2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練：零點(diǎn)（教師版全國(guó)）

專題2-3零點(diǎn)

【題匹】水平線法：參變分別

【典例分析】

2x-^,x>l,

已知函數(shù)〃x)={2'函數(shù)g(x)=/(x)-機(jī)，則下列說法錯(cuò)誤的是()

2

33

A.若m<一萬，則函數(shù)g(“無零點(diǎn)B.若m>-5,則函數(shù)g(“有零點(diǎn)

333

C.若-5<機(jī)<5，則函數(shù)g(九)有一個(gè)零點(diǎn)D.若m>3,則函數(shù)g(“有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示:視察可知：當(dāng)3

m=——

2

時(shí)，函數(shù)g⑺有一個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.分別參數(shù)。得常數(shù)函數(shù)(含參水平線)

2.函數(shù)畫圖，須要運(yùn)用到復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，

【變式演練】

-y*X]-V*>0

1.已知函數(shù)/(x)=5<0，若函數(shù)y=〃3x—2)—a恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是—

【答案】2<aW3.

“％)當(dāng)x>0時(shí)是對(duì)勾函數(shù)，因?yàn)?/p>

1即x=l時(shí)，取最小值。所以函數(shù)最小值

X=一

X

%>0

為2,且在(0])上為減函數(shù)，在(]+8)上為增函數(shù)。當(dāng)xWO時(shí)，..y=2-x是減函數(shù)，

且2-一1，所以y=_2—“為增函數(shù)，且—2-y—1，所以函數(shù)/⑴=4—2-為增函數(shù)，

且,(同<3,函數(shù)圖像如圖所示。令/=3x.2,函數(shù)y=/(3x_2)_a恰有三個(gè)不同的

零點(diǎn)，可以看成函數(shù)>恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù)的圖像與直線>有

三個(gè)交點(diǎn)。由圖像可知2<Q<3。

1log2x|,0<xW2

2.已知函數(shù)f(x)2

ix-|x+5,X>2，若函數(shù)晨X)=f(x)-m存在四個(gè)不同的零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】(0，

畫出函數(shù)y=

數(shù)g(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-m存在四個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)

y=f(x),與y=m的圖象由四個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，要使函數(shù)y=f(x),與y=in的圖象由四

個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1),故答案為(0,1).

3.己知函數(shù)f(x)={“°射,7魯0,若函數(shù)y=f(x)-m+1有四個(gè)零點(diǎn),零點(diǎn)從小到大

依次為a,b,c,d,則a+b+cd的值為()

A.2B.一2C.一3D.3

作出函數(shù)勺、|log2x|,X>0的圖象如

f(x)二|x+2|-1,xW0

f(x)與y=m-1的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，不妨設(shè)

四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)a,b,c,d滿足a〈b〈c<d，

則，f(a)=f(b),|a+2|-1=|b+2|-1,可得-a-3=b+l,a+b=-4由f(c)=f(d),

得Ilog2cl=|log2d|,

則-log2c=log2d,可得log2cd=0,即cd=1,a+b+cd=-4+1=-3,故選C.

【題型二】基礎(chǔ)圖像交點(diǎn)法

【典例分析】

設(shè)函數(shù)工(x)=log2X—(；)"力(%)=1。8產(chǎn)—(；廠的零點(diǎn)分別為玉，則()

A.0<再與<1B.=1C.1<xxx2<2D.五々>2

【答案】A因?yàn)楹瘮?shù)<(x)=log2X—(g)￡,力(x)=logix—(；尸的零點(diǎn)分別為為々，故

可得

log/1=(^)X|-—①k)g/=(g)x2—②，如圖，明顯有0<々<1</，故石入2>°，①

—②得log/1"2(~)X2<0n尤<1，選Ao

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.累、指、對(duì)、對(duì)勾、雙曲等函數(shù)之間圖像交點(diǎn)。

2.可以借助二分法、單調(diào)性奇偶性等找尋交點(diǎn)所在區(qū)間。

【變式演練】

1.己知函數(shù)/(工)=%2-2ax-2alnx(aeR),則下列說法不正確的是()

A.當(dāng)。＜0時(shí)，函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)B.若函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)，則。＜2

