2024年銅仁市重點中學(xué)高三考前數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

銅仁市重點中學(xué)高三考前熱身新高考數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足iz—2=i,則忖=（）

A.y/2B.73C.2D.75

2.某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的體積為

R40

3

2+3z

3.已知i為虛數(shù)單位，則(l-2z)z()

74.74.47.47

A.—1—lB.-------1C.—+—1D.-—

55555555

4.已知三棱錐P-A3C的頂點都在球。的球面上，PA=叵,PB=V14?AB=4,CA=C3=JI5,PAB±^ABC,

則球0的表面積為（）

107T257r407r507r

A.B.C.D.

3693

5.設(shè)機，〃為直線，￡、夕為平面，則加_L。的一個充分條件可以是（）

A.aL/3,。,m_L幾B.a//j39m.L/3

C.aV/3,ml1/3D.〃ua,mLn

6.等比數(shù)列{q,},若%=4,45=9則為=（)

A.±6B.6C.-6

7.若復(fù)數(shù)z滿足z-石（l+z*=l,復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)是I，則z+I=（）

A.1B.0C.-1D.—z

22

8.若awR,貝!J"a=3”是“x（l+&c）5的展開式中爐項的系數(shù)為90”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4z

9.已知復(fù)數(shù)2=—貝?。﹝對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.已知隨機變量X的分布列是

X123

j_1

Pa

23

貝!|石（2乂+。）=（）

11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)

D.4

c=/(log032),則a,b,C的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在二項式（/+2丫的展開式中，爐的系數(shù)為.

22

14.已知P為橢圓上+匕=1上的一個動點，4(—2,1),6(2,—1),設(shè)直線AP和分別與直線x=4交于4，N

82

兩點，若AABP與AWP的面積相等，則線段0尸的長為.

15.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，且2S"=3&+1),若旬,=她，則左=.

(1y

16.的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

IO

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐尸—A5CD中，四邊形ABC。是矩形，AB^—AD,△P4￡＞為正三角形，且平面B4D_L

2

平面ABC。，E、歹分別為PC、P5的中點.

(1)證明：平面ADM,平面尸5C；

(2)求二面角5—。后一。的余弦值.

18.(12分)設(shè)實數(shù)％。滿足x+y=3.

(1)若卜+3|<x|y—2],求x的取值范圍；

(2)若%>0,y>0,求證：----H---21.

x+1y

19.(12分)在AABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別是b,c,已知(。一J拓)sinA+bsin5=csinC.

(1)求角C的值；

(2)若sinAsinB=￥^,c=2,求AABC的面積.

4

20.(12分)已知函數(shù)g(x)=lnx-/nr-l.

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)=xg(x)在(0,+oo)上存在兩個極值點看，x2,且王＜%,證明In%+111尤2＞2.

21.(12分)對于很多人來說，提前消費的認(rèn)識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍

微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現(xiàn)在銀行貸款也是很風(fēng)靡的，從房貸到車貸

到一般的現(xiàn)金貸.信用卡“忽如一夜春風(fēng)來”，遍布了各大小城市的大街小巷.為了解信用卡在A市的使用情況，某調(diào)

查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進行抽樣分析，得到如下2x2列聯(lián)表(單

位：人)

經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計

40歲及以下153550

40歲以上203050

合計3565100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為A市使用信用卡情況與年齡有關(guān)？

(2)①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中，按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人，然后,

再從這10人中隨機選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；

②將頻率視為概率，從A市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用信用卡的人

數(shù)為X,求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式：K2=--------"(ad-bc)--------,其中〃=。+人+。+].

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

2

P（K..k0）0.150.100.050.0250.010

402.0722.7063.8415.0246.635

22.(10分)在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中，依據(jù)評分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個

分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果，在畢

業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：

優(yōu)秀合格總計

男生6

女生18

合計60

已知在該班隨機抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為工.

3

(1)完成上面的列聯(lián)表；

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系？

（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡單隨機抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析，請

你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.

n^ad-bc^

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K~>k)0.250.100.025

k1.3232.7065.024

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式計算.

