自動控制原理自控第五章

【授課時間】：、11.20上午三四節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點】：43064114【授課時數(shù)】：2【授課題目】：頻率特性及典型環(huán)節(jié)的頻率特性【教學目標】1、正確理解頻率特性的概念；2、熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線?！窘虒W重難點】重點：典型環(huán)節(jié)的頻率特性難點：典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線【教學內容】復數(shù)的表示形式：(1)代數(shù)式：A=a+bj(2)三角式：A=R(cosφ+jsinφ)(3)指數(shù)式：A=Rejφ(4)極坐標式：A=R∠φ5.1頻率特性一、頻率特性定義頻率特性是控制系統(tǒng)在頻域中的一種數(shù)學模型，是研究自動控制系統(tǒng)的一種工程求解方法。系統(tǒng)頻率特性能間接地揭示系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，指出系統(tǒng)改進方向。頻率特性的定義（1）頻率響應:在正弦輸入作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值稱為頻率響應。（2）頻率特性:頻率響應c(t)與輸入正弦函數(shù)r(t)的復數(shù)比。幅頻特性：輸出響應中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比A(ω)為幅頻特性相頻特性：輸出響應中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的相位之差φ(ω)為相頻特性實頻特性：虛頻特性：RCuruci例5-1已知ui(RCuuci其中，T=RC零初始條件穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量上式表明：對于正弦輸入，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應仍然是一個同頻率正弦信號。但幅值降低，相角滯后。幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)頻率特性的性質1）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學模型。且只適用于線性定常系統(tǒng)。它描述了系統(tǒng)的內在特性，與外界因素無關。當系統(tǒng)結構參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應。從理論上講，系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們仍可以用頻率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。當頻率?改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（?）和相位移?（?）隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲能元件引起的。4）實際系統(tǒng)的輸出量都隨頻率的升高而出現(xiàn)失真，幅值衰減。所以，可以將它們看成為一個“低通”濾波器。5）頻率特性可應用到某些非線性系統(tǒng)的分析中去。二、頻率特性、傳遞函數(shù)、微分方程的關系系統(tǒng)系統(tǒng)頻率特性傳遞函數(shù)微分方程頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。例：頻率特性的求取：（1）根據(jù)定義求取。即對已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復數(shù)比即可得到。（2）根據(jù)傳遞函數(shù)求取。即用s=j?代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。（3）通過實驗的方法直接測得。5.1.3頻率特性的圖示方法頻率特性的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率ω從0到∞變化時頻率響應的幅值、相位與頻率之間關系的一組曲線。常用頻率特性曲線及其坐標系半對數(shù)坐標半對數(shù)坐標伯德圖對數(shù)頻率特性曲線2極坐標極坐標圖奈奎斯特圖幅相頻率特性曲線1坐標系圖形常用名名稱序號1.幅相頻率特性曲線對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個幅頻特性的相角與之對應，幅值與相角在復平面上代表一個向量。當頻率ω從零變化到無窮時，當頻率ω從零變化到無窮時，相應向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是幅相頻率特性曲線，簡稱幅相曲線，又稱Nyquist圖。例：RC電路的幅相頻率特性。因此RC網絡的幅相頻率特性是一個以(0.5,j0)為圓心，以0.5為半徑的半圓。2.對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）又稱為伯德曲線（伯德圖），由對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線組成，是工程中廣泛應用的一組曲線。在半對數(shù)坐標紙上繪制，由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線所組成。半對數(shù)坐標：橫坐標不均勻，而縱坐標是均勻刻度。對數(shù)幅頻相頻橫坐標是ω的對數(shù)分度,縱坐標是L(ω)的線性分度，此坐標系稱為半對數(shù)坐標。采用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點：（1）將低頻段展開，將高頻段壓縮。（2）當系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，簡化運算。 …（3）所有典型環(huán)節(jié)乃至系統(tǒng)的頻率特性可用分段直線近似表示。（4）容易將頻率實驗數(shù)據(jù)用分段直線擬合，從而得到對數(shù)頻率特性或傳遞函數(shù)?？v坐標是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；橫坐標按頻率對數(shù)標尺刻度，但標出的是實際的值，是不均勻的?！@種坐標系稱為半對數(shù)坐標系。在橫軸上，對應于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10，5-50，而軸上所有十倍頻程的長度都是相等的。為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進斜率的概念，即橫坐標每變化十倍頻程（即變化）所對應的縱坐標分貝數(shù)的變化量。