山東省聊城市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題含解析

PAGE31-山東省聊城市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題（含解析）一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再依據(jù)補集與交集的定義計算可得；【詳解】解：因為，所以或所以又所以故選：A【點睛】本題考查一元二次不等式的解法以及集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程肯定有根，已知方程的一個根為1+i(i為虛數(shù)單位)，則()A.1-i B.-1+i C.2i D.2+i【答案】B【解析】【分析】利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系，再依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計算即可得出．【詳解】解：是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，也是此方程的一個虛根，．所以故選：B【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．3.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別推斷的范圍，即可得解；【詳解】解：因為，，又，即，，即，所以，故選：D【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.2024年是脫貧攻堅年，為順當(dāng)完成“兩不愁，三保障”，即農(nóng)村貧困人口不愁吃、不愁穿，農(nóng)村貧困人口義務(wù)教化、基本醫(yī)療、住房平安有保障，某市擬派出6人組成三個幫扶隊，每隊兩人，對脫貧任務(wù)較重的甲、乙、丙三縣進行幫扶，則不同的派出方法種數(shù)共有()A.15 B.60 C.90 D.540【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平均分組的方法計算可得；【詳解】解：依題意，首先將人平均分成3組，再將三組進行全排列即可，所以全部可能的派出方法有（種）故選：C【點睛】本題考查平均分組安排問題，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線，則是雙曲線C的離心率大于的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件、必要條件的定義推斷可得；【詳解】解：因為雙曲線，若，則，，，所以，故充分性成立；若，則，，，所以，故必要性不成立；故是雙曲線C的離心率大于的充分不必要條件，故選：A【點睛】本題考查充分條件、必要條件的定義的應(yīng)用，雙曲線的離心率的計算，屬于基礎(chǔ)題.6.在年女排世界杯競賽中，中國隊以十一連勝的驕人成果奪得了冠軍，勝利衛(wèi)冕，收到習(xí)近平總書記的賀電，團結(jié)協(xié)作、堅韌拼搏是中國女排精神，為學(xué)習(xí)女排精神，、兩校排球隊進行排球友情賽，實行五局三勝制，每局都要分出輸贏，依據(jù)以往閱歷，單局競賽中校排球隊勝校排球隊的概率為，設(shè)各局競賽相互間沒有影響，則在此次競賽中，四局結(jié)束競賽的概率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，分為若校排球隊勝，即校前三局中贏了局，且校還贏了第四局和若校排球隊勝，即校前三局中贏了局，且校還贏了第四局這兩種狀況，分別計算概率，即可求出結(jié)果.【詳解】解：四局結(jié)束競賽可分為校排球隊勝和校排球隊勝兩種狀況.若校排球隊勝，即校前三局中贏了局，且校還贏了第四局，則概率；若校排球隊勝，即校前三局中贏了局，且校還贏了第四局，則概率.則四局結(jié)束競賽的概率故選：D.【點睛】本題考查獨立重復(fù)試驗的概率計算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.7.我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，，，，平面與平面間的距離為，則該芻童外接球的體積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】假設(shè)為芻童外接球的球心，連接,交于點，連接,交于點，由球的幾何性質(zhì)可知，，在同一條直線上，由題意可知，平面，平面，設(shè)，利用勾股定理和球的半徑相等的條件列式，求出的值，進而求出外接球的半徑，即可求出體積.【詳解】解：假設(shè)為芻童外接球的球心，連接,交于點，連接,交于點，由球的幾何性質(zhì)可知，，在同一條直線上，由題意可知，平面，平面，.設(shè)，在中，，在矩形中，...在中，，在矩形中，...設(shè)外接球的半徑，，解得.則.即.則該芻童外接球的體積.故選：C.【點睛】本題考查幾何體的外接球體積的求法，考查空間想象實力，找到球心是關(guān)鍵，屬于中檔題.8.隨機變量ξ的分布列為：012其中，下列說法不正確的是()A. B.C.D(ξ)隨b的增大而減小 D.D(ξ)有最大值【答案】C【解析】【分析】依據(jù)分布列的性質(zhì)得正確；依據(jù)期望公式和方差公式計算期望和方差，依據(jù)結(jié)果分析可得答案.【詳解】依據(jù)分布列的性質(zhì)得，即，故正確；依據(jù)期望公式得，故正確；依據(jù)方差公式得，因為，所以時，取得最大值，故不正確，正確；故選：C【點睛】本題考查了分布列的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望與方差公式，屬于基礎(chǔ)題,二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9.居民消費價格指數(shù)，簡稱CPI，是一個反映居民消費價格水平變動狀況的宏觀經(jīng)濟指標(biāo).