【詳解】

解：由題意知，iz=2+i,

.7_2+Z_（2+Z）Z_-1+2Z_

..Z——C——19

i產(chǎn)-1

?*.|z|=|l-2i|="+（_2『=75，

故選：D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法.

2、C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為2的等邊三角形，三棱錐的高為吞，所以該幾何體的體積

y=lx-x2x2x—x^=l,故選C.

322

3、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運算法則，即可求解.

【詳解】

2+3，_2+3i_（2+3，）（2—74.

（l-2z）Z—2+i—（2+z）（2-z）~~5+'51'

故選：A.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題題.

4、D

【解析】

由題意畫出圖形，找出外接圓的圓心及三棱錐P-3CZ）的外接球心。，通過求解三角形求出三棱錐P-8C。的

外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖；設(shè)A5的中點為O；

'：PA=y[i，PB=714?AB=4,

.?.△班3為直角三角形，且斜邊為A5,故其外接圓半徑為：r=gAB=AZ>=2；

2

設(shè)外接球球心為。；

VCA=CB=710，?PAB±^ABC,

.?.COLHB可得。_1_面如3；且GC=Jc42—.=府

.?.0在CO上；

L5

故有：AO2=OD2+AD1^R2=（76-/?）2+/=火=需;

50%

...球。的表面積為:47tA2=4x

7r3

故選：D.

c

【點睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計算能力，屬于中檔題.

5^B

【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

對于A選項，當(dāng)a_L，，a/3=n,機_1_〃時，由于根不在平面￡內(nèi)，故無法得出

對于B選項，由于a//月，mL/3,所以相_1_(/.故B選項正確.

對于C選項，當(dāng)加//分時，機可能含于平面戊，故無法得出

對于D選項，當(dāng)"ua,〃z_L〃時，無法得出7“J_a.

綜上所述，加，。的一個充分條件是“a//〃，mL/3?

故選：B

【點睛】

本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.

【詳解】

2

由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，a3-a15=a9,

所以為=土=IA/36=+6,

而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以為=6,

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用，注意項的符號特征，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出z,再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】

解：?：z-gi-6zi=\，

.1+亞16.

??Z-.....----1---I9

1-V3J22

1V3.

則z=--------------1

2--2

z+z=—1，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，考查共朝復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

求得x(l+OX)5的二項展開式的通項為c；Xak-xi+1，令k=2時同得V項的系數(shù)為90,BPCx/=90，求得a，即可得出

結(jié)果.

【詳解】

k+｝

若。=3貝！Ix(l+公)5=x(l+3x)5二項展開式的通項為《*3仙x，令左+1=3,即左=2,則/項的系數(shù)為

C；x32=90，充分性成立;當(dāng)x(l+axf的展開式中V項的系數(shù)為叫則有C；乂/=90，從而a=±3，必要性不成立.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識，考查考生的分析問題的能力和計算能力，難度較易.

9、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運算化簡z,由此求得z對應(yīng)點所在象限.

【詳解】

4z(l-z),、，、

依題意z=\J=2，(_"=2+2，,對應(yīng)點為(2,2),在第一象限.

1+217

故選A.

【點睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

利用分布列求出。，求出期望E（X）,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

由分布列的性質(zhì)可得!+工+。=1,得。=！，所以，E（X）=lx-+2x-+3x-=-,

236''2363

因此，E（2X+tz）=E（2X+1U2E（X）+1=2x|+|=|.

故選：C.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查.

11,C

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進一步求出

幾何體的體積.

【詳解】

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：

該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，

如圖所示：

故選：C.

【點睛】

本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

可判斷函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，且2?3〉l>0.2°3〉0〉logo32,所以c<b<a.

【詳解】

03

/(%)=￡匚=1———在R上單調(diào)遞增，且2°3>1>O.2>0>log032,

eA+1el+1

所以c<Z?<a.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運算求解

能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、60

【解析】

直接利用二項式定理計算得到答案.