5－3典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)：K慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中T>0一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中T>0積分環(huán)節(jié)：1/s延遲環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：；式中ωn>0，0<ζ<1（1）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：G(s)=K=const00K=1K>100K=1K>1K<1比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)K的幅相曲線kj0·對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別是：L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0°（2）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達式為：橫坐標：x=lgω計量單位：dec——一個十倍頻程縱坐標：y=Kx計量單位：dB取ω2=10ω1Δlgω=lgω2-lgω1=lg(10ω1/ω1)=1decΔL(ω)=L(ω2)-L(ω1)=-20lg(10ω1/ω1)=-20dB/dec斜率為：雙重積分：隨著開環(huán)增益的增大，直線逐漸升高。（3）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：頻率特性表達式為：此慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一個以(1/2，j0)為圓心，以1/2為半徑的半圓。采用近似方法，即用漸近線分段表示頻率特性。低頻段：ω<<1/T，ωT<<1，ω2T2可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈-20lg1=0—低頻漸近線在高頻段：ω>>1/T，ωT>>1，1可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈-20lgωT=-20[lgω-lg(1/T)]—高頻漸近線ω的頻率增大10倍時，高頻漸近線斜率為：高頻漸近線具有-20dB/10倍頻程的斜率，記為-20dB/dec或[-20]。高頻漸近線正好在ωT=1處與低頻漸近線相交，交點處的頻率稱為轉折頻率。（4）振蕩環(huán)節(jié)1010(0<ζ<0.707)低頻段：ω<<1/T，ωT<<1，ω2T2可略去在高頻段：ω>>1/T，ωT>>1，1可略去0000-40【授課時間】：【授課形式】：多媒體【授課地點】：43064113【授課時數(shù)】：2【授課題目】：典型環(huán)節(jié)的頻率特性【教學目標】1、熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線；【教學重難點】重點：典型環(huán)節(jié)的頻率特性難點：典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線、開環(huán)幅相特性曲線的繪制【教學內容】（5）微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：000.1000.11012090L(ω)=20lgωφ(ω)=90o斜率為：（6）一階微分環(huán)節(jié)00！高頻放大！抑制噪聲能力下降00！高頻放大！抑制噪聲能力下降頻率特性為：低頻段：ω<<1/τ，ωτ<<1，ω2τ2可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈20lg1=0—低頻漸近線在高頻段：ω>>1/τ，ωτ>>1，1可略去頻率特性可近似為：L(ω)≈20lgωτ=20[lgω-lg(1/τ)]—高頻漸近線漸近線斜率k=20dB/dec（7）二階微分環(huán)節(jié)0dBL(ω)dB0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ζ<0.707時有峰值：（8）一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)定義：傳遞函數(shù)中有右極點、右零點的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)），稱為非最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）。由上圖看出，一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻與慣性環(huán)節(jié)的幅頻完全相同，但是相頻大不一樣。相位的絕對值大，故一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又稱非最小相位環(huán)節(jié)。（9）延遲環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。則有G1(s)=1/G2(s)設，則則，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，對數(shù)幅頻曲線關于0dB線對稱，對數(shù)相頻曲線關于0°線對稱。例：試將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解解:

【授課時間】：2013.11.25、11.27上午三四節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點】：43064113【授課時數(shù)】：2【授課題目】：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性【教學目標】1、掌握開環(huán)奈奎斯特圖的繪制2、掌握開環(huán)Bode圖的繪制；【教學重難點】重點：開環(huán)奈奎斯特圖的繪制、開環(huán)Bode圖的繪制難點：同上【教學內容】5.4系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性一、開環(huán)幅相特性G(s)H(s)G(s)H(s)-R(s)C(s)Gi(s)為除1/sν、k外的其他典型環(huán)節(jié)（2）粗略畫三個特殊點①起點低頻段②終點高頻段③與坐標軸的交點ⅰ曲線與實軸的交點令求得ω值代入中，即可得與實軸的交點。令求得ω值代入中，即可得與虛軸的交點。再取幾個ω點計算A(ω)和φ(ω)，即可得幅相頻率特性的大致形狀。