某年的，以下是年居民消費價格指數(shù)的柱形圖.從圖中可知下列說法正確的是()A.年居民消費價格總體呈增長趨勢B.這十年中有些年份居民消費價格增長率超過3%C.2009年的居民消費價格出現(xiàn)負增長D.2011年的居民消費價格最高【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)的定義以及柱形圖，對四個選項逐個分析可得答案.【詳解】由柱形圖可知，年的均大于100，說明其中每一年的居民消費價格都大于前一年的居民消費價格，所以年居民消費價格總體呈增長趨勢是正確的.故正確；2009年的的值小于100，說明當(dāng)年的居民消費價格低于2008年的居民消費價格，所以2009年的居民消費價格出現(xiàn)負增長是正確的，故正確；由柱形圖可知，2010年的居民消費價格的增長率為，2011年的居民消費價格的增長率為，都超過了，故正確；由柱形圖可知，2011年的居民消費價格的增長率最高，從年每年的居民消費價格都在增長，所以2024年的居民消費價格才是最高的，故不正確.故選：ABC【點睛】本題考查了對柱形圖的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的為()A.函數(shù)有三個零點B.點(1，0)是函數(shù)圖象的對稱中心C.函數(shù)的極大值點為D.存在實數(shù)a，使得函數(shù)為增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】令函數(shù)等于零即可求出零點個數(shù)，可推斷出選項A；由可得出函數(shù)圖像關(guān)于點(1，0)中心對稱，可推斷出選項B；由導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出最大值點，可推斷出選項C；依據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷出是否存在實數(shù)a，使得，可推斷出選項D.【詳解】，令，則或或，所以函數(shù)有三個零點，所以A正確；，，所以，所以函數(shù)圖像關(guān)于點(1，0)對稱中心，所以B正確；求出的導(dǎo)函數(shù)，令，則或，令，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)有極大值，所以函數(shù)的極大值點為，所以C正確；假設(shè)函數(shù)為增函數(shù)，則恒成立，由上可知當(dāng)或時，，若要滿意，則需在和上恒成立，圖像如下，如圖所示函數(shù)在上不行能恒成立，所以不存在這樣的實數(shù)a，所以D錯誤.故選：ABC【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的零點，對稱中心，極值以及單調(diào)性等問題，考查學(xué)生綜合分析問題的實力.11.已知拋物線過點則下列結(jié)論正確的是()A.點P到拋物線焦點的距離為B.過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q，則△OPQ的面積為C.過點P與拋物線相切的直線方程為D.過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N點則直線MN的斜率為定值【答案】BCD【解析】【分析】先依據(jù)拋物線過點，求得拋物線方程.對于A，利用求解驗證.對于B，設(shè)，與聯(lián)立，利用求解驗證.對于C，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立，利用求解驗證.對于D，設(shè)，與聯(lián)立，求得點，同理，利用斜率公式求解驗證.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為：，焦點坐標(biāo)為對于A，，故A錯誤.對于B，，所以，與聯(lián)立得：，所以，所以，故B正確.對于C，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得：，，解得，所以切線方程為，故C正確.對于D，依題意斜率存在，設(shè)，與聯(lián)立得：，所以，即，則，所以點，同理，所以，故D正確.故選：BCD【點睛】本題主要考查拋物線的方程求法，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系以及定值問題，還考查了運算求解的實力，所以中檔題.12.設(shè)函數(shù)是定義域為R，且周期為2的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，1]上，，其中集合，則下列結(jié)論正確的是()A.B.在[2m，2m+1](m∈N)C.在內(nèi)單調(diào)遞增D.的值域為[0，1]【答案】AC【解析】【分析】A.利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解.B.當(dāng)時，[2m，2m+1]，取特別值驗證.C.依據(jù)，且，則，，由求解.D.依據(jù)特別點驗證.【詳解】A.，故正確.B.當(dāng)時，[2m，2m+1]，因為在[0，1]上，，當(dāng)時，，，所以不單調(diào)遞增，故錯誤.C.因為，且，則，，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故正確.D.當(dāng)時，，但從圖象上挖走時，若時，解得，所以[0，1]，的值域不是[0，1]，故錯誤.故選：AC【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了分析轉(zhuǎn)化求解問題的實力，屬于中檔題.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則______.