教師資格認(rèn)定考試高級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題18

教師資格認(rèn)定考試高級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題18一、單項選擇題1.

已知U={y|y=log2x，x＞1}，，則

A．

B．

C．(0，+∞)

D．正確答案：D[解析]∵x＞1，∴l(xiāng)og2x＞0，∴U={y|y＞0}，∵x＞2，∴，∴，∴，故選D。

2.

設(shè)P(A)=a，P(B)=b，P(A∪B)=C，則A.a-bB.c-bC.a(1-b)D.c-a正確答案：B[解析]。故選B。

3.

曲線x=t，y=t2，z=t3在點(1，1，1)處的法平面方程是______

A．

B．x+2y+3z-6=0

C．

D．x+y+z-3=0正確答案：B[解析]曲線x=t，y=t2，z=t3在點(1，1，1)處的切向量為(1，2．3)，所以曲線在點(1，1，1)處的法平面方程為1·(x-1)+2·(y-1)+3·(z-1)=0，化簡得x+2y+3z-6=0，故正確答案選B。

4.

在區(qū)間[0，1]上，函數(shù)f(x)=nx(1-x)n的最大值記為M(n)，則的值為______A.e-1B.eC.e2D.e3正確答案：A[解析]f'(x)=n(1-x)n-n2x(1-x)n-1=n(1-x)n-1(1-x-nx)，令f'(x)=0，得x=1或，且是函數(shù)的唯一極大值點，在閉區(qū)間[0，1]上，也是最大值點。所以。

5.

已知△ABC和點M滿足。若存在實數(shù)m使得成立，則m=______A.2B.3C.4D.5正確答案：B[解析]由知M是△ABC的重心，且重心M分中線AE為AM:ME=2:1，所以，所以，所以m=3。

6.

矩陣的屬于特征根4的特征向量是______A.x=(a，a，-a)，a≠0B.x=(2a，a，-3a)，a≠0C.x=(a，-a，a)，a≠0D.x=(-2a，3a，a)，a≠0正確答案：A[解析]對λ=4求相應(yīng)的線性方程組(λE-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系，有化簡求得此齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為(1，1，-1)，則對應(yīng)特征值4的特征向量為x=(a，a，-a)，a≠0。

7.

下列關(guān)于數(shù)學(xué)的抽象性中，表述不正確的一項是______A.在程度上具備不徹底性B.從對象的具體性質(zhì)進(jìn)行抽象C.從具體的數(shù)量進(jìn)行抽象D.從數(shù)學(xué)對象之間的相互關(guān)系進(jìn)行抽象正確答案：A[解析]數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，在程度上具備徹底性。

8.

“在同一時間內(nèi)，從同一個方面，對于同一個思維對象，必須做出明確的肯定或否定”是邏輯思維的______A.排中律B.同一律C.矛盾律D.充足理由律正確答案：A

二、簡答題(每小題7分，共35分)1.

設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖象為過原點和點(2，0)的拋物線，開口向下，且f(x)的極小值為2，極大值為6，求f(x)。正確答案：解：設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a＜0)，由于導(dǎo)函數(shù)的圖象過原點與點(2，0)，則f'(x)=ax(x-2)。f"(x)=2ax-2a，

∵f"(0)=-2a＞0，∴x=0為極小值點，

∴f(0)=2，

∵f"(2)=2a＜0，∴x=2為極大值點，

∴f(2)=6，

，

由

∴f(x)=-x3+3x2+2。

設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，ξ=0；當(dāng)兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，ξ=1。2.

求概率P(ξ=0)；正確答案：解：若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的一個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有對相交棱，所以。

3.

求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)。正確答案：解：若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對，

∴，。

∴隨機(jī)變量ξ的分布列是：

∴其數(shù)學(xué)期望。

4.

設(shè)，且方程組AX=0的解空間的維數(shù)為2，求AX=0的通解。正確答案：解：由于解空間的維數(shù)等于AX=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)，所以4-r(A)=2，即r(A)=2。

將A化為階梯形矩陣：

由r(A)=2知，(t-1)2=0，即t=1，

則即

分別取(x3，x4)T=(1，0)T，(x3，x4)T=(0，1)T，

得方程組的通解為，其中k1，k2∈R。

5.

傳統(tǒng)教育非常偏重數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價值，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。在新課程改革的今天，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識作為數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)。教師在實施教學(xué)中，應(yīng)如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?正確答案：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，教師可以從以下五方面進(jìn)行問題情境的設(shè)計。(1)鼓勵學(xué)生運用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)自身的問題；(2)引導(dǎo)學(xué)生解決日常生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題；(3)啟發(fā)學(xué)生思考其他學(xué)科與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題；(4)鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來審視周圍的世界，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考；(5)讓學(xué)生從傳媒的大量信息中找出明顯的或隱含的數(shù)學(xué)問題。例如，從天氣的變化，環(huán)境的保護(hù)，經(jīng)濟(jì)的增長，各種信貸等都可以找到與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題。

6.

