的概率為.（1）求，；（2）求的表達(dá)式；（3）設(shè)，證明：.解：（1），，；（2）由已知，∴，即，∴是以為公比的等比數(shù)列，∴，∴.（3）.設(shè)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，顯然，則，∴，則，即，∴.19.固定項(xiàng)鏈兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)．它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)．（1）類比正、余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，，，請寫出，具有的類似的性質(zhì)（不需要證明）；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求的最小值．解：（1）求導(dǎo)易知,.（2）構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可