C.存在。＞0,函數(shù)y=/(x)有唯一的零點(diǎn)D.若函數(shù)y=/(x)有唯一的零點(diǎn)，則

a＜2

【答案】B.試題分析：令f(x)=x2-2ax-2aIn%=0,得二-x?-%=Inx(aH0)(a=0

2a

時(shí)，明顯有零點(diǎn))，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫函數(shù)g(x)=fx2-X與Mx)=lnx的圖像，可得當(dāng).＜0

時(shí)，函數(shù)y=/(%)有唯一零點(diǎn)，故A正確；取0=2,畫函數(shù)g(x)=：/-x與Mx)=lnx的

圖像，可得它們有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)。=g時(shí)，畫函數(shù)8(耳=爐-彳與/z(x)=lnx的

圖像，可得它們有一個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)。＜0或。=g時(shí)，函數(shù)y=/(x)有唯一零點(diǎn)，故D正確.

f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

【答案】3

依題意，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

3.已知函數(shù)/(x)=|x-4|-!有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則人的取值范圍是.

【答案】(0,4)

【分析】

函數(shù)/。)=卜-4|-[有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為y=|x-4|與y=f交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可

求解左的取值范圍.

【詳解】作出y=|尤-4|與y=?的圖象，明顯上V0,不行能存在3個(gè)交點(diǎn)；.?.左>0,

當(dāng)y=8與>=卜-4|相切時(shí)，gpIr=--x只有一個(gè)解，那么△=(),可得16-4左=0,此時(shí)

y=4-x

%=4,

函數(shù)/(x)=|x-4|-：有三個(gè)不同的零點(diǎn)，貝1]0<左<4：故答案為：(0,4).

【題型三】分段函數(shù)含參

【典例分析】

%+1x<a

2；一C，若4=0,方程〃x)=o的解集是______；若方程〃x)=o的

{x—5x+2,x>6/

解集中恰有3個(gè)元素，則a的取值范圍是.

【答案】{一1』,2}[-1,1)

【分析】求出。=0時(shí)“X)的解析式，分狀況探討，分別求解方程〃x)=0的根，即可得方

程〃力=。的解集；在同始終角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=x+l和y=f-3x+2的圖象，由圖象

分析即可得“的取值范圍.

/、fx+1,x<0

【詳解】當(dāng)"0時(shí)，〃X=,2.八，

\x-3x+2,x>0

當(dāng)x40時(shí)，/(x)=x+l=0,解得x=T；

當(dāng)x>0時(shí)，=3x+2=0,解得x=l和x=2.故若。=0,方程/(x)=0的解集是

{-1,1,2}；

/、\x+\,x<a

因?yàn)?x=，則在同始終角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=x+l的圖象，如圖直

1%2—3x+2,x>a

線，

作出函數(shù)y=f-3x+2的圖象，如圖拋物線，將直線尤=。從左向右平移，

由圖象可得，當(dāng)。<-1或14。<2時(shí)，方程/(x)=o有2個(gè)解，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，方程/(力=。有3個(gè)解，符合題意；

當(dāng)aW2時(shí)，方程)(力=0有1個(gè)解，不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-U)，故答案為:{-1,1,2}；[-1,1).

基本規(guī)律

屬于“動(dòng)態(tài)函數(shù)”畫圖法

1.參數(shù)在分段函數(shù)定義域分界點(diǎn)處。

2.函數(shù)圖像的“動(dòng)態(tài)”探討點(diǎn)，多從特殊點(diǎn)，交點(diǎn)，單調(diào)性變更點(diǎn)，奇偶性等處找尋。

3.引導(dǎo)學(xué)生多畫分解圖。

【變式演練】

1.已知函數(shù)f(x)=12\X\,X~m,其中0>0.若存在實(shí)數(shù)6,使得關(guān)于x的方程/'(x)

1%—2rwc+4m,x>m,

=人有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)〃可能的值有()

A.2B.3C.4D.5

【答案】CD

【分析】

在同一坐標(biāo)系中，作尸/*(x)與y=6的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】

在同一坐標(biāo)系中，作尸廣(x)與y=6的圖象.

當(dāng)時(shí)，學(xué)一2mx~\~4m=(x—而24m—而,所以要使方程(x)=6有三個(gè)不同的根,

則有4m—/n</n,即ni—3ni>0.又%>0,解得ni>3.故選：CD

(X-(7)2,X<O

2.設(shè)〃$R,函數(shù)/(%)=1，若函數(shù)gQ)=/(%)-3有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，貝的

XH---FQ,%>0

%

取值范圍是.

