《自動控制原理與應(yīng)用》課件第6章

第6章線性系統(tǒng)的校正方法6.1校正的基本概念6.2無源校正6.3有源校正6.4復(fù)合校正6.5解題示范小結(jié)習題

6.1校正的基本概念

6.1.1校正的定義

所謂系統(tǒng)的校正是指當初步設(shè)計的控制系統(tǒng)不能滿足給定的性能指標的要求時，需要進一步改變控制系統(tǒng)，給控制系統(tǒng)增加一些輔助裝置，使構(gòu)成的新系統(tǒng)滿足給定的性能指標，輔助裝置的設(shè)計過程即為系統(tǒng)的校正。所增加的輔助裝置稱為校正裝置或控制器。當給定的穩(wěn)態(tài)性能指標是單位階躍響應(yīng)的峰值時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量、穩(wěn)態(tài)誤差等時域指標時，一般采用根軌跡法校正；如果給定的性能指標是系統(tǒng)的相角裕度、幅值裕度、諧振頻率、閉環(huán)帶寬等頻域指標時，一般采用頻率法校正。目前在工程方面多采用頻率法校正，通過近似公式進行兩種指標的互換。6.1.2校正方式

按照校正裝置在系統(tǒng)中的連接方式，控制系統(tǒng)的校正方式可分為串聯(lián)校正、反饋校正、前饋校正和復(fù)合校正四種。

串聯(lián)校正：校正裝置一般串接在系統(tǒng)的前向通道中，為

減小校正裝置的功率，一般將其串聯(lián)在相加點之后，如圖6-1所示。

反饋校正：校正裝置接在系統(tǒng)的局部反饋通道之中，如圖6-2所示。圖6-1串聯(lián)校正圖6-2反饋校正前饋校正：又叫順饋校正，校正裝置接在系統(tǒng)給定值之后、主反饋作用點之前的前向通道上，如圖6-3中的Gr(s)。這種校正裝置的作用相當于對給定信號進行整形或濾波后，再送入反饋系統(tǒng)。另一種前饋校正裝置接在系統(tǒng)可測擾動作用點與誤差測量點之間，對擾動信號進行直接或間接測量，形成一條附加的對擾動影響進行補償?shù)耐ǖ?，如圖6-4中的Gn(s)。圖6-3按輸入補償?shù)膹?fù)合校正復(fù)合校正：在反饋控制回路中，加入前饋校正通路，組成一個有機整體，圖6-3為按輸入補償?shù)膹?fù)合控制形式，圖6-4為按擾動補償?shù)膹?fù)合控制形式。

在控制系統(tǒng)中常采用串聯(lián)校正和反饋校正，一般串聯(lián)校

正的設(shè)計比反饋校正的設(shè)計簡單。本章著重討論頻率法串聯(lián)校正。串聯(lián)校正裝置分為無源和有源兩種：無源校正裝置通常由RC無源網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成；有源校正裝置通常由運算放大器和RC網(wǎng)絡(luò)組成。圖6-4按擾動補償?shù)膹?fù)合校正

6.2無源校正

6.2.1無源串聯(lián)超前校正

所謂串聯(lián)超前校正，即采用串聯(lián)校正，其中校正裝置具有相角超前的特點。

1.典型無源超前校正網(wǎng)絡(luò)

典型無源超前校正網(wǎng)絡(luò)如圖6-5所示。圖6-5無源超前校正網(wǎng)絡(luò)設(shè)輸入信號源的內(nèi)阻為零，而輸出端的負載阻抗為無窮大，則該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

式中:由上式可見：采用無源超前網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正時，校正后系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)將是原來的1/a，這樣原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就要增大a倍。為保證穩(wěn)態(tài)誤差不受影響，設(shè)網(wǎng)絡(luò)對開環(huán)放大系數(shù)的衰減已由提高原系統(tǒng)的放大器放大系數(shù)所補償，則補償后的無源超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

根據(jù)上式可以畫出無源超前校正網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性，如圖6-6所示。圖6-6無源超前校正網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性顯然，超前網(wǎng)絡(luò)對頻率在1/(aT)至1/T之間的輸入信號有明顯的微分作用，在該頻率范圍內(nèi)，輸出信號相角比輸入信號相角超前，超前網(wǎng)絡(luò)的名稱由此得名。在相角曲線上有一最大值，即最大超前相角φm，超前網(wǎng)絡(luò)的相角為將上式對ω求導并令其為零，得最大超前角頻率為