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，由已知角與未知角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，再由三角恒等變換求值即可.【詳解】因為，則，且，所以.故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)中給值求值問題，留意已知角與未知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化，屬于簡潔題.14.已知，若，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由已知分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及，可計算，進而分別構(gòu)造，，再由雙勾函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】已知分段函數(shù)在兩端區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)，若，則必定分屬兩段內(nèi)，不妨設(shè)，則，即當(dāng)時，令，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時a=e（不符合題意），當(dāng)時，令，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，此時.故的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查在分段函數(shù)的圖象下由函數(shù)值相等轉(zhuǎn)化自變量關(guān)系，還考查了構(gòu)造函數(shù)求最值，屬于較難題.15.在中，已知，M為BC的中點，N在AC上，且與BN相交于點P，則cos∠MPN=______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)M為BC的中點，，得到，，從而有，再依據(jù)三點共線，解得，得到，同理得到，進而得到，然后利用平面對量的數(shù)量積的夾角公式求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，因為M為BC的中點，N在AC上，且，所以，，所以，因為三點共線，所以，所以，所以，解得，所以，同理，所以，所以，,,,，，，，，，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面對量的基本定理以及平面對量的數(shù)量積運算，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.16.足球運動是一項古老的體育活動，眾多的資料表明，中國古代足球的出現(xiàn)比歐洲早，歷史更為悠久，如圖，現(xiàn)代競賽用足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成的共32個面的多面體，聞名數(shù)學(xué)家歐拉證明白凸多面體的面數(shù)(F)，頂點數(shù)(V)，棱數(shù)(E)滿意F+V-E=2，那么，足球有______.個正六邊形的面，若正六邊形的邊長為，則足球的直徑為______(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)【答案】(1).20(2).22【解析】【分析】首先依據(jù)足球表面的規(guī)律，設(shè)正五邊形為塊，正六邊形為塊，列出方程組，解方程組即可.分別計算正六邊形和正五邊形的面積，從而得到足球的表面積，再利用球體表面積公式即可得到足球的直徑.【詳解】因為足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成，所以每塊正五邊形皮料四周都是正六邊形皮料，每兩個相鄰多邊形恰有一條公共邊，每個頂點處都有三塊皮料，而且都遵循一個正五邊形，兩個正六邊形結(jié)論.設(shè)正五邊形為塊，正六邊形為塊，有題知：，解得.所以足球有個正六邊形的面.每個正六邊形的面積為.每個正五邊形的面積為.球的表面積.所以，.所以足球的直徑為.故答案為：，.【點睛】本題主要通過傳統(tǒng)文化背景，考查球體的直徑和表面積公式，同時考查了學(xué)生理解問題的實力，屬于中檔題.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若求的前n項和Tn【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知遞推關(guān)系求首項，并可證數(shù)列是以為首項，1位公差的等差數(shù)列，最終由等差數(shù)列通項公式表示答案即可；（2）由（1）表示數(shù)列的前n項和，進而表示數(shù)列的通項公式，最終由裂項相消法求數(shù)列的前n項和..【詳解】（1）當(dāng)時，或（舍）當(dāng)時，因為，兩式相減得，，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，則，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故其通項公式（2）由（1）可知，則所以.【點睛】本題考查由求數(shù)列得通項公式，還考查了利用裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.18.在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面積為S，且4S=(a2+b2-c2)，這三個條件中隨意選擇一個，填入下面的問題中，并求解，在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，函數(shù)=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期為π，c為在[0，]上的最大值，求a-b的取值范圍.