【詳解】

22

二項式(%+2了的展開式通項為：Tr+l=C；(X)612,=C)12g.2r,

取r=2,則爐的系數(shù)為屐-22=60.

故答案為：60.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

14、叵

4

【解析】

先設(shè)P點坐標(biāo)，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關(guān)系，這個比例關(guān)系又可用線段上點的坐標(biāo)表示出

來，從而可求得點P的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)，然后可得|。尸|.

【詳解】

如圖，設(shè)「（/，為），-2V2<x0<2y/2,無0=±2,

由SAAB尸=，得g|以||尸@sinZAPB=卜inZMPN,

4—九015

|PA|\PN\|X0+2|

由sinZAPB=sinZMPN*0^.,=7—7，:.T--------,

1PMi回|4-x0|

r227

又P在橢圓上，.?.E+&=1,*=一,

8216

【點睛】

本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關(guān)系，解題是由把線段長的比例關(guān)系用點

的橫坐標(biāo)表示.

15、9

【解析】

用〃—1換25“=3（%+1）中的"，得2S〃T=3%I+3（〃N2）,作差可得4=3%（〃？2）,從而數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)

列，再由左=%=/即可得到答案.

%

【詳解】

由2s“=+3,得2S“T=3al+3("22),兩式相減，得2an=3an-3an_1,

即%,=3%5?2）；又2si=3%+3,解得q=—3,所以數(shù)列｛4｝為首項為-3、

公比為3的等比數(shù)列，所以左=9=d=9.

故答案為：9.

【點睛】

本題考查已知4與S”的關(guān)系求數(shù)列通項的問題，要注意〃的范圍，考查學(xué)生運算求解能力，是一道中檔題.

16、5670

【解析】

根據(jù)二項式展開的通項，可得二項式系數(shù)的最大項，可求得其系數(shù).

【詳解】

二項展開式一共有9項，所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第5項，系數(shù)為3,=5670.

故答案為：5670

【點睛】

本題考查了二項式定理展開式的應(yīng)用，由通項公式求二項式系數(shù)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)在

4

【解析】

(1)取AD中點。，中點〃，連接PO,OH,PH.設(shè)EF交PH于G,則G為尸7/的中點，連接。G.

通過證明證得。G,平面尸5C,由此證得平面平面「5c.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面。EC和平面或)￡的法向量，計算出二面角3—OE—C的余弦值.

【詳解】

(1)取AO中點。，BC中點,H,連接PO,OH,PH.

設(shè)EF交PH于G,則G為的中點，連接。G.

設(shè)A￡>=2,則A5=G，PO=6,：.OGLPH.

由已知AD_LPO,ADLOH,二AD,平面PQH,：.AD±OG.

VEF//-BC//-AD,：.EFYOG,

=2=2

,:EFcPH=G,，OG,平面「5C,

,/OGu平面ADE產(chǎn)，二平面ADEF，平面「5C.

（2）由（1）及已知可得尸0,平面ABC。，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系O-孫z,設(shè)AO=2,則。（0,0,6,

1⑻

（）（）（后一）OC=(6,0,0),BD=(-A/3,2,0),

CA1,O,D0,l,0,31,0,12'2,2)

6x=0

設(shè)平面DEC的法向量為加=(x,y,z),，<616令y=省得力=（0,8,1）.

——x——yH-----z=0

L222

G1N_

-x--y+—z=0n

設(shè)平面的法向量為〃=（九0，%"0）,z0z0z0令%=2得”=(2,73,-lj,

、-后％+2%=0

【點睛】

本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

18、（1）（3,+8）（2）證明見解析

【解析】

（1）依題意可得|x+3|<x|l—X,考慮到x>0,則有x+3<x|l—x|再分類討論可得;

(2)要證明占+；?1,即證(x+l)+y?(x+l)y,即證(x+l)yW4.利用基本不等式即可得證;

【詳解】

解：(1)由k+3|<x|y_2|及尤+y=3,得,+3|<乂1一乂，

考慮到x>0,則有x+3<x|l—x|,它可化為

0<x<1,[%>1,

<<

x+3<x(l-x),x+3<x(x-l).