或可見，ωm在對數(shù)分度的ω軸上出現(xiàn)在ω1=1/(aT)和ω2=1/T的幾何中點上。

將ωm代入相角函數(shù)，得到最大超前相角為

上式表明：最大超前相角φm僅與系數(shù)a有關(guān):a值越大，校正網(wǎng)絡(luò)微分作用越強?？梢?，提高系統(tǒng)的相角裕度有助于系統(tǒng)動態(tài)性能的改善，但同時微分作用也越強，這使系統(tǒng)抗高頻干擾能力明顯下降。因此實際選用時，a不能太大，一般不大于20。此外，當ω→∞時，

從圖上可以明顯地看出,ωm處的對數(shù)幅頻值為

2.串聯(lián)超前校正設(shè)計

1)校正的基本原理

利用超前網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正，其基本原理是利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性，補償原系統(tǒng)中頻段過大的負相角，增大相角裕度；同時，利用超前網(wǎng)絡(luò)幅值上的高頻放大作用，使校正后的幅值穿越頻率增大，從而全面改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。由于超前裝置傳遞系數(shù)小于1，因而校正后閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能可通過選擇系統(tǒng)的開環(huán)增益來保證。

2)設(shè)計的一般步驟

利用頻率法設(shè)計串聯(lián)校正系統(tǒng)時，要求給定系統(tǒng)達到的性能指標是開環(huán)頻域指標ess、ωc′和γ′。利用分析法設(shè)計無源超前網(wǎng)絡(luò)的一般步驟如下：

(1)確定開環(huán)增益K。

根據(jù)要求的穩(wěn)態(tài)誤差ess，確定開環(huán)增益K。

(2)計算校正前系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc和相角裕度γ。

利用已確定的開環(huán)增益K，畫出校正前系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖，并算出校正前系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc和相角裕度γ。

(3)確定ωm并計算校正裝置的參數(shù)a。

如果給定校正后的幅值穿越頻率ωc′，為充分利用網(wǎng)絡(luò)最大超前相角，則可選定ωm=ωc′；然后在校正前的L(ω)曲線上算出ω=ωc′處的對數(shù)幅值L(ωc′)。為實現(xiàn)所要求的ωc′，使超前網(wǎng)絡(luò)的Lc(φm)=10lga與校正前系統(tǒng)的對數(shù)幅值L(ωc′)之和為零，即

L(ωc′)+10lga=0

從而求出超前網(wǎng)絡(luò)的a。如果未給定校正后的幅值穿越頻率ωc′，則可從給定校正后系統(tǒng)的相角裕度γ′出發(fā)，為充分利用網(wǎng)絡(luò)的最大超前相角，選定校正后的ωc′在ωm處，從而選定校正裝置的最大超前相角φm為

φm=γ′-(γ-Δ)

式中的Δ是考慮到由于校正裝置在ωm幅值10lga引起實際校正后ωc′>ωc，從而帶來的γ相角減小的補償角，一般Δ取5°~10°。

確定出校正裝置的φm后，通過公式可以求出a。最后在校正前系統(tǒng)的L(ω)曲線上計算出L(ω)=-10lga處所對應(yīng)的頻率ω，就是校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc′，且ωm=ωc′。

(4)確定校正裝置的傳遞函數(shù)。

根據(jù)已確定的ωm和a，由公式

，算出T，并寫出校正裝置的傳遞函數(shù)為

(5)檢驗校正后的系統(tǒng)是否滿足要求的性能指標。

由于在步驟(3)中選定的ωc′(或φm)具有試探性，因而必須檢驗。如果校正后的系統(tǒng)滿足要求，則設(shè)計工作結(jié)束。如果校正后的系統(tǒng)不滿足要求，則須再一次選定ωc′(或φm)，重新計算，直到滿足給定的指標要求為止。一般情況下，可增大ωc′(或φm)。

(6)根據(jù)超前網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，選定RC超前網(wǎng)絡(luò)的元件值。

根據(jù)實際情況，首先選定R1，然后算出其它兩個元件值

R2和C。注意，確定RC的元件值時，應(yīng)符合RC元件的標準化

要求。

【例題6-1】某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

對該系統(tǒng)的要求是：

(1)系統(tǒng)的相角裕度γ′≥45°；

(2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=1000。求校正裝置的傳遞函數(shù)。

解

(1)由穩(wěn)態(tài)指標的要求得

K=Kv=1000

(2)未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

畫出校正前系統(tǒng)的伯德圖如圖6-7所示，并計算原系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc和相角裕度γ。圖6-7校正前對數(shù)幅頻特性首先算出ω=10的對數(shù)幅值：

