2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題探討

2024年中考復(fù)習(xí)專題：動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題探討

一、線段（和差）為定值問(wèn)題:

典型例題:

例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=9cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身，沿射線BC方向以每秒2cm的速

度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D動(dòng)身，沿線段DA以每秒1cm的速度向點(diǎn)A方向移動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí),

點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止移動(dòng)），PQ交BD于點(diǎn)E.求證：在點(diǎn)P、Q的移動(dòng)過(guò)程中，線段BE的長(zhǎng)度保持不

變.

例2：如圖，已知二次函數(shù)人尸c2-4x+3與x軸交于4、3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為P.

（1）寫出二次函數(shù)〃的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）探討二次函數(shù)E2：y=kx1-4kx+3k（原0）.

①寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)匕有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；

②是否存在實(shí)數(shù)左，使AAB尸為等邊三角形？假如存在，懇求出左的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

③若直線y=8左與拋物線乙2交于￡、尸兩點(diǎn)，問(wèn)線段所的長(zhǎng)度是否發(fā)生變更？假如不會(huì)，懇求出EE的長(zhǎng)

度；假如會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練習(xí)題：

1.如圖，放/XABC中，ZA=30°,8c=10cs,點(diǎn)。在線段BC上從B向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段BA上從8向A

運(yùn)動(dòng).。、尸兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).作PMLPQ交C4

于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為￡、F.

(1)求證：APQEsAPMF；

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段與的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；

(3)設(shè)8P=x,的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，并將這個(gè)

值求出來(lái).

2、己知正方形ABC。，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在。C邊所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)

動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD思成'立.

(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量、視察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？(干脆寫

出結(jié)論不必證明)；

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中猜想的結(jié)論是否成立？假如成立，請(qǐng)給出證明；假

如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖(3)畫出滿意條件的圖形，并推斷此時(shí)

PE與PB有怎樣的關(guān)系？(干脆寫出結(jié)論不必證明)

3,如圖，梯形ABC。中，AD//BC,BC=20cm,AD=10cm,現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、。分別從8、。兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)

身，點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1cm的速度沿DA向終點(diǎn)A移動(dòng)，線

段尸。與BD相交于點(diǎn)E,過(guò)￡作EF//BC交CD于點(diǎn)F,射線QF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸、

。移動(dòng)的時(shí)間為f(單位：秒，0<?<10).

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形PC。。為平行四邊形？

(2)在P、。移動(dòng)的過(guò)程中，線段尸H的長(zhǎng)是否發(fā)生變更？假如不變，求出線段PH的長(zhǎng)；假如變更，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

4、已知：A、B、C不在同始終線上.

(1)若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的。。上，

D如圖一，當(dāng)乙4=45。時(shí)，R=l,求NBOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng)度；

RC1

ii)如圖二，當(dāng)NA為銳角時(shí)，求證---；

2R

(2).若軍專線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在NMAN的兩邊AM、AN(B、C均與點(diǎn)A不重合)滑動(dòng)，如圖三,

當(dāng)NMAN=60。，BC=2時(shí)，分別作8P_L4M,CPLAN,交點(diǎn)為點(diǎn)P,摸索究：在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，P、A

兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由.

二、面積(和差)為定值問(wèn)題:

典型例題:

例1：如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC,E、F分別是AB、DC邊的中點(diǎn)，AB=4,ZB=60°,

(1)求點(diǎn)E到BC邊的距離；

(2)點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMXBC,垂足為M,過(guò)點(diǎn)M作MN〃AB交線段AD于點(diǎn)N,

連接PN、探究：當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APMN的面積是否發(fā)生變更？若不變，懇求出APMN的面

積；若變更，請(qǐng)說(shuō)明理由.」vn

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOC。的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q,點(diǎn)尸

從點(diǎn)。動(dòng)身沿線段OC(不包括端點(diǎn)O,C)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C

動(dòng)身沿線段CD(不包括端點(diǎn)C,D)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,。同時(shí)動(dòng)身，同

時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒，當(dāng)/=2秒時(shí)P°=2后.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)，并干脆寫出f的取值范圍;

(2)連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡連接EF,則△AEP的面積S是

否隨才的變更而變更？若變更，求出S與f的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在(2)的條件下，f為何值時(shí)，四邊形AP。尸是梯

形？

練習(xí)題:

1.如圖1,在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D、E分另I]是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G為BC上的兩點(diǎn)，F(xiàn)G=3,

線段DG,EF的交點(diǎn)為O,當(dāng)線段FG在線段BC上移動(dòng)時(shí)，三角形FGO的面積與四邊ADOE的面積之

和恒為定值，則這個(gè)定值是.

2.如圖2,在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點(diǎn)E、G、H、F分另在AB、BC、CD、AD±,且AF=CG=2,

BE=DH=1,點(diǎn)P是直線EF、GH之間隨意一點(diǎn)，連接PE、PF、PG、PH,則△PEF和△PGH的面積和等

于_____________.

6c

3.如圖所示，四邊形0ABe是矩形.點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(—3,0),(0,1),點(diǎn)。是線段上的動(dòng)點(diǎn)(與

端點(diǎn)2、C不重含)，過(guò)點(diǎn)。作直線y=5%+6交折線。48于點(diǎn)E。

(1)記△ODE的面積為S.求S與6的函數(shù)關(guān)系式：

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，且tanZDEO=~.若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形

O]A|B|C|.摸索究四邊形O[A]B]C]與矩形04BC的重疊部分的面積是否發(fā)生變更，若不變，求出該重

疊部分的面積；若變更.請(qǐng)說(shuō)明理由。

4.如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以lcm/s的速度沿BG方向

移動(dòng)，移動(dòng)起先前點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合.在移動(dòng)過(guò)程中，邊始終與邊FG重合，連接CG,過(guò)點(diǎn)4作。6

的平行線交線段GH于點(diǎn)P,連接PD已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm,矩形EFGH的邊FG、GH的

長(zhǎng)分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s）,線段GP的長(zhǎng)為yCem）,其中09區(qū)25

⑴試求出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時(shí)相應(yīng)x的值；

⑵記△DGP的面積為N，△COG的面積為S2.試說(shuō)明N一$2是常數(shù)；

⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng).

其它定值問(wèn)題:

典型例題:

例1：如圖，將正方形對(duì)折后綻開(kāi)（圖④是連續(xù)兩次對(duì)折后再綻開(kāi)），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)

直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半.這樣的圖形有（）

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例2：圖1,已知直線產(chǎn)自與拋物線y=-云x2+?~x交于點(diǎn)A(3,6).

(1)求直線y=kx的解析式和線段0A的長(zhǎng)度；

(2)點(diǎn)尸為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線PM,交無(wú)軸于點(diǎn)M(點(diǎn)M、。不重合)，交直線

OA于點(diǎn)。，再過(guò)點(diǎn)。作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)M摸索究：線段與線段QN的長(zhǎng)度之比是否

為定值？假如是，求出這個(gè)定值；假如不是，說(shuō)明理由；

練習(xí)

1、如圖1,在直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)yu^+'x+c的圖象尸交x

6

軸于8、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中8(-3,0),M(0,-1)。已知AM=8C。

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)證明：在拋物線尸上存在點(diǎn)。，使A、B、C、。四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并懇求

出直線8。的解析式；