只包含慣性環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)Nyquist圖只包含慣性環(huán)節(jié)的I型系統(tǒng)Nyquist圖只包含慣性環(huán)節(jié)的II型系統(tǒng)Nyquist圖例5-2設系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為已知：K＝10，T1＝1，T2＝5，繪制開環(huán)幅相頻率特性。解：求交點：令解得，ω=0.447rad/s例5-3設某系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為繪制開環(huán)幅相頻率特性。解： 例5-4:繪制的幅相曲線。解：求交點：解得無實數(shù)解，與虛軸無交點曲線如圖所示：二系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制如果已知幾個串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性，則系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性為：步驟：（1）將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為時間常數(shù)表達形式；（2）求20lgK的值，并明確積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v；（3）確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率，并按由小到大排序；（4）求出低頻漸近線的斜率和位置。①低頻段頻率特性為：對數(shù)幅頻特性為：對數(shù)相頻特性為：上述表明：A低頻段的對數(shù)幅頻特性直線的斜率為－20×v(dB/dec)，相頻角度為－v×90°；B當ω=1時，低頻段直線或其延長線（在ω<1的范圍內有轉折頻率）的分貝值為20lgK，這是因為由低頻段的幅頻方程，可得到C低頻段直線（或其延長線）與零分貝線（橫軸）的交點頻率為，對于Ⅰ型系統(tǒng)交點頻率為，Ⅱ型系統(tǒng)交點頻率為；這是因為由低頻段的幅頻方程，可得到于是有：②轉折頻率及轉折后斜率變化量的確定首先在橫坐標軸上將轉折頻率按從低到高的順序標出個轉折頻率。然后，依次在各轉折頻率處改變直線的斜率，改變的多少取決于轉折處環(huán)節(jié)的性質。，經過ωi后，斜率變化量為+20dB/dec。（一階微分環(huán)節(jié)），經過ωk后，斜率變化量為+40dB/dec。（二階微分環(huán)節(jié)），經過ωj后，斜率變化量為-20dB/dec。（慣性環(huán)節(jié)），經過ωl后，斜率變化量為-40dB/dec。（振蕩環(huán)節(jié)）相頻特性的表達式為：其中ω<1/τ且ω<1/T定義：若L(ωc)＝0dB，則ωc稱作剪切頻率，也叫0dB頻率。繪制開環(huán)系統(tǒng)的波特圖一般規(guī)則：寫成典型環(huán)節(jié)之積；找出各環(huán)節(jié)的轉折頻率；畫出各環(huán)節(jié)的漸近線；在轉折頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線；將各環(huán)節(jié)曲線相加即得波特圖。例5－4系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：開環(huán)由三個典型環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻。例5-5：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解：典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)表示的標準形式其對應的頻率特性表達式為由此可見，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性由5個典型環(huán)節(jié)構成，分別為合成后的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性：L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)+L5(ω)(6)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性表達式為逐點計算結果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數(shù)據(jù)11

【授課時間】：2013.11.26、11.29上午一二節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點】：43064114【授課時數(shù)】：2【授課題目】：奈氏穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎【教學目標】1、掌握根據(jù)Bode圖確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、映射定理；3、輔助函數(shù)的構造；4、s平面閉合曲線?（奈氏路徑）的選擇。【教學重難點】重點：、根據(jù)Bode圖確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、s平面閉合曲線?（奈氏路徑）的選擇難點：、根據(jù)Bode圖確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、映射定理【教學內容】最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)根據(jù)零、極點在s平面上分布情況的不同，函數(shù)G(s)可分為最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)。最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有右極點、右零點的系統(tǒng)。非最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有右極點或右零點的系統(tǒng)或者系統(tǒng)帶有延遲環(huán)節(jié)。最小相位系統(tǒng)特點在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角范圍在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。對于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性和相頻特性一一對應，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。