教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題24

教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題24一、單項(xiàng)選擇題1.

設(shè)，且向量是A-1的特征向量，則常數(shù)k=______。A.1B.-2C.-1D.1或-2正確答案：D[解析]因?yàn)橄蛄喀潦茿-1的特征向量，所以α也是A的特征向量，則存在一個(gè)常數(shù)λ，有，所以，解得k=1或k=-2。故本題選D。

2.

《九章算數(shù)注》的作者是______。A.劉徽B.秦九韶C.楊輝D.趙爽正確答案：A[解析]劉徽是中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，他注有《九章算數(shù)注》和《海島算經(jīng)》。

3.

巧妙而簡(jiǎn)潔地證明了存在某種不能用開(kāi)方運(yùn)算求解方程的方法，同時(shí)還提出了一個(gè)代數(shù)方程能用根式求解的判定定理的數(shù)學(xué)家是______。A.拉格朗日B.伽羅瓦C.費(fèi)拉里D.達(dá)爾卡諾正確答案：B[解析]1828年，法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦巧妙而簡(jiǎn)潔地證明了存在某種不能用開(kāi)方運(yùn)算求解方程的方法，同時(shí)還提出了一個(gè)代數(shù)方程能用根式求解的判定定理。

4.

設(shè)且a≠0，則當(dāng)a=______時(shí)，存在。A.1B.2C.3D.-1正確答案：B[解析]計(jì)算函數(shù)f(x)在x=0處的左右極限，，。若存在，則，即1=a-1，所以a=2。故本題選B。

5.

已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，則D(X)=______。

A．1

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因?yàn)?，由正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可知，隨機(jī)變量，即。故本題選B。

6.

設(shè)三階方陣A的特征值為1，2，-3，則|A2-3A-E|的值為_(kāi)_____。A.135B.153C.-6D.0正確答案：B[解析]由矩陣特征值的性質(zhì)可知，如果λ是矩陣A的一個(gè)特征值，則λ2是A2的特征值，kλ是kA的特征值，λ-1是A-E的特征值。所以矩陣A2-3A-E的特征值為λ2-3λ-1(λ=1，2，-3)，即為-3，-3，17。因?yàn)榫仃嚨男辛惺降闹档扔诰仃囁刑卣髦档某朔e，所以|A2-3A-E|=(-3)×(-3)×17=153。

7.

下面不屬于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的課程基本理念的是______。A.學(xué)生發(fā)展為本，立德樹(shù)人，提升素養(yǎng)B.優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容C.重視過(guò)程評(píng)價(jià)，聚焦素養(yǎng)，提高質(zhì)量D.把握學(xué)生特點(diǎn)，啟發(fā)服考，創(chuàng)新教學(xué)正確答案：D[解析]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，高中數(shù)學(xué)課程基本理念是①學(xué)生發(fā)展為本，立德樹(shù)人，提升素養(yǎng)；②優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容；③把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)；④重視過(guò)程評(píng)價(jià)，聚焦素養(yǎng)，提高質(zhì)量。

8.

設(shè)M，N為隨機(jī)事件，P(N)＞0，且條件概率P(M|N)=1，則必有______。A.P(M∪N)＞P(M)B.P(M∪N)＞P(N)C.P(M∪N)=P(M)D.P(M∪N)=P(N)正確答案：C[解析]已知，所以P(MN)=P(N)，于是P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=P(M)。故本題選C。

二、簡(jiǎn)答題(每小題7分，共35分)1.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，滿足。證明：存在x0∈[a，b]，使得f(x0)=x0。正確答案：若f(a)=0或f(b)=b，只需令x0=a或b即可，下面假設(shè)f(a)≠a，f(b)≠b。

令F(x)=f(x)-x，則F(x)在[a，b]上連續(xù)。由于，且f(a)≠a，f(b)≠b，所以F(a)=f(a)-a＞0，F(xiàn)(b)=f(b)-b＜0，于是由零點(diǎn)存在定理可知，存在x0∈[a，b]，使得F(x0)=0，即f(x0)=x0。

2.

設(shè)α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，證明：α1+α2，α2+α3，α1+α3線性無(wú)關(guān)。正確答案：設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以解方程組得，k1=k2=k3=0。因此，α1+α2，α2+α3，α1+α3線性無(wú)關(guān)。

3.