【答案】(-73,1)##

【分析】

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)與直線y=3有三個(gè)不同交點(diǎn)，分作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即

可求解.

(x-a)2,x<0

【詳解】/(x)=1八，若函數(shù)g(x)=/(x)-3有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)“X)的圖

XH---FQ,%>0

I%

象與直線>=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，y=x+-+a>2.x--+a=2+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)

尤Vx

成立，

.?.當(dāng)aWO時(shí)，如圖:

.,.(0-0)2<3即可，解得_6<avo,

/2+Q<31-I—

,,12□即可，解得Ovavl,綜上，-石<〃<1故答案為：(-^3,1)

[a<3

九x工a

3.己知函數(shù)/'(x)={'-'若存在實(shí)數(shù)6,使函數(shù)gQ)=/(九)—匕有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的

x,x>a.

取值

范圍是()

A.(-oo,-l)o(0,+oo)B.(-co,0)0(1,+<?)C.(-00,0)D.(0,1)

【答案】B由題意可知，函數(shù)g(%)實(shí)為函數(shù)/(X)向下平移》個(gè)單位得到的.所以圖象只是

在坐標(biāo)系中位置發(fā)生變更，而其形態(tài)未發(fā)生變更，g(x)有兩零點(diǎn)，說明/(x)=6也存在兩

個(gè)實(shí)數(shù)根，即存在確定區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)性不一樣，由此可對(duì)。進(jìn)行分狀況探討，當(dāng)。<0

時(shí)，x3<0,x2>0,所以兩根不行能異號(hào)，但是在(a,-。)上爐的單調(diào)性為先減后增，使

得/(x)=b能夠成立；當(dāng)0<。<1時(shí)，丁,丁均為增函數(shù)，且九3〈尤2恒成立，故不存在兩

實(shí)數(shù)根使得ya)=b成立；當(dāng)。>1時(shí)，均為增函數(shù)，但是/>〃，即/的最高點(diǎn)

在/的最低點(diǎn)的上方.則必定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根使得y(x)=b能夠成立，綜合以上分析應(yīng)當(dāng)

選B.

【題型四】探討直線斜率(臨界是切線)找尋交點(diǎn)關(guān)系

【典例分析】

25

H—x—3,x>—1x

己知函數(shù)/(x)=2，則函數(shù)g(x)=/(x)--的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

—J1-(x+2)23<x<-1

A.1B.2C.3D.4

xX

【答案】C試題分析：函數(shù)g(x)=/(x)—]的零點(diǎn)，即方程函數(shù)g(x)=/(x)—萬=0的實(shí)

V

根的個(gè)數(shù)，也是y=f(x)的圖象與丫=—交點(diǎn)個(gè)數(shù)。在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出y=f(x),

2

Y

廠」的圖象，視察知，交點(diǎn)有3個(gè)，故選C。

2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

當(dāng)分別參數(shù)較困難時(shí)，可以“分別函數(shù)”，一般狀況下，一側(cè)多為直線，一側(cè)是可以探討出

圖像的函數(shù)。

L交點(diǎn)(零點(diǎn))的個(gè)數(shù)和位置，多借助切線來找尋確定。

2.切線雖然大多數(shù)可以通過導(dǎo)數(shù)來解得，但對(duì)于如一元二次等常見函數(shù)的切線，可以通過方

程聯(lián)立解決，這樣可以簡(jiǎn)化一些計(jì)算。

3.對(duì)于圓和圓錐曲線部分圖像所獲得的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)求切線難度大，圓和圓錐曲線求切線的方

法要留意總結(jié)駕馭。

【變式演練】

2%>tn

{，若方程/(x)-x=O恰有三個(gè)根，那么實(shí)數(shù)m的取值

范圍是()

A.[—1,2)B.[—1,2]C.[2,+co)D.—1]

【答案】A

【分析】由題意得，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=x有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得出結(jié)果.

