2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差（教師用書(shū)）教案 新人教A版選修2-3

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章隨機(jī)變量及其分布2.32.3.2離散型隨機(jī)變量的方差（教師用書(shū)）教案新人教A版選修2-3學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)自2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章隨機(jī)變量及其分布的2.3節(jié)，具體是2.3.2節(jié)——離散型隨機(jī)變量的方差。該部分內(nèi)容是新人教A版選修2-3教材的一部分。本節(jié)課的主要內(nèi)容包括：

1.離散型隨機(jī)變量的方差的定義和性質(zhì)；

2.離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法；

3.方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過(guò)學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差，學(xué)生能夠理解方差的定義和性質(zhì)，掌握計(jì)算方法，并能夠?qū)⒎讲顟?yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。具體目標(biāo)如下：

1.數(shù)學(xué)抽象：使學(xué)生能夠從具體實(shí)例中抽象出離散型隨機(jī)變量的方差的定義和性質(zhì)。

2.邏輯推理：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理方法，推導(dǎo)離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算公式。

3.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方差的概念和計(jì)算方法，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。

4.數(shù)據(jù)分析：使學(xué)生能夠通過(guò)方差分析數(shù)據(jù)，了解數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況和分布特征。學(xué)習(xí)者分析1.相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，應(yīng)該已經(jīng)掌握了以下相關(guān)知識(shí)：①隨機(jī)變量及其分布的基本概念；②離散型隨機(jī)變量的期望；③數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況和分布特征的初步了解。

2.學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，對(duì)具有實(shí)際應(yīng)用背景的數(shù)學(xué)知識(shí)通常較感興趣。本節(jié)課通過(guò)離散型隨機(jī)變量的方差，使學(xué)生能夠解決實(shí)際問(wèn)題，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有望得到提升。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力，有利于學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，建議采用互動(dòng)式教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和思考，提高教學(xué)效果。

3.可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過(guò)程中，可能遇到的困難和挑戰(zhàn)有以下幾點(diǎn)：①理解離散型隨機(jī)變量的方差的定義和性質(zhì)；②掌握方差的計(jì)算方法，尤其是對(duì)于復(fù)雜情況的計(jì)算；③將方差應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，解決實(shí)際問(wèn)題。針對(duì)這些困難和挑戰(zhàn)，教師應(yīng)采取合適的教學(xué)策略，如舉例說(shuō)明、引導(dǎo)學(xué)生思考和討論等，幫助學(xué)生克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

（1）講授法：在講解離散型隨機(jī)變量的方差定義和性質(zhì)時(shí)，教師可以通過(guò)系統(tǒng)的講授，讓學(xué)生掌握方差的基本概念和性質(zhì)。

（2）案例分析法：通過(guò)具體的實(shí)例，讓學(xué)生了解離散型隨機(jī)變量方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（3）小組討論法：在計(jì)算方差的方法和步驟的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神，提高學(xué)生的邏輯推理和分析問(wèn)題的能力。

2.教學(xué)手段

（1）多媒體設(shè)備：利用多媒體課件，直觀展示離散型隨機(jī)變量的方差的定義和性質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解程度。

（2）教學(xué)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件，如MATLAB、GeoGebra等，進(jìn)行方差的計(jì)算和分析，提高教學(xué)效果和效率。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線課程、論壇等，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和交流，拓寬知識(shí)視野，提高自主學(xué)習(xí)能力。

（4）互動(dòng)式教學(xué)平臺(tái)：利用互動(dòng)式教學(xué)平臺(tái)，如學(xué)習(xí)通、雨課堂等，進(jìn)行在線測(cè)試、討論和問(wèn)答，提高學(xué)生的參與度和積極性。

（5）實(shí)體模型：在學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差時(shí)，可以利用實(shí)體模型，如骰子、卡片等，讓學(xué)生直觀感受隨機(jī)變量的分布和方差的概念。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)學(xué)習(xí)通平臺(tái)，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括本節(jié)課的PPT、教學(xué)視頻和預(yù)習(xí)指南。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞“離散型隨機(jī)變量的方差”課題，設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，如“離散型隨機(jī)變量的方差是如何定義的？”、“如何計(jì)算一個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差？”等。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過(guò)學(xué)習(xí)通的監(jiān)控功能，查看學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保每個(gè)學(xué)生都完成了預(yù)習(xí)任務(wù)。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生在家自主閱讀PPT和視頻，理解方差的基本概念和計(jì)算方法。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：學(xué)生針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)成果通過(guò)學(xué)習(xí)通提交，包括疑問(wèn)和初步的理解。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生在家自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用學(xué)習(xí)通平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

-網(wǎng)絡(luò)資源：學(xué)生可以在家利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線論壇、數(shù)學(xué)博客等，進(jìn)一步探討方差的應(yīng)用。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解方差的概念和計(jì)算方法，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：教師通過(guò)一個(gè)實(shí)際案例，如擲骰子游戲，引出方差的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：教師詳細(xì)講解方差的定義、計(jì)算方法和性質(zhì)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：教師設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生探討如何計(jì)算不同離散型隨機(jī)變量的方差。

-解答疑問(wèn)：教師針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

-參與課堂活動(dòng)：學(xué)生積極參與小組討論，探討方差的計(jì)算方法。

-提問(wèn)與討論：學(xué)生針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：教師通過(guò)講解，幫助學(xué)生理解方差的概念和計(jì)算方法。