例5-6：兩個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（T1>T2）它們的對數(shù)幅頻和相頻特性為顯然,兩個系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同。由圖可見，的變化范圍要比大得多。——最小相位系統(tǒng)——非最小相位系統(tǒng)例5-7已知系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如下，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：由圖可見，低頻段的斜率為?20dB/dec，所以開環(huán)傳遞函數(shù)有一個積分環(huán)節(jié)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的幾種方法：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件—全部閉環(huán)極點均具有負的實部代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—Ruoth判據(jù)由閉環(huán)特征多項式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性不能用于研究如何調整系統(tǒng)結構參數(shù)來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的問題。5.5頻域穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)是利用開環(huán)幅相特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性的圖解方法；可用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，也能計算系統(tǒng)的相對穩(wěn)定指標和研究改善系統(tǒng)性能的方法.一奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎1.映射定理（幅角定理）s為復數(shù)變量，F(xiàn)(s)為s的有理分式函數(shù)。s1代入F(s)得F(s1)，s2代入F(s)得F(s2)；s沿Γs連續(xù)變化一周（不穿過F(s)的零、極點），則F(s)沿封閉曲線ΓF連續(xù)變化一周。Γs包圍一個F(s)的零點，當s1沿Γs順時針連續(xù)變化一周，(s-zi)的相角積累-2π，或者說，ΓF順時針繞F平面原點一周;Γs不包圍F(s)的零點，當s1沿Γs順時針連續(xù)變化一周，(s-zi)不積累角度;Γs包圍Z個F(s)的零點，當S1沿Γs順時針連續(xù)變化一周，(s-zi)的相角積累Z*(-2π)，或者說，ΓF順時針繞F平面原點Z圈。如果：Γs包圍一個F(s)的極點，當s1沿Γs順時針連續(xù)變化一周，因為pi映射到F(s)上是在無窮遠，所以，相對應ΓF逆時針繞F平面零點一周，(s-pi)的相角積累是2π角度；Γs包圍P個F(s)的極點，當s1沿Γs順時針連續(xù)變化一周，s-pi積累的相角為2π*P，或者說，ΓF逆時針繞F平面零點P周；Γs包圍P個F(s)的極點，又包圍Z個F(s)的零點，當s1沿Γs順時針連續(xù)變化一周后，ΓF順時針繞F平面零點（Z-P）周，或：ΓF逆時針繞F平面零點R=（P-Z）周若s平面上的封閉曲線Γs包圍著F(s)的Z個零點，則在F(s)平面上映射的曲線ΓF將按順時針方向圍繞著坐標原點Z周。若s平面上的封閉曲線Γs包圍著F(s)的P個極點，當s沿著s平面上的封閉曲線順時針方向移動一周時，則在F(s)平面上映射的曲線ΓF將按逆時針方向圍繞著坐標原點P周。映射定理(幅角定理)：設s平面上不通過F(s)任何奇異點的某條封閉曲線Γ，它包圍了F(s)在s平面上的Z個零點和P個極點，當s以順時針方向沿封閉曲線Γ移動一周時，則在F平面上相對應于封閉曲線Γ的像ΓF將以順時針的方向圍繞原點旋轉R圈。R與Z、P的關系為:R=Z－P。當Z>P，則R>0，ΓF順時針包圍原點R圈當Z<P，則R<0，ΓF逆時針包圍原點R圈當Z=P，則R=0，ΓF不包圍原點2.輔助函數(shù)F(s)的選擇則定義一個輔助函數(shù)輔助函數(shù)F(s)有如下特點：(1)輔助函數(shù)F(s)是閉環(huán)特征多項式與開環(huán)特征多項式之比，其零點和極點分別為閉環(huán)極點和開環(huán)極點。(2)F(s)的零極點數(shù)目相同，都為n。(3)F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間只差一個常量1，F(xiàn)(s)=1+G(s)H(s)的幾何意義為：F平面的坐標原點就是GH平面的(-1,j0)點。3.s平面閉合曲線?（奈氏路徑）的選擇順時針方向包圍整個s右半面。由于不能通過F(s)的任何零、極點，所以當F(s)有若干個極點處于s平面虛軸（包括原點）上時，則以這些點為圓心，作半徑為無窮小的半圓，按逆時針方向從右側繞過這些點。

【授課時間】：【授課形式】：多媒體【授課地點】：43064113【授課時數(shù)】：2【授課題目】：奈奎斯特判據(jù)與對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)【教學目標】1、了解輔助函數(shù)的構成以及奈氏判據(jù)的推導過程；2、掌握奈氏穩(wěn)定判據(jù)及增補線的繪制。3、了解極坐標圖與伯德圖的對應；4、掌握伯德圖上的穩(wěn)定判據(jù)掌握根據(jù)【教學重難點】重點：奈氏穩(wěn)定判據(jù)、伯德圖上的穩(wěn)定判據(jù)難點：增補線的繪制、穩(wěn)定的判斷【教學內容】二奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)設：——閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式顯然：F(s)的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點奈氏判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞一圈（當ω從-∞→+∞變化時），G(jω)H(jω)曲線逆時針包圍（-1，j0）點P圈。P——為G(s)H(s)位于s右半平面的極點數(shù)；R——G(jω)H(jω)曲線逆時針繞（-1，j0）點圈數(shù)；Z——閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點數(shù)。Z=0，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點在s右半開平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，j0）點。