解：由題意可得，直線y=x與函數(shù)〃x)=2(x>祖)至多有一個(gè)交點(diǎn)，而直線y=x與函數(shù)

/(力=/+4了+2"(根)至多兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=x有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則只須要滿足直線y=x與函數(shù)/(x)=2(x>機(jī))有一個(gè)交點(diǎn)直線y=x與函數(shù)

〃x)=x2+4x+2(xWm)有兩個(gè)交點(diǎn)即可，如圖所示，y=x與函數(shù)〃力=/+4%+2的圖象

交點(diǎn)為A(-2,-2),B(-l-l),

故有加2-1.而當(dāng)機(jī)22時(shí)，直線>=x和射線y=2(x>機(jī))無交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)冽的取值范圍是

H，2).

的方程〃x)=a(x+3)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

A.(-OO,4-2A/3)B.(4+2瘋+8)

C.[0,4-2石]D.(0,4-2A/3)

【答案】D

【分析】方程/(x)=a(x+3)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線＞=a(x+3)與曲線y=/(x),作

出函數(shù)圖象，即轉(zhuǎn)化為/+(2+“口+3.=0在(-2,0)有兩個(gè)不等實(shí)根，可得答案.

【詳解】設(shè)，="(x+3),該直線恒過點(diǎn)(-3,0),方程/(x)=a(x+3)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

所以￡+(2+a)x+3a=0在(-2,0)有兩個(gè)不等實(shí)根，令g(x)=d+(2+a)x+3a,

A=(2+a)2-12a>0

_2<_2+。<0

實(shí)數(shù)a滿足，2,解得0<”4-2代，所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

g⑼=3a>0

g(-2)=a>0

(0,4-2道).故選：D.

2

3已函數(shù)/(X)+2=〃JX+D,當(dāng)xe(0,l］時(shí)，/(x)=x2,若在區(qū)間(-叫內(nèi),

g(x)=/(x)-(x+l)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

【答案】(a；

【分析】

由g(x)=/(x)-Kx+D=0得/(x)=Kx+D,分別求出函數(shù)/(X)的解析式以及兩個(gè)函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)xw(O』]時(shí)，/(x)=X2,當(dāng)-IvxVO,可得0<A/77TWI,

2-2x

/(x)+2=--,/(%)=―-

x+1X+1

-lx

可知函數(shù)在Xe(-1，1]上的解析式為，(x)=-Il<x_O,由g(x)=/(x)_f(x+])=0得

",0<x<l

fCx)=Kx+V),

可將函數(shù)/(X)在xe(-1,1］上的大致圖象呈現(xiàn)如圖:

依據(jù)y=Kx+l)的幾何意義,

x軸位置和圖中直線位置為y=Kx+l)表示直線的臨界位置，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(1/)，可得/=1,

因此直線的斜率力的取值范圍是(0,；o故答案為

【題型五】“放大鏡”函數(shù)的交點(diǎn)

【典例分析】

l-x,0<x<l

已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)尤＞0時(shí),〃無)=<(1則當(dāng)尤武-2,2)時(shí)，方程

〃司=［］的根有()個(gè)

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】轉(zhuǎn)化為y=/(x)與g(x)=&］的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于兩個(gè)函數(shù)都為偶函數(shù)，只探討

xe[0,2),即得解

1—x,O<x<l1—x,O<x<l

【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，〃、)1/(17,2>年廣[(2-。2>轉(zhuǎn)1

方程/(X)='：的根的個(gè)數(shù)即為y=/(x)與g(x)=，j的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

由于g(f)=，j'=，j'=g(x)也為偶函數(shù)，故只需探討xw[0,2)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)即可

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=g(0)=l,故(0,1)是一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)x=l時(shí)，/(l)=g(l)=|,故(1、)是一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)xe(0,1)時(shí),/(：)=：<g(：)=($；/(1)=|>g(1)=(1)^

故時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，由于兩個(gè)函數(shù)都單調(diào)遞減，且在尤=。相交，故xw(0,l)

84

時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)

4]41-11Q11111

當(dāng)—1,2時(shí)，/)=—q)=(/>gq)=(p』。

113

故xe(歷時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，由于兩個(gè)函數(shù)都單調(diào)遞減，且在x=l相交，故

xe(l,2)時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)

綜上，兩個(gè)函數(shù)在xw[0,2)有4個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)的對(duì)稱性xw(-2,2)有7個(gè)交點(diǎn)故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要留意以下幾點(diǎn)辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大。

2.放大(縮小)時(shí)，要留意是否函數(shù)值有0。

3.放大(縮小)時(shí)，是否發(fā)生了上下平移。

4.“放大鏡”函數(shù)，在找尋“切線”型臨界值時(shí)，計(jì)算簡(jiǎn)潔“卡殼”，授課時(shí)要著重講清此

處計(jì)算。

【變式演練】

…fx—l,l<x<2,

1.定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足：①當(dāng)xw[l,3)時(shí)，f{x}=\②

[3—X,2<x<3,

f(3x)=3f(x).

