函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

3.2.1單調(diào)性與最大(小)值（第1課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容：借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解它們的作用和實(shí)際意義。2.內(nèi)容解析：（1）內(nèi)容的地位函數(shù)的單調(diào)性是人教版必修第一冊(cè)第三章“函數(shù)的基本性質(zhì)”的第一節(jié)內(nèi)容，從整體性來(lái)看它的地位：函數(shù)描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，變化中的不變性，變化中的規(guī)律性就是函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要作用。函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)在函數(shù)圖象中，呈現(xiàn)出上升和下降的趨勢(shì)。（2）知識(shí)的上下聯(lián)系函數(shù)橫向?qū)Ρ龋撼踔杏脠D像上升和圖像下降來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性，這為學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性提供了經(jīng)驗(yàn)和依據(jù)。本節(jié)內(nèi)容，我們從圖象、數(shù)量、文字語(yǔ)言回顧函數(shù)的單調(diào)性，從而發(fā)現(xiàn)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言、定義?？v向?qū)Ρ龋簡(jiǎn)握{(diào)性這節(jié)課是函數(shù)基本性質(zhì)的第一節(jié)，在之前學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念與表示，認(rèn)識(shí)了函數(shù)的定義域、值域、分段函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，這些知識(shí)為學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性做鋪墊。對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究也為后續(xù)學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)提供了方法。詳見(jiàn)如圖：函數(shù)列表法圖象法解析法函數(shù)的表示函數(shù)的概念冪函數(shù)應(yīng)用函數(shù)的概念與表示函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性單調(diào)性列表法圖象法解析法函數(shù)的表示函數(shù)的概念冪函數(shù)應(yīng)用函數(shù)的概念與表示函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性單調(diào)性背景背景初中已學(xué)的函數(shù)概念初中已學(xué)的函數(shù)概念客觀世界中的變量關(guān)系客觀世界中的變量關(guān)系最大（?。┲底畲螅ㄐ。┲岛瘮?shù)的三要素函數(shù)的三要素（3）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法從函數(shù)f(x)=x2的圖象到橫縱坐標(biāo)關(guān)系刻畫，到任意點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系刻畫，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；從具體的函數(shù)f(x)=x2，f(x)=|x|，f(x)=x2等圖象特征到一般的函數(shù)特征的刻畫，體現(xiàn)了特殊到一般的思想。（4）內(nèi)容的育人價(jià)值通過(guò)觀察具體函數(shù)的圖象上升和下降的趨勢(shì)，提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)；經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式的符號(hào)表達(dá)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的生成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。（5）教學(xué)重點(diǎn)基于以上分析，本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言刻畫。二、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，對(duì)它們都研究了函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減?。┑囊?guī)律。從而能夠理解函數(shù)圖象呈上升或下降的趨勢(shì)可以用“y隨著x的增大而增大（減?。边@樣的自然語(yǔ)言來(lái)描述。高中需要引入符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這種規(guī)律。但學(xué)生第一次接觸符號(hào)語(yǔ)言，對(duì)他們來(lái)說(shuō)有一定的難度。在教學(xué)過(guò)程中，可以利用學(xué)生所熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)等來(lái)分析，并借助表格、信息技術(shù)——幾何畫板給學(xué)生直觀地展示函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減?。┑倪^(guò)程。數(shù)形結(jié)合地提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出單調(diào)性的定義，再通過(guò)辨析、練習(xí)幫助學(xué)生體會(huì)單調(diào)性的應(yīng)用?；谝陨戏治?，本課時(shí)的難點(diǎn)是：符號(hào)語(yǔ)言的引入，對(duì)“任意”“都有”等涉及無(wú)限取值的語(yǔ)言的理解和使用。三、教學(xué)支持條件分析借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示函數(shù)值隨自變量x增大而變化的過(guò)程，強(qiáng)化了定義的理解，突破教學(xué)的重難點(diǎn)，幫助學(xué)生深度理解所學(xué)知識(shí)。四、教學(xué)過(guò)程（一）問(wèn)題導(dǎo)入問(wèn)題1：觀察下面各個(gè)函數(shù)的圖象，說(shuō)說(shuō)圖象有什么特點(diǎn)或變化規(guī)律？它們分別反映了函數(shù)的哪些性質(zhì)？