-小組討論法：學(xué)生通過(guò)小組討論，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

-多媒體資源：利用PPT和在線資源，展示方差的實(shí)例和計(jì)算過(guò)程。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解方差的概念和計(jì)算方法，掌握相關(guān)技能。

-通過(guò)小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：教師根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置相關(guān)的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：教師提供與方差相關(guān)的拓展資源，如數(shù)學(xué)雜志文章、在線視頻教程等。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：教師及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成課后作業(yè)，鞏固方差的知識(shí)。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

-網(wǎng)絡(luò)資源：學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)論壇、在線課程等，進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的方差知識(shí)點(diǎn)和技能。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用》：介紹方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)、概率論中的隨機(jī)變量分析等。

-《離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)》：深入探討離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)，如方差的線性變換、方差的相等性等。

-《離散型隨機(jī)變量的方差的計(jì)算方法》：詳細(xì)介紹離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法，包括直接法和母函數(shù)法等。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

-學(xué)生可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)方差在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)中的波動(dòng)現(xiàn)象、生物學(xué)中的遺傳變異等。

-學(xué)生可以探究離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)，如研究方差的單調(diào)性、奇偶性等。

-學(xué)生可以嘗試解決一些與方差相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如分析一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況、判斷數(shù)據(jù)的可靠性等。

-學(xué)生可以利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)論壇、在線課程等，尋找與方差相關(guān)的學(xué)習(xí)資源和討論話題，與其他同學(xué)進(jìn)行交流和分享。

-學(xué)生可以進(jìn)行一些與方差相關(guān)的實(shí)驗(yàn)或項(xiàng)目，如設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)調(diào)查，收集數(shù)據(jù)并分析其方差，或者編寫(xiě)一個(gè)程序來(lái)計(jì)算離散型隨機(jī)變量的方差。內(nèi)容邏輯關(guān)系①方差的定義與性質(zhì)

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：方差是衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的統(tǒng)計(jì)量，定義為一個(gè)隨機(jī)變量與其期望值的差的平方的平均值。

-關(guān)鍵詞：方差、期望值、波動(dòng)情況、統(tǒng)計(jì)量。

-重點(diǎn)句：方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況越劇烈；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況越穩(wěn)定。

②方差的計(jì)算方法

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：方差的計(jì)算方法包括直接法和母函數(shù)法。

-關(guān)鍵詞：直接法、母函數(shù)法、方差計(jì)算。

-重點(diǎn)句：直接法是通過(guò)計(jì)算隨機(jī)變量與期望值的差的平方的平均值來(lái)求解方差；母函數(shù)法是通過(guò)求解隨機(jī)變量的母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求解方差。

③方差的實(shí)際應(yīng)用

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用廣泛，如統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)、概率論中的隨機(jī)變量分析等。

-關(guān)鍵詞：假設(shè)檢驗(yàn)、隨機(jī)變量分析、實(shí)際應(yīng)用。

-重點(diǎn)句：方差可以幫助我們分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況和分布特征，從而對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行更深入的分析和理解。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：通過(guò)觀察學(xué)生在課堂上的積極參與程度、提問(wèn)頻率、回答問(wèn)題準(zhǔn)確性等方面，評(píng)價(jià)學(xué)生的課堂表現(xiàn)。

2.小組討論成果展示：通過(guò)學(xué)生的小組討論成果展示，評(píng)價(jià)學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)分析能力。

3.隨堂測(cè)試：通過(guò)隨堂測(cè)試，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)方差的定義、計(jì)算方法和實(shí)際應(yīng)用的理解程度。

4.課后作業(yè)完成情況：通過(guò)批改學(xué)生的課后作業(yè)，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)方差的掌握程度和應(yīng)用能力。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)學(xué)生在課堂表現(xiàn)、小組討論成果展示、隨堂測(cè)試和課后作業(yè)完成情況等方面的表現(xiàn)，給予及時(shí)的反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議。

6.學(xué)生自我評(píng)價(jià)與反思：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和反思，對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

7.學(xué)生互評(píng)：鼓勵(lì)學(xué)生之間進(jìn)行互評(píng)，通過(guò)相互交流和學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的評(píng)價(jià)能力和合作能力。

8.家長(zhǎng)反饋：通過(guò)與家長(zhǎng)的溝通和交流，了解學(xué)生在家庭中的學(xué)習(xí)情況和表現(xiàn)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更好的支持和指導(dǎo)。典型例題講解1.例題1：已知離散型隨機(jī)變量X的取值為{1,2,3}，概率分布為P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的方差。

答案：根據(jù)方差的定義，X的期望E(X)為E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X)為Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2^2*0.3+2^2*0.5+3^2*0.2-2^2=0.8。

2.例題2：已知離散型隨機(jī)變量X的取值為{1,2,3}，概率分布為P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的期望和方差。

答案：根據(jù)方差的定義，X的期望E(X)為E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X)為Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2^2*0.3+2^2*0.5+3^2*0.2-2^2=0.8。

3.例題3：已知離散型隨機(jī)變量X的取值為{1,2,3}，概率分布為P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的期望和方差。

答案：根據(jù)方差的定義，X的期望E(X)為E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X)為Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2^2*0.3+2^2*0.5+3^2*0.2-2^2=0.8。

4.例題4：已知離散型隨機(jī)變量X的取值為{1,2,3}，概率分布為P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的期望和方差。

答案：根據(jù)方差的定義，X的期望E(X)為E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=2，X的方差Var(X