注:假如選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分.【答案】三種狀況，a-b的取值范圍都是【解析】【分析】對于①，利用正弦定理結(jié)合條件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示邊a，b，從而得到三角函數(shù)式，進而用三角恒等變換和三角函數(shù)有界性得到結(jié)果；對于②，利用正弦定理，結(jié)合條件得到角C的大小，同①得到結(jié)果；對于③，利用余弦定理，結(jié)合條件得到角C的大小，同①得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)=2sinωxcosωx+2cos2ωx，函數(shù)的最小正周期為π，則，，當(dāng)[0，]，，，故c=3,若選①，acosB+bcosA=cosC,由正弦定理得可得，,又C為三角形內(nèi)角，則，由正弦定理得，∴，，則,因為故.若選②，2asinAcosB+bsin2A=a，由正弦定理得，，，又C為三角形內(nèi)角，則，（舍去），由正弦定理得，∴，，則,因為故.若選③，△ABC的面積為S，且4S=(a2+b2-c2)，可得,,,又C為三角形內(nèi)角，則，由正弦定理得，∴，，則,因為故.【點睛】本題主要考查解三角形、三角恒等變換等學(xué)問，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸實力、運算求解實力，屬于中等題.19.如圖，將長方形OAA1O1(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，弧的長為，AB為⊙O的直徑.（1）在弧上是否存在點(，在平面的同側(cè))，使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由.（2）求二面角的余弦值【答案】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線時，；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)為圓柱的母線時，連接，，，依據(jù)平面得到，依據(jù)圓的直徑為得到，從而得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到.（2）首先以為原點，，分別為，軸，垂直于，軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別計算平面和平面的法向量，代入公式計算即可.【詳解】存在，當(dāng)為圓柱的母線時，.如圖所示：連接，，，因為為圓柱的母線，所以平面，又因為平面，所以.因為為圓的直徑，所以.，，，所以平面.因為平面，所以.（2）以為原點，，分別為，軸，垂直于，軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，因為的長為，所以，，.設(shè)平面的法向量，，令，解得，.所以.因為軸垂直平面，所以設(shè)平面的法向量.所以，因為二面角的平面角為銳角，所以其余弦值為.【點睛】本題第一問考查利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，其次問考查向量法求二面角，同時考查了學(xué)生的計算實力，屬于中檔題.20.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，請說明理由【答案】（1）；（2）定值，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，由此可求得橢圓的方程；（2）分兩種狀況探討，當(dāng)直線的斜率為零時，計算出的值；當(dāng)直線不與軸重合時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合弦長公式可計算出為定值，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，解得，因此，橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為零時，則點、為橢圓長軸的端點，則；當(dāng)直線不與軸重合時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，消去得，恒成立，由韋達定理得，，因此，.綜上所述，（定值）.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中定值問題的求解，考查韋達定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計算實力，屬于中等題.21.個人所得稅是國家對本國公民、居住在本國境內(nèi)的個人的所得和境外個人來源于本土的所得征收的一種所得稅.我國在1980年9月10日，第五屆全國人民代表大會第三次會議通過并公布了《中華人民共和國個人所得稅法》.并制作了時間代號x與個人所得稅收入的如如圖所示的散點圖:依據(jù)散點圖推斷，可用①y=menx與②作為年個人所得稅收入y關(guān)于時間代號x的回來方程，經(jīng)過數(shù)據(jù)運算和處理，得到如下數(shù)據(jù):以下計算過程中四舍五入保留兩位小數(shù).（1）依據(jù)所給數(shù)據(jù)，分別求出①，②中y關(guān)于x的回來方程；（2）已知2024年個人所得稅收人為13.87千億元，用2024年的數(shù)據(jù)驗證（1）中所得兩個回來方程，哪個更相宜作為y關(guān)于時間代號x的回來方程?（3）你還能從統(tǒng)計學(xué)哪些角度來進一步確認哪個回來方程更相宜?(只需敘述，不必計算)附:對于一組數(shù)據(jù)其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:【答案】（1）；；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）①y=menx，兩邊取對數(shù)得：