教師活動(dòng)：讓學(xué)生觀察圖象，并點(diǎn)名讓學(xué)生回答，從學(xué)生的回答中幫她分類得到單調(diào)性和奇偶性。學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)圖象，觀察得到答案。 （二）新知探究環(huán)節(jié)一：研究二次函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性問(wèn)題2：你能用數(shù)量去刻畫這種關(guān)系嗎？x???432101234???f(x)=x2???16941014916???教師活動(dòng)：讓學(xué)生觀察表格，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律。提問(wèn)f(x)=x2的定義域是什么，從而讓學(xué)生明白x的取值有無(wú)數(shù)個(gè)。學(xué)生活動(dòng)：同桌之間互相討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律x＞0時(shí)y隨著x的增大而增大，x＜0時(shí)y隨著x的增大而減小。能夠回答出f(x)=x2的定義域是R。追問(wèn)：如果x取任意值還會(huì)有這樣的規(guī)律嗎？教師活動(dòng)：通過(guò)幾何畫板進(jìn)行演示，并讓學(xué)生觀察x＞0時(shí)，A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)有怎樣的變化。從而讓學(xué)生知道橫坐標(biāo)x增大時(shí)，縱坐標(biāo)y也增大。再讓學(xué)生觀察x＜0時(shí)，A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)又有怎樣的變化。從而得到橫坐標(biāo)x增大時(shí)，縱坐標(biāo)y減小。學(xué)生活動(dòng)：仔細(xì)觀察動(dòng)畫，總結(jié)出規(guī)律。追問(wèn)：你能用符號(hào)語(yǔ)言刻畫出這種變化規(guī)律嗎？教師活動(dòng)：讓學(xué)生通過(guò)圖象，小組討論，嘗試寫出圖象上升的符號(hào)語(yǔ)言。學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)教師的引導(dǎo)，能夠大致用符號(hào)語(yǔ)言表示出圖象上升的情況。追問(wèn)：你能說(shuō)明為什么f(x1)＜f(x2)嗎？教師活動(dòng)：提示學(xué)生用之前所學(xué)的什么知識(shí)可以比較兩個(gè)數(shù)的大??？讓學(xué)生嘗試寫出步驟。學(xué)生活動(dòng)：能很快反應(yīng)出來(lái)利用作差法，并寫出步驟。追問(wèn)：類比剛才圖象上升的符號(hào)語(yǔ)言，你能寫出圖象下降的符號(hào)語(yǔ)言嗎？教師活動(dòng)：跟著學(xué)生一起寫出來(lái)。學(xué)生活動(dòng)：跟著教師的思路，說(shuō)出符號(hào)語(yǔ)言。追問(wèn)：你能說(shuō)明為什么f(x1)＞f(x2)嗎？學(xué)生活動(dòng)：有了剛才的舉例，能很快證明f(x1)＞f(x2)。環(huán)節(jié)二：思考：1.當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)=|x|有怎樣的單調(diào)性？2.當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)=?x2有怎樣的單調(diào)性？教師活動(dòng)：讓學(xué)生觀察圖象，并點(diǎn)名讓學(xué)生回答問(wèn)題。學(xué)生活動(dòng)：類比二次函數(shù)，能較快地說(shuō)出答案。（三）講授新課環(huán)節(jié)一：探究單調(diào)遞增的定義師生活動(dòng)：根據(jù)二次函數(shù)圖象上升的符號(hào)語(yǔ)言，一起總結(jié)出單調(diào)遞增的定義，指出什么是單調(diào)增區(qū)間。在PPT展示單調(diào)遞增的圖示。環(huán)節(jié)二：探究單調(diào)遞減的定義師生活動(dòng)：類比單調(diào)遞增的定義，得出單調(diào)遞減的定義。并指出單調(diào)減區(qū)間，給出單調(diào)遞減的圖示。并得出單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，只針對(duì)于定義域的某一區(qū)間上而言。環(huán)節(jié)三：探究增（減）函數(shù)的定義提問(wèn)：如果一個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域都是單調(diào)遞增（減）的，我們把這個(gè)函數(shù)叫做什么？師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行思考討論，師生總結(jié)出增（減）函數(shù)的定義。（四）思考1.設(shè)A是區(qū)間I上某些自變量的值組成的集合，而且?x1,x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，我們能說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？教師活動(dòng)：提示學(xué)生可以從自己熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)入手。學(xué)生活動(dòng)：經(jīng)過(guò)思考討論，可以回答出不能，并舉出二次函數(shù)的例子。2.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？教師活動(dòng)：找兩名學(xué)生回答以上問(wèn)題。學(xué)生活動(dòng)：能夠分別舉出一次函數(shù)和二次函數(shù)作為例子。（五）課堂檢測(cè)課本P79練習(xí)2.根據(jù)定義證明函數(shù)f(x)=3x+2是增函數(shù).教師活動(dòng)：讓學(xué)生嘗試寫課本習(xí)題，給他們提供思路，并通過(guò)走到位置上查看學(xué)生寫的情況。對(duì)于大部分學(xué)生寫錯(cuò)的地方進(jìn)行講解，并將步驟板書在黑板上，最后再用PPT展示答案。學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)教師的思路能夠?qū)懗霾糠执鸢?，但還存在一些細(xì)節(jié)錯(cuò)誤。（六）講授新課總結(jié)利用定義判斷（證明）函數(shù)單調(diào)性的步驟：①取值：任取x1,x2∈I，且x1<x2；②作差：f(x1)f(x2)；③變形（通常所用方法：因式分解、配方、通分、分子(母)有理化等）；④定號(hào)：確定f(x1)f(x2)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性（七）課堂小結(jié)師生共同總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)。①單調(diào)性的定義②增