0<x<1,X>1,

即《c或W

X2+3<0,%?—2%—3>0.

前者無解，后者的解集為{x|x>3},

綜上，x的取值范圍是(3,+8).

(2)要證明士+；21,即證(x+l)+y?(x+l)y,

由x+y=3,得(x+l)+y=4,即證(x+l)yW4.

_22

因為(x+l)y<—；)+y=4(當(dāng)且僅當(dāng)％=1,y=2時取等號).

所以(x+l)yW4成立，

,11、，一

故----+-21成乂.

x+1y

【點睛】

本題考查分類討論法解絕對值不等式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

19、(1)C=-；(2)

1+A/3

6

【解析】

(1)由已知條件和正弦定理進行邊角互化得力+〃一°2=6ab，再根據(jù)余弦定理可求得值.

(2)由正弦定理得a=4sinA,6=4sin3,代入得仍=4(1+6)，運用三角形的面積公式可求得其值.

【詳解】

(1)由(。一瘋?)sin4+bsinB=csinC及正弦定理得(a-,BPa2+Z?2-c2=y/3ab

由余弦定理得COSC="+"-L=且,0<C<7T,:.C=-.

2ab26

2R=——=——-4

(2)設(shè)AABC外接圓的半徑為R,則由正弦定理得sin。一.兀一，

sin—

6

二.a=27?sinA=4sinA,Z?=27?sinB=4sinB,/.Q/?=16sinAsin3=4(1+A/3)

<S*214BC=5absinC,=—x4(1+,\/3)x—=1+,\/3.

【點睛】

本題考查運用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，關(guān)鍵在于熟練地運用其公式，合理地選擇進行邊角

互化，屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)若切<0,則g(x)在定義域內(nèi)遞增；若機>0,則g(x)在(0,，］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)

\ml)

證明見解析

【解析】

]—fyuQ

(1)g'(%)=-----,分切K0,切>0討論即可；

X

八InxInxInx+InxInx-InxInx-Inx2/、

(2)由題可得到2加=—L=—工9=—1-----工9=—1------9故只需證一!---------0>------,(%<%2)，即

玉X2%!+X2%!-X2再一%2玉+%2

工一1

ln%<2?氏一，采用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.

“上+1

x2

【詳解】

.,/、\-rnx

由已知，g(x)=-----，

若加40,則g(%)在定義域內(nèi)遞增；

若m>0,則g(x)在(0,工］上單調(diào)遞增，在(工,+s］上單調(diào)遞減.

1m)\m)

(2)由題意/(%)=犬In犬一加九2一%，%>0

對了(%)求導(dǎo)可得/(x)=In%-27nX,x>0

從而再，%是/'(%)的兩個變號零點，因此

2租_InXj_Inx2_InXj+Inx2_In再一Inx2

Mx2再+x2

Inx-lnx2

下證：寸丁9不

工-1

即證In土<2?生一

々A+i

%

令/=—-,即證：h(f)—(^t+l)ln?—2/+2,tE(0,1)

1t—\

對丸Q)求導(dǎo)可得/?)=lnf+——1,re(0,1),昭?)=一，因為。</<1

tt

故/?)<0,所以"(/)在(0』)上單調(diào)遞減，而"(1)=0,從而"?)〉0

所以“?)在(0,1)單調(diào)遞增，所以〃?)<〃(1)=0,即帖)<0

于是InX[+Inx2>2

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式，考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道有一定難度

的壓軸題.

2

21、(1)不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為A市使用信用卡情況與年齡有關(guān)；(2)①一；②分布列見解析,

3

E(X)=|,D(X)=||

【解析】

⑴計算K?再對照表格分析即可.

⑵①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有3人，偶爾或不用信用卡的有7人，再根據(jù)超幾何分布的方法計算3

人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.

②利用二項分布的特點求解變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差即可.

【詳解】

2

(1)由列聯(lián)表可知,K=10°X(20X35-15X30).工r，因為i?99<2.706,

35x65x50x50

所以