20lgK-20lg10=60-20=40dB

通過斜率為-40dB/dec的線段，可以求出幅值穿越頻率ωc=100,則相角裕度為

γ=180°+(-90°-arctan0.1×100-arctan0.001×100)

=0°

原系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

(3)根據(jù)γ′≥45°、γ=0°，取Δ=5°，有

φm=γ′-γ+Δ=50°

則

又

Lc(φm)=10lga=8.75dB在校正前系統(tǒng)的曲線上，算出L(ω)=-8.75dB所對應(yīng)的頻率，就是校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc′。

因為L(ω)=-8.75dB在-40dB/dec線段上，所以利用一個已知點ωc=100，得到

L(ω)=0-40(lgωc′-lg100)=-8.75dB

解得

ωc′=164.5rad/s

(4)由，得

于是可寫出

(5)檢驗校正后的相角裕度γ′。

校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為

因為ωc′=164.5rad/s，所以

γ′=180°+(arctan0.0167×164.5-90°-arctan0.00222×164.5

-arctan0.1×164.5-arctan0.001×164.5)

=45°

滿足要求的指標。

(6)計算RC超前網(wǎng)絡(luò)的元件值。

選取R1=65kΩ，由：

解得

R2=10kΩ,

C=0.26μF

MATLAB程序如下：

>>G1=tf(1000,conv(［0.1,1,0］,［0.001,1］));

>>G2=tf(1000*［0.0167,1］,conv(［0.00222,1,0］,［0.0001,0.101,1］));

>>G3=tf(［0.0167,1］,［0.00222,1］);

>>bode(G1)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G2,′′)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G3,′.′)

>>grid

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G1)

Gm=

1.0100

Pm=

0.0584

Wcg=

100.0000

Wcp=

99.4863

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G2)

Gm=

7.2810

Pm=

44.0783

Wcg=

614.9057

Wcp=

164.4357

通過MATLAB程序輸出的結(jié)論可以看出，系統(tǒng)的頻率指標與計算值相符合。

輸出曲線如圖6-8所示，實線為校正前系統(tǒng)特性，虛線為校正后系統(tǒng)特性，點畫線為校正網(wǎng)絡(luò)的特性。圖6-8校正前、后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線應(yīng)當指出，在有些情況下采用串聯(lián)超前校正是無效的。下列情況不宜采用串聯(lián)超前校正：

(1)如果未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，則為了得到規(guī)定的相角裕度，需要超前網(wǎng)絡(luò)提供很大的相角超前量φm。這樣，超前網(wǎng)絡(luò)的a必須選得很大，20lga就很大，即對系統(tǒng)中的高頻信號放大作用很強，從而大大降低了系統(tǒng)的抗干擾能力，使得通過系統(tǒng)的高頻噪聲很高，很可能使系統(tǒng)失控。

(2)在截止頻率附近相角減小速率太大的未校正系統(tǒng)，一般不宜采用串聯(lián)超前校正。因為隨著截止頻率的增大，未校正系統(tǒng)的相角迅速減小，造成校正后相角裕度改善不大，很難達到要求的相角裕度。在一般情況下，產(chǎn)生這種相角迅速減小的原因是：在未校正系統(tǒng)截止頻率附近有兩個交接頻率彼此靠近的慣性環(huán)節(jié)，或有兩個交接頻率彼此相等的慣性環(huán)節(jié)，或有一個振蕩環(huán)節(jié)。

在上述情況下，系統(tǒng)可采用其他方法進行校正。例如，采用兩級串聯(lián)超前網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)超前校正，或采用串聯(lián)滯后校正。6.2.2無源串聯(lián)滯后校正

所謂串聯(lián)滯后校正，即采用串聯(lián)校正，其中校正裝置具有相角滯后的特點。

1.典型無源滯后校正網(wǎng)絡(luò)

典型無源滯后校正網(wǎng)絡(luò)如圖6-9所示。圖6-9無源滯后校正網(wǎng)絡(luò)設(shè)輸入信號源的內(nèi)阻為零，而輸出端的負載阻抗為無窮大，則該滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

式中:

顯然，該滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞系數(shù)(即附加的開環(huán)增益)為1，不需要補償。根據(jù)上式畫出的無源滯后網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性如圖6-10所示。圖6-10無源滯后校正網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性從幅值上看，對高頻信號具有衰減作用；從相角上看，具有負相角特性，即滯后的，且在ωm處出現(xiàn)最大滯后相角φm。與超前網(wǎng)絡(luò)的計算方法相同，可得到