(7)/(6)=;

(77)若函數(shù)尸(x)=/(x)-a的零點(diǎn)從小到大依次記為無1，尤2「，則當(dāng)ae(l,3)時(shí)，

為+三+++X2n=.

【答案】36(3--1)

【分析】

(7)由于“3尤)=3/(尤)，可得八6)=3。2),依據(jù)解析式求出/(2),代入可得；

3)在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出y=f(x)和>的圖像，依據(jù)圖像得到七,％,,xn,的對(duì)稱關(guān)

系，把X,+三+++X"轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列前〃項(xiàng)和即可求解.

【詳解】

(2)因?yàn)?(3x)=3/(x)，所以/⑹=3”2),當(dāng)x=2時(shí),/(2)=2一1=1,所以/(6)=3/(2)=3；

Qii)在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出y=/(x)和>的圖像如圖所示：

當(dāng)aw(l,3)時(shí)，利用對(duì)稱性，依次有：%+%2=2x6=12,

x3+x4=2x18=12

X2n-\+%2〃=2X2x3〃

2

所以西+/++々〃-1+%2〃=4X(3+3++3")=4X』T)=6(3”—1)

1—3

故答案為：3；6(3〃-1)

/、「llnx|,0<x</、/、

2.己知函數(shù)〃x)=\1函數(shù)網(wǎng)尤)=〃力—◎有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

j(Ze—xhe<x<Ze

的取值范圍是.

【答案】。>工或。=0

e

【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，

作出了(力的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出當(dāng)直線y=依與/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率

范圍即可.

【詳解】

數(shù))=依有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率為零，即。=0時(shí)，由圖像可得有兩個(gè)交點(diǎn)，則。=0成立;

當(dāng)斜率不為零，即。工0時(shí)，

如圖所示，考查臨界狀況，當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(無0，映)，由題意可得:

%o=e

，解得,1，

d———

則直線與函數(shù)相切時(shí)斜率g，數(shù)形結(jié)合可知實(shí)數(shù)a的取值范圍叱…

綜上，答案為：或。=0.

e

sin7rx,xe[0,2]

3.對(duì)于函數(shù)/⑺二口“-)^⑵+⑹’

下列5個(gè)結(jié)論正確的是(把你認(rèn)為正

、2

確的答案全部寫上).(1)任取4赴目0,心)，都有|〃%)-〃々)歸2；

(2)函數(shù)y=/(x)在[4,5]上單調(diào)遞增;

(3)〃x)=2姓(x+2t)(KeN+),對(duì)一切xe[0,+oo)恒成立；

(4)函數(shù)丁=/(“一111(尤-1)有3個(gè)零點(diǎn)；

(5)若關(guān)于x的方程〃x)=a(機(jī)<0)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根匹，x2,則占+%=3.

【答案】(1)(4)(5)

【詳解】

SIY171X,XG[0,2]

由題意，得了(力={1.小小、的圖象如圖所示,

-/(x-2),xe(2,+co)

由圖象/(0皿=1，/。)?1山=-1，則任取再，/epy)，都有

|/(^)-/(x2)|<|/(%)_-/(x)^|=2,故(1)正確；函數(shù)y=/(x)在[4,5]上先增后減,

故(2)錯(cuò)誤；當(dāng)xe[O,2]時(shí)，/(x+2%)=；/(x+2左一2)=5/。+2左一4)

=???=4。)，即/(x)=2*7(x+2k)”N*,故⑶錯(cuò)誤；在同一坐標(biāo)系中作出了⑴和

y=ln(x-l)的圖象，可知兩函數(shù)圖象有三個(gè)不同公共點(diǎn)，即函數(shù)y=f(x)-ln(x-l)有3個(gè)

零點(diǎn)，故(4)正確；

在同一坐標(biāo)系中作出/(x)和>=機(jī)的圖象，由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，關(guān)于天的

a

方程/(2=鞏加<0)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根亂斗,且玉，%關(guān)于對(duì)稱，即

%+無2=3；故(5)正確；故填(1)、(4)、(5).