數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題?試用簡明的語言說出運用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟。正確答案：數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。在證明過程中，要分“兩個步驟和一個結(jié)論”。其中第一步是歸納奠基，只需驗證n取第一個值n0(這里n0是使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，它不一定是1，可以是2，或取別的正整數(shù))時命題成立；第二步是歸納遞推，就是要證明命題的傳遞性。把第一步的結(jié)論和第二步的結(jié)論聯(lián)系起來，才可以斷定命題對所有的正整數(shù)都成立。因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，完成了上述兩個步驟后，還應(yīng)該有一個總的結(jié)論，否則，還不能算是已經(jīng)證明完畢。所以，嚴(yán)格地說，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的完整過程應(yīng)該是“兩個步驟和一個結(jié)論”。

三、解答題(10分)我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0。如圖所示，點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2分別是“果圓”與x，y軸的交點。

1.

若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；正確答案：解：∵F0(c，0)，，，

，，

于是，

所以“果圓”方程為：。

2.

當(dāng)|A1A2|＞|B1B2|時，求的取值范圍。正確答案：解：由題意得：a+c＞2b，即，即a2-b2＞(2b-a)2，得，

又b2＞c2=a2-b2，∴，

∴。

四、論述題(15分)1.

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)怎樣幫助學(xué)生注重聯(lián)系，提高對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識?正確答案：數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的動力，也有外在的動力。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。

高中數(shù)學(xué)課程是以模塊和專題的形式呈現(xiàn)的。因此，教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力。例如，教學(xué)中要注重函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系，向量與三角恒等變形、向量與幾何、向量與代數(shù)的聯(lián)系，數(shù)與形的聯(lián)系，算法思想在有關(guān)內(nèi)容中的滲透、在不同內(nèi)容中的應(yīng)用等。此外，還要注意數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及現(xiàn)實世界的聯(lián)系。例如，教學(xué)中應(yīng)重視向量與力、速度的聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)與現(xiàn)實世界中存在的變化率的聯(lián)系等。

五、案例分析題(20分)案例：

下面是學(xué)生小強(qiáng)在解答一道題目時的解法：

題目：(判斷下列命題是否正確，如果正確，證明之；若不正確，請說明理由)

在△ABC中恒滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

解：命題正確。證明如下：△ABC中∠C=π-(∠A+∠B)，所以有

，整理即得，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

問題：1.

請指出學(xué)生小強(qiáng)的錯誤，并分析出現(xiàn)錯誤的原因；正確答案：題干中所述命題成立是有限制條件的，即△ABC的三個角都不能是直角，也就是△ABC不能是直角三角形。錯誤原因：忽略了正切函數(shù)的定義域，即當(dāng)∠A，∠B，∠C中有直角時，相應(yīng)角的正切值是不存在的，因而導(dǎo)致等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC不能恒成立。

2.

如果你是小強(qiáng)的老師，在教學(xué)過程中如何幫助小強(qiáng)避免再出現(xiàn)這樣的錯誤。正確答案：學(xué)生出現(xiàn)這樣的錯誤是普遍存在的，主要原因是沒有做好對隱含條件的挖掘。教師在教學(xué)中要注意在學(xué)生知識形成的過程中要讓學(xué)生知道知識的“來龍去脈”，對知識的背景及相關(guān)數(shù)學(xué)史適當(dāng)闡述，而不是光禿禿地只講解知識點。數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)定理往往會有一些成立的條件，這些條件在學(xué)生學(xué)習(xí)時是重點，做題時是易錯點，因此應(yīng)該在教學(xué)中要重點關(guān)注這些成立條件(限制條件)，以教學(xué)重難點的形式定位，并在練習(xí)中有針對性地練習(xí)，在測試中有目的地測試，養(yǎng)成第一時間考慮并去挖掘題目中的隱含條件的思維習(xí)慣。

六、教學(xué)設(shè)計題(30分)根據(jù)“幾何概型”(第一課時)的內(nèi)容，某教師為本節(jié)課的引入設(shè)計的一組問題串：

問題1：在4m長的線段PQ上有五個點P1，P2，P3，P4，P5將其六等分，現(xiàn)從這五個點中任取一點，求選取的點與線段兩端距離都大于1m的概率。

問題2：這種概率模型你們以前學(xué)過嗎?叫什么名字?它有什么特點?

問題3：在4m長的線段PQ上任取一點，求選取的點與線段兩端距離都大于1m的概率。

問題4：問題3的概率模型是古典概型嗎?

問題5：從基本事件的特點來看，它與古典概型有什么相同點和不同點?

問題：1.

請為本節(jié)課設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，以及教學(xué)重難點；正確答案：教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：體會幾何概型的意義；了解幾何概型的基本特點以及與古典概型的異同點，會進(jìn)行簡單的幾何概型計算。

過程與方法：學(xué)生通過自主探究、討論交流，經(jīng)歷概念產(chǎn)生與發(fā)展的過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比等邏輯推理能力，通過實際應(yīng)用，感知用圖形解決概率問題的方法和滲透化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法。

情感態(tài)度與價值觀：體會概率在生活中的重要作用，感知生活中的數(shù)學(xué)，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣，培養(yǎng)其積極探索的精神。

教學(xué)重點：掌握幾何概型的判斷及幾何概率的計算公式；

教學(xué)難點：幾何概型的建構(gòu)及解決實際問題時如何根據(jù)具體背景正確判斷對應(yīng)的幾何區(qū)域和幾何量。

2.

請回答古典概型與幾何概型的相同點與不同點，并結(jié)合上