簡(jiǎn)述《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》有關(guān)教師實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題。正確答案：(1)以教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的理念為指導(dǎo)，提升自身的專業(yè)水平

教師要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為依托，終身學(xué)習(xí)、不斷實(shí)踐，掌握教學(xué)所需基礎(chǔ)知識(shí)，提升教書(shū)育人的基本能力。

(2)數(shù)學(xué)教師要努力提升通識(shí)素養(yǎng)

教師要主動(dòng)提升包括科學(xué)素養(yǎng)、人文素養(yǎng)和信息技術(shù)素養(yǎng)等通識(shí)素養(yǎng)，應(yīng)養(yǎng)成良好的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，能學(xué)習(xí)、會(huì)學(xué)習(xí)、善學(xué)習(xí)，努力成為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、不斷進(jìn)取的榜樣。在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)勇于創(chuàng)新，包括教學(xué)方式的創(chuàng)新，也包括從教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)；包括指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的創(chuàng)新，也包括對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的探索；包括對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更為深刻的理解，也包括對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的梳理。

(3)數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)

為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教師必須提升自身的“四基”水平、提升數(shù)學(xué)專業(yè)能力，自覺(jué)養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流問(wèn)題的習(xí)慣。

(4)數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng)

教師要結(jié)合教育教學(xué)實(shí)踐，閱讀和理解數(shù)學(xué)教育經(jīng)典著作，關(guān)注前沿進(jìn)展的要求。認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，理解和把握高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，深入思考教與學(xué)的關(guān)系?；谡n程標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)真研讀教材，把握“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)；基于理論與實(shí)踐，不斷探索數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律，特別是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的規(guī)律，探索如何把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)。理解和把握評(píng)價(jià)的作用，思考如何通過(guò)評(píng)價(jià)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性、如何通過(guò)評(píng)價(jià)調(diào)整自己的教學(xué)。

(5)數(shù)學(xué)教師要努力提升教學(xué)實(shí)踐能力

數(shù)學(xué)教師應(yīng)用理論指導(dǎo)實(shí)踐，不斷總結(jié)與反思自己的教學(xué)實(shí)踐，不斷提高教學(xué)能力，并最終落實(shí)到課堂、落實(shí)到學(xué)生。

4.

設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在(a，b)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得。正確答案：令，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，同時(shí)F(a)=0，。因此，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈[a，b]，使得F(b)-F(a)=F'(∈)(b-a)，即。

5.

求由曲線y=3-x2和直線y=1-x所圍的平面圖形的面積S。正確答案：聯(lián)立方程可求得曲線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，2)和(2，-1)，因此由定積分的幾何應(yīng)用可知

三、解答題(本大題1小題，10分)1.

設(shè)，當(dāng)a，b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C。正確答案：由題意可知矩陣C為2×2階矩陣，故可設(shè)，則由AC-CA=B，即，可得線性方程組

求所有矩陣C，即求出方程組①的通解。對(duì)方程組①的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：

，由于方程組①有解，故有1+a=0，b-1-a=0，即a=-1，b=0，從而有其中k1，k2為任意實(shí)數(shù)，從而有。

四、論述題(本大題1小題，15分)1.

類比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，不僅可以在很多知識(shí)的理解與掌握上發(fā)揮作用，而且在解決很多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，這種數(shù)學(xué)思想的作用也能夠很好地得到體現(xiàn)。請(qǐng)談?wù)勵(lì)惐人枷雽?duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有哪些幫助。正確答案：在數(shù)學(xué)課堂上，教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比思想，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解與吸收，能夠加深學(xué)生的知識(shí)掌握程度，使知識(shí)應(yīng)用能力也得到很好的鍛煉。

①概念形成中的有效類比

概念教學(xué)是理論知識(shí)教學(xué)的重要組成部分，在概念教學(xué)中教師可以充分利用類比思想做輔助教學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)的很多知識(shí)點(diǎn)存在相似性，教師可以靈活地運(yùn)用類比思想來(lái)輔助理論知識(shí)的教學(xué)，并且在比較與聯(lián)系的過(guò)程中幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，充分發(fā)揮類比教學(xué)的作用，極大地促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解與吸收。

②知識(shí)整合時(shí)的有效類比

教師可以引導(dǎo)學(xué)生以類比的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)于新知識(shí)點(diǎn)的理解與吸收，也可以讓學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)間的類比與對(duì)照中更好地認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣不僅能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的良好整合，也可以保障學(xué)生對(duì)于每一個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)都有更好的理解與掌握。

③問(wèn)題解決時(shí)的類比探究

在很多實(shí)際問(wèn)題的解答中，培養(yǎng)學(xué)生掌握問(wèn)題解決的方法是教學(xué)的核心，也是學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的一種良好體現(xiàn)。教師可以有意識(shí)地向?qū)W生滲透類比思想，讓學(xué)生在問(wèn)題解答時(shí)類比一些有效的數(shù)學(xué)思想方法，并且通過(guò)解題技巧的遷移來(lái)解決更多實(shí)際問(wèn)題，從而極大地提升學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力與實(shí)踐能力。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問(wèn)題。在學(xué)習(xí)了“雙曲線”后，教師要求學(xué)生解決如下問(wèn)題。

已知雙曲線x2-y2=3，直線y=k(x+1)，討論直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

下面是某位同學(xué)的解答過(guò)程：

聯(lián)立方程組消去y得(1-k2)x2-2k2x-(k2+3)=0，當(dāng)Δ=(-2k2)2+4(1-k2)(k2+3)=0，即時(shí)，方程組只有一個(gè)解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=(-2k2)2+4(1-k2)(k2+3)＞0，即時(shí)，方程組有兩個(gè)解，故直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=(-2k2)2+4(1-k2)(k2+3)＜0，即時(shí)，方程組無(wú)解，故直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)。

問(wèn)題：1.