【題型六】函數(shù)變換：

【典例分析】

X—YYIX無>0

，c'-c，若關(guān)于X的方程f(x)+f(-x)+2=0有且僅有四個(gè)互不相等

{x'-2x,x<\J

的實(shí)根，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.(-8,7]B.(6,+8)C.(2+8)D.[8,+°°)

【答案】B

【分析】依據(jù)題意分析出關(guān)于x的方程/(》)+/(-x)+2=0有且僅有四個(gè)互不相等的實(shí)根,

2

2xH----F2,X>0

X

可轉(zhuǎn)化為g(x)=<與戶而有四個(gè)不同的交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系作出y=g(x)

2

—2x----F2,x<0

x

和尸"的圖像，即可求出實(shí)數(shù)"的取值范圍.

【詳解】當(dāng)x?0時(shí)，/(x)+/(—x)+2=。可化為/—如+—+2刀+2=0,戶0明顯不成立,

2

故兀>0時(shí)，m=2x+-+2

x

2

當(dāng)兀<0時(shí)，/(%)+/(—%)+2=0可化為2x2—2x+2=mx,所以m=一2兀----1-2

x

2

2xH----F2,X>0

記函數(shù)g(尤)=?，2，由g(-x)=g(x)知，函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù).

—2%-----F2,x<0

x

要使關(guān)于X的方程/(X)+/(f)+2=0有且僅有四個(gè)互不相等的實(shí)根，只需y=g(力和產(chǎn)〃

有四個(gè)不同的交點(diǎn).在同一個(gè)坐標(biāo)系作出y=g(尤)和尸川的圖像如圖所示：

所以：蘇6即實(shí)數(shù)力的取值范圍是(6,+8).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用函數(shù)性質(zhì)，推導(dǎo)出中心對(duì)稱，軸對(duì)稱等等函數(shù)圖像特征性質(zhì)。

【變式演練】

x,-l<x<0

1.設(shè)函數(shù)〃X）=14”一「若方程/（x）=2f在區(qū)間（T，l）內(nèi)有且僅有兩個(gè)根，則

〔〃xT）

實(shí)數(shù)I的取值范圍是（）

A.1-5'+°°]B.C.D.-3。）

【答案】C

【分析】

先求出分段函數(shù)在（T』）上得解析式，進(jìn)而依據(jù)解析式做出函數(shù)圖象，由于函數(shù)/（力=2/在

區(qū)間（T1）內(nèi)有且僅有兩個(gè)根等價(jià)于函數(shù)/（x）的圖象與直線>=2f在區(qū)間（一口）內(nèi)有且僅有

兩個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.

x,-l<x<0

瓦匕+1，故"x）=.

【詳解】若0<x<L貝！]—l<x—1<0,所以〃x）=1

-------F1,0VXV1

lx-1

其圖象如圖:

函數(shù)/（X）的圖象與直線y=2f在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，于是T<2f<0,

-J<r<0.故選：C.

/、f3-4x,x<0,

2.已矢口函數(shù)〃句=[/_-2,尤>0,，若關(guān)于％的方程2/（力-〃r）-%=0有且只有3個(gè)實(shí)

數(shù)根，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是______

【答案】[1』卜{3}44,?1

【分析】本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)可力=2/（力二/■（-力與/=上的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn)，分別利

-rij+”,X<。,

?4

用x<0、x=0以及x>0三種狀況探討可求得h（x）=<3,x=0,，結(jié)合y=/z（x）的

2-|-Z,x>0.

ri12

圖像即可得解.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于1方程2〃力一/（—力—左=0有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)Mx）=2"x）—/（r）,

得到函數(shù),=可力與丁=左的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)％<0時(shí)，一光>0,所以/z(x)=2(3—4x)—[(一工)2一(一次)+2]=—工2—9X+4=—(X+'1)+?；

當(dāng)尤=0時(shí)，/z(x)=2x3—3=3；

一97一97

4<k<——4<k<—

44

故答案為:

X

3.已知函數(shù)丫=，(尤)對(duì)于xeR恒有/?(2-X)+4X)=2,若〃x)與函數(shù)g(x)=—的圖像的

x-l

點(diǎn)交為(國(guó),%),(尤2,%)?“(%，%)，則為+%)+(尤2+%)+???+(%+%)=_____________

【答案】2n

【分析】依據(jù)題意推斷出函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于

點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，=/(刈對(duì)于xeR恒有“2-x)+/(x)=2,所以函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)

