2024年新高考高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段性復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)的柢念與幾何意義A卷 （解析版）

復(fù)數(shù)的柢念與幾何意義A卷（解析版）

（本試卷滿分60分，建議用時：40分鐘）

一、單項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知（1—ai）（2+i）=b+3i（i為虛數(shù)單位），其中。，6為實數(shù)，則匕的值分別為（）

A.—1,1B.1,—1C.1,1D.—19—1

【答案】A

【解析】由（1—而）（2+i）=b+3i,得2+i—2ai—山？=Z?+3i,得2+a+（l-2a）i=b+3i,所以

2+a=b,<7=-1,

解得《

1—2a=3,b=l.

故選A.

2.歐拉公式/=cos。+isin。由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn),其將自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i與三角函數(shù)cos。,

in

sin。聯(lián)系在一起，被譽為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)z=則2的虛部為（）

A.iB.1C.gD.@

22

【答案】D

in___

【解析】因為2=&與=[￡丫=』=』、因為Ji=cos'+isin^=Y2+，Zi,所以z的虛部為正.

44222

故選D.

3.復(fù)數(shù)z=2sin6+icos0（0cR）對應(yīng)的點在第四象限，則角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因為復(fù)數(shù)z=2sind+icos0（0eR）對應(yīng)的點在第四象限，則匕”0，因此角。是第二象限角?

故選B.

5.如果復(fù)數(shù)z滿足：z+|z|=8+4i,那么z=（）

A.-3+4iB.3+4iC.-5+4iD.5+4i

【答案】B

【解析】設(shè)z=a+6ig,6eR）,則忖="?+上,由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得一+=&解得]

即z=3+4i.

故選B.

二、多項選擇題（本題共1小題，每小題5分，共5分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

5.下列說法正確的是（）

A.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=-l+2i的點位于第二象限

B.若復(fù)數(shù)z滿足z?eR，則zeR

C.若復(fù)數(shù)z=a+歷①力wR）,貝!ja=O且6片0時z為純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)z滿足|z+g-i|=l,貝"2此=3

【答案】ACD

【解析】A選項：復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=-l+2i的點（」,2）位于第二象限，故A正確；

B選項：若z=i,則z2=—leR，但z/R,故B錯誤；

C選項：若復(fù)數(shù)z="+6i（a力eR）,則。=。且6/0時z為純虛數(shù)，故C正確；

D選項：根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知，設(shè)z=a+6i（a,6eR）,則

|z+石-i|=im+6）+S-l）i|="（“+6）2+s-D2=1，所以（a+&）2+3_i）2=],所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點

S，6）的集合為圓心為（-6,1）、半徑為1的圓，所以HI111ax=J（-若＞+F+1=3,故D正確.

故選ACD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中橫線上）

6.已知（a+2）+（療+%―6）i是純虛數(shù)，則實數(shù)加的值為.

【答案】-2

【解析】因為加eR,且（加+2）+（療+加-6）i是純虛數(shù)，貝=…解得根=一2.

、/\7[m+m-6^0

故答案為-2.

7.已知復(fù)數(shù)是z=（加一5根+6）+"-3科，若z是實數(shù)，則7”=；若z是純虛數(shù)，則吁.

【答案】0或3,2

【解析】若z是實數(shù)，貝1J/-3加=0,解得根=0或根=3.

若z是純虛數(shù)，貝！I”/-5〃z+6=0且〃/-3機？0,解得租=2.

故答案為：?；?,2.

8.已知復(fù)數(shù)z滿足憶-[=1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點Z的軌跡為.

【答案】以(0,1)為圓心、1為半徑的圓

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,其中x,yeR,貝i=x+(y-l)i,因為|z-i|=l,可得尤2+(>一產(chǎn)=1，所以

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點Z的軌跡為以(。,1)為圓心，1為半徑的圓.

故答案為：以(0,1)為圓心、1為半徑的圓.

四、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

9.已知復(fù)數(shù)4=(a+i)2,z2=4-3i,其中aeR.

(1)若％=iz2，求。的值；

(2)若五是純虛數(shù)，求，的值.

z?

99除一1二3

【解析】(1)回4=(a+i),z2=4-3i,4=iz2,回(〃+i)=/_]+2山=3+4，從而j4，解得a=2,

所以。的值為2.

⑵依題意得:曾=(〃+2嗖4+3"”"/+8一),因為年是純虛數(shù),所以

4/一6〃—4=0解得4=2或々=-；.

3〃2+8。一3。0

10.在復(fù)平面內(nèi)，。是原點，向量。4對應(yīng)的復(fù)數(shù)Z|=加+(4-病“，(meR).

(1)若點A位于第四象限，求機的取值范圍；

(2)若點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,求向量鈿對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(3)若z?=2cos6+(/l+4sine)i,且ZLZ2,求2的取值范圍.

【解析】(1)由題意Z]=根+(4—加2萬對應(yīng)點A位于第四象限，故4；解得機>2,即根的取值

范圍(2,+8).

(2)點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4=根+(4—冽2?,則關(guān)于實軸的對稱點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z'=m—(4—相2?,則

力對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z'F=%(4-也i-口+(4-也i]=-2(4-叫i.

m=2cosft即X=4sin?e-4sin9=4卜