即在兩個轉(zhuǎn)折頻率的幾何中點上，對應(yīng)的最大相角為

當ω→∞時，Lc(∞)=20lgb，且Lc(φm)=10lgb。

2.串聯(lián)滯后校正設(shè)計

1)校正的基本原理

利用滯后網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正，其基本原理是利用了滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻段的特性，幅值上對高頻幅值的衰減作用，使校正后的幅值穿越頻率ωc減小，從而利用幅值穿越頻率ωc減小來增大相角裕度γ；同時在相角曲線上，使最大滯后相角在原系統(tǒng)低頻段疊加且遠離系統(tǒng)中頻段，保證滯后的相角不影響相角裕度，使校正后的相角曲線的中頻段與校正前的相角曲線的中頻段基本相同；由于滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為1，因此校正后的穩(wěn)態(tài)誤差仍要通過選擇系統(tǒng)的開環(huán)增益來實現(xiàn)。

2)設(shè)計的一般步驟

給定系統(tǒng)校正后的開環(huán)頻域指標為ess、ωc′和γ′。采用分析法設(shè)計無源滯后網(wǎng)絡(luò)的一般步驟如下：

(1)確定開環(huán)增益K。

根據(jù)要求的穩(wěn)態(tài)誤差ess，確定開環(huán)增益K。

(2)計算校正前系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc和相角裕度γ。

利用已確定的開環(huán)增益K，畫出校正前系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖，并算出校正前系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc和相角裕度γ。

(3)根據(jù)要求的相角裕度γ′，確定校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc′。

在利用校正網(wǎng)絡(luò)的高頻段的幅值衰減特性疊加的同時，考慮到滯后網(wǎng)絡(luò)的負相角多少會對原系統(tǒng)的中頻段產(chǎn)生一定的影響，因此在給定的γ′的基礎(chǔ)上，增加一個補償角Δ，一般取Δ=5°~10°，這樣利用相角裕度γ′+Δ，在原系統(tǒng)的相角曲線上，確定γ′+Δ對應(yīng)的頻率作為ωc′，即

γ(ωc′)=γ′+Δ

(4)計算滯后網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)b、T。

首先算出原系統(tǒng)在ωc′處的對數(shù)幅值L(ωc′)，通過

20lgb+L(ωc′)=0

即可計算出參數(shù)b。

為保證滯后網(wǎng)絡(luò)的負相角對原系統(tǒng)的中頻段的影響盡可能小(即使φm遠離中頻段)，為此，一般取滯后網(wǎng)絡(luò)最高的轉(zhuǎn)折頻率為，由此可以計算出參數(shù)T。因此校正裝置的傳遞函數(shù)為

(b<1)

(5)校驗校正后系統(tǒng)是否滿足要求的性能指標。

驗算已校正系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。如果不滿足要求，則說明前面選取的補償角偏小，重新回到前面進行設(shè)計，直到滿足要求為止。

(6)確定校正網(wǎng)絡(luò)的元件值，方法與超前網(wǎng)絡(luò)相同。

【例題6-2】設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求:(1)系統(tǒng)的相角裕度γ′≥45°；

(2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=100。

采用串聯(lián)滯后校正，求校正裝置的傳遞函數(shù)。

解

(1)由穩(wěn)態(tài)指標的要求得

得

K=2500

(2)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

畫出校正前系統(tǒng)的伯德圖為圖6-11，并計算原系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc=50和相角裕度γ=27°。圖6-11校正前系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性

(3)確定ωc′。取Δ=6°，則

γ′+Δ=45°+6°=51°

在原系統(tǒng)的φ(ω)曲線上算出與相角裕度51°對應(yīng)的頻率，作為ωc′：

γ′=180°-90°-arctan(0.04×ωc′)=51°

解得

ωc′=20

(4)計算網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b、T。

首先算出原系統(tǒng)在ωc′=20處的對數(shù)幅值:

L(ωc′)=20lg100-20lg20=13.98dB

再令

L(ωc′)+20lgb=0

得

b=0.2再令

得

T=2.5

因此

(5)檢驗校正后的相角裕度γ′。

校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為

因為ωc′=20rad/s，所以

γ′=90°+arctan0.5×20-arctan2.5

×20-arctan0.04×20

=47°>45°

滿足要求的指標。MATLAB程序如下：

>>G1=tf(100,conv(［1,0］,［0.04,1］));