例5-8：已知某系統(tǒng)G(jω)H(jω)幅相特性曲線如下，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定P=1，試分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由ω=0+→+∞變化時G(jω)H(jω)的曲線，根據(jù)鏡像對稱得ω=-∞→0-變化時G(jω)H(jω)的曲線，得到一封閉曲線。G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線逆時針包圍（-1，j0）點一次，即R=1Z=P-R=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例5-9：已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到ω由-∞→+∞變化時，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點，即N=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。說明:如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)含有ν個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為一不封閉曲線，此時為了說明包圍（-1，j0）點的情況，可作輔助處理，即由ω=0+→+∞變化時G(jω)H(jω)的曲線，根據(jù)鏡像對稱得ω=-∞→0-變化時G(jω)H(jω)的曲線，然后從ω=0-開始，對應的G(jω)H(jω)以無窮大為半徑，按逆時針方向繞過角度，與ω=0+曲線相接，成為封閉曲線，按照奈氏判據(jù)判定穩(wěn)定性。例5-10：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)幅相特性曲線。（1）繪制起點、終點（2）與坐標軸交點由于v=1，所以需要ω=0+的位置開始逆時針畫90°的增補線，如圖中虛線所示，計算幅相曲線包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。當，即時，幅相曲線順時針包圍(-1,j0)點1圈，即R=-1.于是Z=P-2R=2，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當，即時，幅相曲線順時針不包圍(-1,j0)點1圈，即R=0.于是Z=P-2R=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，G(jω)H(jω)(ω從-∞→+∞)曲線穿越(-1，j0)點，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越法穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過(-1,j0)點左邊實軸時的情況。正穿越：ω增大時，Nyquist曲線由上而下(相角增加)，穿過(-∞,-1)段實軸，用表示。負穿越：ω增大時，Nyquist曲線由下而上（相角減少）穿過(-∞,-1)段實軸，用表示。對于不含積分環(huán)節(jié)的G(jω)H(jω)曲線對稱實軸。應用中只畫部分。負穿越正穿越負穿越正穿越例5-11：半次穿越：若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)以左的負軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。-1/2次穿越+1/2次穿越-1/2次穿越+1/2次穿越Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當ω由0變化到+∞時，Nyquist曲線在(-1,j0)點左邊實軸上的正負穿越次數(shù)之差等于P/2時(P為系統(tǒng)開環(huán)傳函右極點數(shù))，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應該是N=0。注意：這里對應的ω變化范圍是。例5-12：兩系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知其開環(huán)極點在s右半平面的分布情況，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=2P=0P=2P=0解： 開環(huán)穩(wěn)定 開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定 閉環(huán)穩(wěn)定注意：分析G(jω)H(jω)軌跡穿越(-1,j0)點以左的負實軸。例5-13：已知某系統(tǒng)G(jω)H(jω)幅相特性曲線如下，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定P=1，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：P=1N=N+-N-=1/2Z=P-2N=1-1=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例5-14：兩系統(tǒng)奈氏曲線如圖，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：(a)N=N+-N–=（0-1）=-1，P=0，故Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(b)K>1時，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K<1時，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P=1，故Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；K=1時，奈氏曲線穿過(-1,j0)點兩次，說明有兩個根在虛軸上，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。三對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)是在奈氏圖的基礎上進行的，而作奈氏圖一般都比較麻煩，所以在工程上一般都是采用系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的，這就是對數(shù)頻率判據(jù)。1.Bode圖與Nyquist圖之間的對應關系Nyquist圖上以原點為圓心的的單位圓Bode圖幅頻特性上的0dB線單位圓以外Bode圖L(ω)>0的部分；單位圓內部Bode圖L(ω)<0的部分；Nyquist圖上的負實軸Bode圖相頻特性上的φ(ω)=－180°線奈氏圖上的(-1,j0)點便和伯德圖上的0dB線及-180°線對應起來。