于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱；

g(x)=±=1+占的圖像關(guān)于點(diǎn)(U)對(duì)稱，

所以當(dāng)(現(xiàn),%)為y=/(x)和y=g(x)的圖像的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)(2-%,2-%)也是y=/(x)和

>=/(尤)的圖像的交點(diǎn).所以

(%+%)+(々+%)+—+(%+%)=(玉+%+「+玉)+(乂+%+%)

=(xl+x2++%)+(弘+%+%)

?n入n

—2x—F2x一

22

=2n

【題型七】對(duì)數(shù)函數(shù)確定值“積定法”

【典例分析】

|x+2|,x<0

設(shè)函數(shù)"x""°g2X|，X>。，若關(guān)于X的方程《)=2有四個(gè)不同的解J,、2,、3,、4,且

1

x3(x1+x2)+^―

X1<X2<X3<X3則X3X4的取值范圍是()

A.(-3,+8)B.(-8,3)c[-3,3)D.(-3,3]

【答案】D解：如圖所示，繪制函數(shù)f(x)的圖象，則點(diǎn)A,BCD的坐標(biāo)分別為*〃2內(nèi)人，

111

XXX+=

3(1+2)—-4乂3+—心E[-,1)

由對(duì)稱性可得：>1+、2=-gXL1,則：X3X4%4,

G\41Id\x式+X，+-----

f(x)=—4x+—［—,1)3122

函數(shù)X在區(qū)間4上單調(diào)遞減，據(jù)此可得：X3X4的取值范圍是(一3,3］本

題選擇D選項(xiàng).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對(duì)于f(X)=|lOgaX|,"Oga*尸a若有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足

10<x,1<l<x9

1.乙

2XjX2=l

3.要留意上述結(jié)論在對(duì)稱軸作用下的“變與不變”

【變式演練】

1.已知石，%是方程—*+2=111^的兩個(gè)解，則()

A.0<XjX2<-B.—<Xj%,<1C.1<xrx2<eD.>e

-ee

【答案】B【解析】因?yàn)槲?々是方程”'+2=［11］曰的兩個(gè)解，即入,々是函數(shù)y=d工+2

與函數(shù)y=|lnx|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)'="*+2與

函數(shù)y=|lnx|圖象，如圖所示，

-0<-iWC,<1YF/\Y1

由圖象可得｛。/］，即一1<足(萬+%2)<1，即一<%十工2<6，

又因?yàn)橐?叫>ln%2，所以1叫犬2<0，所以犬1%2<L

綜上所述，<%遇2<1，故選B.

e

(|logx|,X>0

2.已知函數(shù)f(x)=+2x2+2,xW0,方程f(x)-b=。有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

XI,X2,X3,X4,且滿足：XI<X2<X3<X4,則迎上逆的取值范圍是()

XIX3+X2X3

A.(-8,-2)B.[-3,-2A/5]C.(-3,-2)D.(-?>,-2A/2]

1V6W2,

X41

工=-4X3+-2X3,

人rJ/1

令t=x3,則［W矛3<5，

令g⑺=-4+,則g(力為在百()上單調(diào)遞增，在邛，()上單調(diào)遞減,

??.g(，)Wg(t)Wg('),即一3Wg(力故選：B,

lgx\-a,0<x<3

3.已知函數(shù)/(%)=<(其中awR),若/(x)的四個(gè)零點(diǎn)從小

lg(6-x)\-a,3<x<6"

4

到大依次為再，/，%3，%4，則%馬+^^的值是（）

Z=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】B

解：由題意可知,

ig40<x<3

fM有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g（%）=°z圖象與函數(shù)y=a有四個(gè)交點(diǎn),

lg(6-x)|,3<x<6

如圖所示,

a

即再=10一"，々=10",x3=6-10,x4=6-10^,

44

所以X1%=1，=10"+10-"+6—10°+6—1（T"=12,故再超+2%=13,故選：B.

i=lz=l

【題型八】高斯函數(shù)型

【典例分析】

設(shè)國(guó)表示不超過X的最大整數(shù)，如國(guó)=1,[0.5]=0,已知函數(shù)〃x）=L1x」1—Z（x〉0）,若

X

方程/（x）=o有且僅有3個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

【答案】C【解析】解：由/（x）=0可得：[x\=kx,繪制函數(shù)）=[九]的圖象，使得

此函數(shù)與正比例函數(shù)丁=丘在（0,內(nèi)）上恰好有3個(gè)交點(diǎn)即可.

