空間中直線、平面的平行同步練習 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

課時精練9空間中直線、平面的平行一、基礎鞏固選擇題每小題5分，共25分1.已知平面α的一個法向量為(1，2，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于()2 －4 4 －22.若直線l的一個方向向量為a＝(2，5，7)，平面α的一個法向量為u＝(1，1，－1)，則()l∥α或l?α l⊥αl?α l與α斜交3.在空間直角坐標系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關系是()垂直 平行異面 相交但不垂直4.已知兩平行直線的方向向量分別為a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，則實數(shù)m的值為()1 31或3 以上答案都不正確5.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是()相交 平行垂直 不能確定6.若兩不重合平面α，β的法向量分別為u＝(2，－3，5)，ν＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)，－\f(5,2)))，則α與β的位置關系是______.7.已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)與平面α平行，則z＝________.8.設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，則直線l與平面α的位置關系為________；若a＝(－1，－1，1)，則直線l與平面α的位置關系為________.9.(10分)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M，N分別是面對角線A′B與面對角線A′C′的中點.求證：MN∥側面AD′；MN∥AD′，并且MN＝eq\f(1,2)AD′.10.(10分)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點.證明：EF∥平面SAD.二、綜合運用選擇題每小題5分，共5分11.(多選)在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱BB1，AD，AA1的中點，則下列說法錯誤的是()D1F⊥B1CFG∥D1EFG⊥平面AD1EBF∥平面AD1E12.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，則OP與BD1的位置關系是________________.13.(15分)如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP＝2，D是AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.試用向量方法證明AP∥平面EFG.三、創(chuàng)新拓展14.(15分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?參考答案1.C[因為α∥β，所以eq\f(－2,1)＝eq\f(－4,2)＝eq\f(k,－2)，所以k＝4.]2.A[由條件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l?α.故選A.]3.B[由題意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3，3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又AB與CD沒有公共點，∴AB∥CD.]4.C[由題意知a∥b.因為b＝(4，2－2m，2－2m)≠0，所以“a∥b的充要條件是a＝λb”，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2m＝4λ，,m－1＝λ（2－2m），,m－1＝λ（2－2m），))顯然m＝1符合題意，當m≠1時，由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－eq\f(1,2)，代入4－2m＝4λ，得m＝3.綜上，m的值為1或3.]5.B[如圖，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.因為A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→)).因為C1D1是平面BB1C1C的一個法向量，且MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.]6.平行[∵u＝－2ν，∴α與β平行.]7.3[∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.]8.l⊥αl∥α或l?α[當a＝(1，1，2)時，a＝eq\f(1,2)n，則l⊥α；當a＝(－1，－1，1)時，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，則l∥α或l?α.]9.證明設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)(a＋b)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)，即eq\o(MN,\s\up6(→))與b，c共面.因為MN不在平面AD′內(nèi)，所以MN∥平面AD′.又因為b＋c＝eq\o(AD′,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))，所以MN∥AD′，MN＝eq\f(1,2)AD′.10.證明如圖所示，以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz.設AB＝a，SD＝b，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2))).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2))).顯然eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a，0)為平面SAD的一個法向量.∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，又EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD.11.ABC[以D為原點，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為方向向量建立空間直角坐標系Dxyz(圖略)，設AD＝2，則有關點及向量的坐標為：A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，0，0)，G(2，0，1)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(2，2，－1)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(2，0，－2).設平面AD1E的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1A,\s\up6(→))＝0，,n·\o(D1E,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2z＝0，,2x＋2y－z＝0，))取x＝2，則z＝2，y＝－1，n＝(2，－1，2).eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(1，0，－2)·(－2，0，－2)＝2≠0，故A不正確；因為eq\f(1,2)≠eq\f(0,2)，故FG∥D1E不成立，故B不正確；eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1，0，1)·(2，2，－1)＝1≠0，故eq\o(FG,\s\up6(→))⊥平面AD1E不成立，故C不正確；eq\o(BF,\s\up6(→))·n＝(－1，－2，0)·(2，－1，2)＝0，又BF?平面AD1E，故BF∥平面AD1E，故D正確.故選ABC.]12.平行[如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體的棱長為1，則Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1，1，0)，D1(0，0，1).則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，∴OP∥BD1.]13.證明如圖，以D為原點，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DP,\s\up6(→))為方向向量建立空間直角坐標系Dxyz，則有關點及向量的坐標為：P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(xiàn)(0，0，1)，A(2，0，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，1，－1).設平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝0.))令x＝1，則z＝1，∴n＝(1，0，1).∵n·eq\o(AP,\s\up6(→))＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0，∴n⊥eq\o(AP,\s\up6(→)).又AP?平面EFG，∴AP∥平面EFG.14.解如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，在CC1上任取一點Q，連接BQ，D1Q.設正方體的棱長為1，則Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，則Q(0，1，m)(0≤m≤1).法一因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD1,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，于是OP∥BD1.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(－1，0，m)，當m＝eq\f(1,2)時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，故當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.法二eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq