2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動態(tài)幾何之定值問題探討

2024年中考復(fù)習(xí)專題：動態(tài)幾何之定值問題探討

一、線段（和差）為定值問題:

典型例題:

例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=9cm,點P從點B動身，沿射線BC方向以每秒2cm的速

度移動，同時，點Q從點D動身，沿線段DA以每秒1cm的速度向點A方向移動（當(dāng)點Q到達點A時,

點P與點Q同時停止移動），PQ交BD于點E.求證：在點P、Q的移動過程中，線段BE的長度保持不

變.

例2：如圖，已知二次函數(shù)人尸c2-4x+3與x軸交于4、3兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C,

頂點坐標(biāo)為P.

（1）寫出二次函數(shù)〃的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；

（2）探討二次函數(shù)E2：y=kx1-4kx+3k（原0）.

①寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)匕有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；

②是否存在實數(shù)左，使AAB尸為等邊三角形？假如存在，懇求出左的值；如不存在，請說明理由;

③若直線y=8左與拋物線乙2交于￡、尸兩點，問線段所的長度是否發(fā)生變更？假如不會，懇求出EE的長

度；假如會，請說明理由.

練習(xí)題：

1.如圖，放/XABC中，ZA=30°,8c=10cs,點。在線段BC上從B向C運動，點P在線段BA上從8向A

運動.。、尸兩點同時動身，運動的速度相同，當(dāng)點。到達點C時，兩點都停止運動.作PMLPQ交C4

于點過點P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為￡、F.

(1)求證：APQEsAPMF；

(2)當(dāng)點P、Q運動時，請猜想線段與的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；

(3)設(shè)8P=x,的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時，y有最大值，并將這個

值求出來.

2、己知正方形ABC。，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在。C邊所在直線上，且隨著點P的運

動而運動，PE=PD思成'立.

(1)如圖(1),當(dāng)點P在對角線AC上時，請你通過測量、視察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？(干脆寫

出結(jié)論不必證明)；

(2)如圖(2),當(dāng)點尸運動到C4的延長線上時，(1)中猜想的結(jié)論是否成立？假如成立，請給出證明；假

如不成立，請說明理由；

(3)如圖(3),當(dāng)點尸運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖(3)畫出滿意條件的圖形，并推斷此時

PE與PB有怎樣的關(guān)系？(干脆寫出結(jié)論不必證明)

3,如圖，梯形ABC。中，AD//BC,BC=20cm,AD=10cm,現(xiàn)有兩個動點P、。分別從8、。兩點同時動

身，點P以每秒2cm的速度沿BC向終點C移動，點Q以每秒1cm的速度沿DA向終點A移動，線

段尸。與BD相交于點E,過￡作EF//BC交CD于點F,射線QF交BC的延長線于點H,設(shè)動點尸、

。移動的時間為f(單位：秒，0<?<10).

(1)當(dāng)f為何值時，四邊形PC。。為平行四邊形？

(2)在P、。移動的過程中，線段尸H的長是否發(fā)生變更？假如不變，求出線段PH的長；假如變更，請

說明理由.

4、已知：A、B、C不在同始終線上.

(1)若點A、B、C均在半徑為R的。。上，

D如圖一，當(dāng)乙4=45。時，R=l,求NBOC的度數(shù)和BC的長度；

RC1

ii)如圖二，當(dāng)NA為銳角時，求證---；

2R

(2).若軍專線段BC的兩個端點分別在NMAN的兩邊AM、AN(B、C均與點A不重合)滑動，如圖三,

當(dāng)NMAN=60。，BC=2時，分別作8P_L4M,CPLAN,交點為點P,摸索究：在整個滑動過程中，P、A

兩點的距離是否保持不變？請說明理由.

二、面積(和差)為定值問題:

典型例題:

例1：如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC,E、F分別是AB、DC邊的中點，AB=4,ZB=60°,

(1)求點E到BC邊的距離；

(2)點P為線段EF上的一個動點，過P作PMXBC,垂足為M,過點M作MN〃AB交線段AD于點N,

連接PN、探究：當(dāng)點P在線段EF上運動時，APMN的面積是否發(fā)生變更？若不變，懇求出APMN的面

積；若變更，請說明理由.」vn

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOC。的頂點A的坐標(biāo)是(0,4),現(xiàn)有兩動點P、Q,點尸

從點。動身沿線段OC(不包括端點O,C)以每秒2個單位長度的速度，勻速向點C運動，點。從點C

動身沿線段CD(不包括端點C,D)以每秒1個單位長度的速度勻速向點。運動.點P,。同時動身，同

時停止，設(shè)運動時間為r秒，當(dāng)/=2秒時P°=2后.

(1)求點。的坐標(biāo)，并干脆寫出f的取值范圍;

(2)連接AQ并延長交x軸于點E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點￡連接EF,則△AEP的面積S是

否隨才的變更而變更？若變更，求出S與f的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在(2)的條件下，f為何值時，四邊形AP。尸是梯

形？

練習(xí)題:

1.如圖1,在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D、E分另I]是AB、AC的中點，F(xiàn)、G為BC上的兩點，F(xiàn)G=3,

線段DG,EF的交點為O,當(dāng)線段FG在線段BC上移動時，三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之

和恒為定值，則這個定值是.

2.如圖2,在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E、G、H、F分另在AB、BC、CD、AD±,且AF=CG=2,

BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間隨意一點，連接PE、PF、PG、PH,則△PEF和△PGH的面積和等

于_____________.

6c

3.如圖所示，四邊形0ABe是矩形.點A、C的坐標(biāo)分別為(—3,0),(0,1),點。是線段上的動點(與

端點2、C不重含)，過點。作直線y=5%+6交折線。48于點E。

(1)記△ODE的面積為S.求S與6的函數(shù)關(guān)系式：

(2)當(dāng)點E在線段上時，且tanZDEO=~.若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形

O]A|B|C|.摸索究四邊形O[A]B]C]與矩形04BC的重疊部分的面積是否發(fā)生變更，若不變，求出該重

疊部分的面積；若變更.請說明理由。

4.如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以lcm/s的速度沿BG方向

移動，移動起先前點A與點尸重合.在移動過程中，邊始終與邊FG重合，連接CG,過點4作。6

的平行線交線段GH于點P,連接PD已知正方形ABCD的邊長為1cm,矩形EFGH的邊FG、GH的

長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間為x（s）,線段GP的長為yCem）,其中09區(qū)25

⑴試求出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時相應(yīng)x的值；

⑵記△DGP的面積為N，△COG的面積為S2.試說明N一$2是常數(shù)；

⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

其它定值問題:

典型例題:

例1：如圖，將正方形對折后綻開（圖④是連續(xù)兩次對折后再綻開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個

直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半.這樣的圖形有（）

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例2：圖1,已知直線產(chǎn)自與拋物線y=-云x2+?~x交于點A(3,6).

(1)求直線y=kx的解析式和線段0A的長度；

(2)點尸為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點尸作直線PM,交無軸于點M(點M、。不重合)，交直線

OA于點。，再過點。作直線PM的垂線，交y軸于點M摸索究：線段與線段QN的長度之比是否

為定值？假如是，求出這個定值；假如不是，說明理由；

練習(xí)

1、如圖1,在直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，點A在y軸正半軸上，二次函數(shù)yu^+'x+c的圖象尸交x

6

軸于8、C兩點，交y軸于M點，其中8(-3,0),M(0,-1)。已知AM=8C。

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)證明：在拋物線尸上存在點。，使A、B、C、。四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并懇求

出直線8。的解析式；