如圖所示，點(diǎn)（5,4）和點(diǎn)（4,3）為臨界點(diǎn)，實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

本題選擇C選項(xiàng).

【提分秘籍】

基本規(guī)律

取整函數(shù)（高斯函數(shù)）

1.具有“周期性”

2.一端是“空心頭”，一端是“實(shí)心頭”

3.還可以引入“四舍五入”函數(shù)作對(duì)比

【變式演練】

1.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，設(shè)xeR,

用國(guó)表示不超過X的最大整數(shù)，＞=國(guó)也被稱為“高斯函數(shù)”，例如[2』]=2,[3]=3,

[-1,5]=-2,設(shè)/為函數(shù)〃尤）=log2X-：-l的零點(diǎn)，則[%]=（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

利用零點(diǎn)存在性定理求出x0e(3,4),再由“高斯函數(shù)”的定義即可求解.

【詳解】/(x)=log2x-1-l,函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，〃3)=log23-2<0,

o1

/(4)=log24-^-l=->0,若〃％)=0,則%?3,4),所以[%]=3.故選：B

2.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，為了紀(jì)念數(shù)

學(xué)家高斯，人們把函數(shù)y=[x],xeR稱為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)

{x}=x-[x],貝!1函數(shù)/(x)=2尤的全部零點(diǎn)之和為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】

由題意知，當(dāng)x=0時(shí)，/(%)=-1,所以。不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)xwO時(shí)，令

%=2{x}=2x-2[x],%=1+1,作出函數(shù)必=2{x}=2尤=4+1的圖象，利用數(shù)形

%%

結(jié)合思想，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義即可求解.

【詳解】

由題意知，當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=-l,所以0不是函數(shù)的零點(diǎn)，

當(dāng)xwO時(shí)，〃x)=2尤{x}—x-1=0可得，2{x}=—+1,令％=2{x}=2尤一2[x],%=工+1，

由圖象可知，除點(diǎn)(TO)外，函數(shù)乂=2"}=2》-2國(guó),%=1+1圖象其余交點(diǎn)關(guān)于(0,1)

中心對(duì)稱，，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即玉+2+$+…=0,

由函數(shù)零點(diǎn)的定義知，函數(shù)/(x)=2x{x}-x-1的全部零點(diǎn)之和為

—1+石+%2+毛-1+°=一1?故選：A

3.高斯函數(shù)y(x)=[x](國(guó)表示不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù))，若函數(shù)g(x)=e'-e7-2的零

點(diǎn)為%,則g[/(%)]=()

11,1

A.——e-2B.-2C.e----2D./--r-2

eee'

【答案】B

【分析】先推斷g(x)=，-0一"2的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理，得到零點(diǎn)%所在范圍，然

后從內(nèi)到外求函數(shù)值.

【詳解】因?yàn)?(力=/-/-2,所以g，(x)=e，+e*>0,所以g(x)在7?上是增函數(shù).而

11

g(0)=e°-e°-2=-2<0,g(l)=e-e--2>0,所以%?0,1),所以/(%)=[即=0,所以

g[“Xo)]=g(O)=-2.故選：B

【題型九】與三角函數(shù)結(jié)合

【典例分析】

\cos(27rx-27ra]x<-a

設(shè)ad/?,函數(shù)/1(x)=[“'2V、，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有6

\x-2(a+l)%+a+5x>a

個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

【答案】A

【分析】由爐一2(。+1卜+4+5=0最多有2個(gè)根，可得cos(2萬X—27a)=0至少有4個(gè)根,

分別探討當(dāng)和X?。時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)狀況，再結(jié)合考慮即可得出.

【詳解】.川_2(。+1)*+儲(chǔ)+5=0最多有2個(gè)根，所以cos(2%x—2萬。)=0至少有4個(gè)根，

1k1左1

由27rx—2TTQ="+kji,kGZ%=萬+1+。,左EZ,由。<耳+1+^^^]可

C171

—2a—<K<—,

22

179

(1)%va時(shí)，當(dāng)一5