Nyquist圖與Bode圖的對應關系(-1,j0)點以左實軸的穿越點Bode圖L(ω)>0范圍內的與－180°線的穿越點正穿越對應于Bode圖φ(ω)曲線當ω增大時，從下向上穿越－180°線；負穿越對應于Bode圖φ(ω)曲線當ω增大時，從上向下穿越－180°線。2.Bode圖上的穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當ω由0變到+∞時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)≥0的頻段內，相頻特性φ(ω)穿越-π線的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為p/2，p為s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)。若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在L(ω)≥0的頻段內，相頻特性φ(ω)在-π線上正負穿越次數(shù)代數(shù)和為零，或者不穿越-π線。Nyquist圖Nyquist圖Bode圖例5-15：開環(huán)特征方程有兩個右根，P=2，試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=2解：P=2P=0P=0正負穿越數(shù)之差（N+-N-）為1Z=P-2N=2-2=0系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定例5-16：開環(huán)特征方程無右根，P=0，試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：正負穿越數(shù)之差為0系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定例5-17已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖。由開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。所以閉環(huán)穩(wěn)定例5-18已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖在處振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻值為閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為閉環(huán)不穩(wěn)定。注意：1、當[s]平面虛軸上有開環(huán)極點時，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無窮小的圓??；[G]平面對應要補充大圓弧。2、N的最小單位為二分之一。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！3.無論開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)稱為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.條件穩(wěn)定系統(tǒng)若開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)P=0，當開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開環(huán)增益）改變時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。

【授課時間】：2013.12.3、12.6上午一二節(jié)【授課形式】：多媒體【授課地點】：43064114【授課時數(shù)】：2【授課題目】：穩(wěn)定裕度和系統(tǒng)閉環(huán)、開環(huán)頻率特性與階躍響應的關系【教學目標】1、掌握穩(wěn)定裕度的計算；2、了解閉環(huán)頻率特性的性能指標；3、掌握系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能、動態(tài)性能及抗干擾性能和開環(huán)頻率特性的關系；【教學重難點】重點：穩(wěn)定裕度的計算、閉環(huán)頻域性能指標；難點：穩(wěn)定裕度的計算、【教學內容】四穩(wěn)定裕度通常用相角裕度?和幅值裕度h表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度(開環(huán)頻率指標)。若Z=P-2N中P=0，則G(jω)過(-1,j0)點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，見右圖：0j0j1-1G(jω)G(jω)曲線過(-1,j0)點時，同時成立！1相角裕度γ剪切頻率：正相角裕度?ImRe1在控制系統(tǒng)的剪切頻率ω正相角裕度?ImRe12、幅值裕度穿越頻率：幅值裕度h：以分貝表示時：含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)增大到原來的h倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。h大于1，則對數(shù)幅值裕度為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。h小于1，則對數(shù)幅值裕度為負值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定，則h>1、?>0。-180°-180°?dB0?正相角裕度0??正幅值裕度-270°-90°?正相角裕度ImRe正幅值裕度1系統(tǒng)穩(wěn)定負幅值裕度負相角裕度負幅值裕度負相角裕度0dB???????-90°-180°-270°B?ImRe負相角裕度負幅值裕度1-1當γ<0時，相位裕度為負，系統(tǒng)不穩(wěn)定。相角裕度和幅值裕度的幾點說明一般而言L(ωc)處的斜率為－20dB/dec時，系統(tǒng)穩(wěn)定。L(ωc)處的斜率為－40dB/dec時，系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，γ也很小。L(ωc)處的斜率為－60dB/dec時，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量，L(ω)在ωc處的斜率為－20dB/dec。為了得到滿意的性能，一般要求：例5-20：一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求：⑴K=1時系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度；⑵調整K使系統(tǒng)的增益裕度為20dB，相位裕度解：⑴幅值裕度→穿越頻率即幅值裕度：相角裕度剪切頻率根據(jù)K=1時的開環(huán)傳遞函數(shù)⑵由題意知→