指出該解法的錯(cuò)誤之處，分析錯(cuò)誤原因，并給出正確解法；正確答案：該生在解題的過(guò)程中忽略了討論二次項(xiàng)的系數(shù)為0的情況。造成這種錯(cuò)誤的原因可能是：該學(xué)生主觀認(rèn)為方程組解的情況只能利用判別式作答，忽略了對(duì)消元后方程的二次項(xiàng)系數(shù)的討論。

正確解法：聯(lián)立方程組消去y得(1-k2)x2-2k2x-(k2+3)=0。當(dāng)1-k2=0，即k=±1時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于x的一元一次方程，方程組只有一個(gè)解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，方程組只有一個(gè)解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)且k≠±1時(shí)，方程組有兩個(gè)解，故直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解，故直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)k=±1或時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)且k≠±1時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)。

2.

針對(duì)該題的教學(xué)，談?wù)勅绾卧O(shè)置問(wèn)題，幫助學(xué)生避免出現(xiàn)上述錯(cuò)誤。正確答案：針對(duì)本題，結(jié)合案例學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師應(yīng)該根據(jù)該題的教學(xué)步驟，在教學(xué)過(guò)程中，采取相應(yīng)的策略設(shè)置問(wèn)題。下面結(jié)合教學(xué)過(guò)程進(jìn)行分析：

①教師與學(xué)生一起回憶舊知，提出問(wèn)題“判斷直線和雙曲線的位置關(guān)系的方法有幾種，分別是什么?”。

②教師結(jié)合本題讓學(xué)生畫(huà)出該題相關(guān)的圖像，設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生全面考慮直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，如“有一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候怎么判斷?對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是什么樣的?”

③教師結(jié)合本題引導(dǎo)學(xué)生分類討論一元二次方程判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，可設(shè)置問(wèn)題如“判別式大于0時(shí)，有幾個(gè)根?等于0時(shí)，有幾個(gè)根?小于0時(shí)呢?”

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共30分)“幾何概型”是高中階段學(xué)生的必修內(nèi)容，被安排在“古典概型”內(nèi)容之后學(xué)習(xí)。在現(xiàn)實(shí)生活中，常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無(wú)窮多的情況，這時(shí)就不能用“古典概型”來(lái)解決了。在特定情形下，可以用“幾何概型”來(lái)解決此類問(wèn)題。

請(qǐng)完成下列任務(wù)：1.

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)高中“幾何概型”這一內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)；正確答案：教學(xué)目標(biāo)

①理解幾何概型的概念，掌握幾何概型的概率計(jì)算公式，理解古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系；

②在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，提升將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的能力；

③經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的意識(shí)。

2.

請(qǐng)結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，類比“古典概型”設(shè)計(jì)“幾何概型”的主要教學(xué)過(guò)程；正確答案：教學(xué)過(guò)程

一、舊知回顧

帶領(lǐng)學(xué)生回顧古典概型的相關(guān)知識(shí)。

二、引入新知

問(wèn)題1：若x的取值是區(qū)間[0，5]中的整數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值不小于3”的概率。(古典概型)

問(wèn)題2：若x的取值是區(qū)間[0，5]中的實(shí)數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值不小于3”的概率。(幾何概型)

學(xué)生自主討論、比較問(wèn)題1，2的不同，引入新知——“幾何概型”。

三、新知探究

1．試驗(yàn)：取一個(gè)邊長(zhǎng)為8cm的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向其中丟一粒黃豆，那么黃豆落入圓內(nèi)的概率有多大?

學(xué)生利用模具自主探究，教師指導(dǎo)，最終形成下表。

項(xiàng)目試驗(yàn)歸納一個(gè)基本事件黃豆落在正方形內(nèi)某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的整個(gè)圖形上的一點(diǎn)(隨機(jī))所有基本事件形成的集合正方形面(S正=64cm2)對(duì)應(yīng)的所有點(diǎn)形成的一個(gè)可度量的區(qū)域D隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的集合內(nèi)切圓面(S圓=16πcm2)區(qū)域D中的某一個(gè)指定區(qū)域d隨機(jī)事件A發(fā)生的概率2．幾何概型的概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型。

在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

3．活動(dòng)：讓學(xué)生對(duì)比古典概型，找出古典概型和幾何概型之間的區(qū)別和聯(lián)系。

學(xué)生討論、教師指導(dǎo)后形成下表。

項(xiàng)目古典概型幾何概型定義滿足古典概型兩大特征(基本事件有限、等可能性)每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例所有的試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)(可列n個(gè))無(wú)限個(gè)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生等可能等可能4．引入部分問(wèn)題探究：讓學(xué)生自主探究課堂開(kāi)始的兩個(gè)問(wèn)題，形成答案后匯報(bào)，教師點(diǎn)評(píng)、指導(dǎo)，訂正答案：

①問(wèn)題1古典概型中的6個(gè)基本事件為“取得值為0”“取得值為1”“取得值為2”“取得值為3”“取得值為4”“