專題20 立體幾何解答題分類練（原卷版）

專題20立體幾何解答題分類練一、長(zhǎng)度、面積及體積的計(jì)算1.（2023屆安徽省安慶市高三第三次模擬）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，且．記的中點(diǎn)為，若在線段上（異于、兩點(diǎn)）．

(1)若點(diǎn)是中點(diǎn)，證明：面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)．2.（2024屆江蘇省南通市如東高三上學(xué)期學(xué)情檢測(cè)）勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，對(duì)于培育社會(huì)主義建設(shè)者和接班人具有重要戰(zhàn)略意義.為了使同學(xué)嫻熟把握肯定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)制造價(jià)值，某一般高中組織同學(xué)到工廠進(jìn)行實(shí)踐勞動(dòng).在設(shè)計(jì)勞動(dòng)中，某同學(xué)欲將一個(gè)底面半徑為20cm，高為40cm的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).(1)求該圓柱的側(cè)面積的最大值；(2)求該圓柱的體積的最大值.3.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三其次次雙基檢測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面分別為棱的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.二、平行關(guān)系的證明4.（2024屆安徽省江淮十校高三第一次聯(lián)考）如圖，在五面體中，四邊形為正方形，為正三角形，，.

(1)若平面平面，證明：；(2)求二面角的余弦值.5.（2024屆山西省忻州市名校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.6.（2023屆四川省綿陽(yáng)市涪城區(qū)南山中學(xué)高三仿真）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．

(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長(zhǎng)及四棱錐D－ABEF的體積．三、垂直關(guān)系的證明7.（2023屆四川省南充高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8.（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，，平面平面ABCD，且，，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．9.（2024屆廣東仲元中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，且二面角與二面角都是.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.10.（2024屆廣西百色市貴百聯(lián)考高三上學(xué)期9月月考）四邊形為菱形，平面，，，．

(1)設(shè)中點(diǎn)為，證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的大?。摹⒕€面角的計(jì)算11.（2023屆河南省部分名校高三仿真模擬）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.12．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)與棱交于點(diǎn)．

(1)試用所學(xué)學(xué)問(wèn)確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．13．（2024屆湖南省三湘創(chuàng)新進(jìn)展聯(lián)合體高三上學(xué)期9月月考）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：．(2)若二面角的平面角為，G是線段PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線DG與平面PAB所成角的最大值．五、二面角的計(jì)算14.（2024屆新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上學(xué)期開學(xué)考試）在長(zhǎng)方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.15．（2024屆江西省吉安市第三中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．

(1)證明:平面．(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2024屆江蘇省南京市第九中學(xué)2高三上學(xué)期學(xué)情檢測(cè)）如圖，在四棱柱中，，，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)若為線段的中點(diǎn)，直線與平面所成角為，求二面角的正弦值.17．（2024屆湖北省宜荊荊恩高三9月起點(diǎn)聯(lián)考）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，，且平面.設(shè)P，Q，R分別為棱，，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成的角的余弦值.六、距離問(wèn)題18.（2023屆海南省高三全真模擬）如圖，在平面四邊形中，，，將沿向上折起，使得平面與平面所成的銳二面角的平面角最大．

(1)求該幾何體中任意兩點(diǎn)間的距離的最大值；(2)若，垂足為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，證明：平面平面．19.（2023屆陜西省寶雞市高三下學(xué)期?？迹┤鐖D，在長(zhǎng)方體中，，和交于點(diǎn)為AB的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)已知與平面所成角為，求（?。┢矫媾c平面的夾角的余弦值；（ⅱ）點(diǎn)到平面的距離.七、立體幾何探究性問(wèn)題與開放問(wèn)題20.（2024屆北京市清華高校附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在梭和棱上，且為棱中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)從下面兩個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條作，求二面角的余弦值．①；②．21.（2023屆福建省寧德第一中學(xué)高三一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．(1)若為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積；(2)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，假如存在，求出的值，假如不存在，說(shuō)