>>G2=tf(100*［0.5,1］,conv(［0.04,1］,［2.5,1,0］));

>>G3=tf(［0.5,1］,［2.5,1］);

>>bode(G1)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G2,′′)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G3,′.′)

>>grid

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G1)

Gm=Inf

Pm=28.0243

Wcg=Inf

Wcp=46.9701

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G2)

Gm=Inf

Pm=50.7573

Wcg=Inf

Wcp=16.7338通過MATLAB程序輸出的以上結(jié)論可以看出，系統(tǒng)的頻率指標與計算值基本相符合。

輸出曲線如圖6-12所示,實線為校正前系統(tǒng)特性，虛線為校正后系統(tǒng)特性，點畫線為校正網(wǎng)絡(luò)的特性。

通過對滯后校正的分析，應(yīng)當指出以下幾點說明：

(1)串聯(lián)滯后校正的兩種作用：一種是穩(wěn)態(tài)性能不變，改善動態(tài)性能，即利用ωc′減小，使γ′增大，從而響應(yīng)速度變慢，超調(diào)量減小?？梢?這是靠犧牲響應(yīng)速度來減小超調(diào)量的,因此適用對響應(yīng)速度要求不高，而對超調(diào)量有要求的場合。圖6-12校正前、后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線另一種作用是，動態(tài)性能基本不變，而改善穩(wěn)態(tài)性能。即在一定條件下，增大滯后網(wǎng)絡(luò)的附加增益，使校正后系統(tǒng)的幅頻特性向上平移，這樣，經(jīng)滯后校正的系統(tǒng)對低頻信號具有比校正前更高的放大能力，這樣便可降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。然而，由于校正裝置高頻段增益也提高，使得校正后系統(tǒng)和校正前的相角裕度和截止頻率基本相同，動態(tài)性能基本不變。

(2)串聯(lián)滯后校正的優(yōu)點是對高頻干擾信號具有衰減作用，可以提高系統(tǒng)抗干擾的能力。

(3)下列情況不能采用滯后校正：

·若要求校正后的ωc′大于原系統(tǒng)的ωc，則不能采用串聯(lián)滯后校正；

·若原系統(tǒng)的φ(ω)曲線在-180°線下方，也就是說在原φ(ω)曲線上找不到與要求的γ′所對應(yīng)的頻率，則不能采用串聯(lián)滯后校正；

·在某些應(yīng)用場合，采用滯后校正可能會使算出的時間常數(shù)達到不能實現(xiàn)的結(jié)果，這種不良后果的出現(xiàn)，是由于需要在足夠小的頻率值上安置滯后網(wǎng)絡(luò)第一個交接頻率，以保證在需要的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生有效的高頻幅值衰減特性所致。

這種情況可采用串聯(lián)滯后—超前校正。對串聯(lián)滯后—超前校正，本書未作詳述，讀者可自行查閱資料。

6.3有源校正

有源校正裝置是由運算放大器及阻容網(wǎng)絡(luò)組成的。它具有調(diào)整方便、體積小、重量輕等優(yōu)點，在工業(yè)控制中得到了廣泛的應(yīng)用。在工程領(lǐng)域，通常把這類校正裝置簡稱為調(diào)節(jié)器。本節(jié)討論在控制工程中常用的3種調(diào)節(jié)器的基本控制規(guī)律及其串聯(lián)校正分析。6.3.1基本控制規(guī)律

包含校正裝置在內(nèi)的控制器，其控制規(guī)律常有比例、微分、積分等基本控制規(guī)律，或者采用比例—微分、比例—積分、比例—積分—微分等組合控制規(guī)律，以實現(xiàn)對被控對象的合理的控制。

1)比例(P)控制規(guī)律

具有比例控制規(guī)律的控制器稱為P控制器。Ｐ控制器的傳遞函數(shù)如圖6-13所示，其中，KP稱為P控制器增益。

P控制器實質(zhì)上是一個具有可調(diào)增益的放大器。在信號變換過程中，P控制器只改變信號的增益而不影響其相位。在串聯(lián)校正中，加大控制器增益KP，可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性變差，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在系統(tǒng)校正設(shè)計中，很少單獨使用比例控制規(guī)律。圖6-13Ｐ控制器傳遞函數(shù)

2)比例—微分(PD)控制規(guī)律

具有比例—微分控制規(guī)律的控制器稱為PD控制器。其輸出m(t)與輸入e(t)的關(guān)系為

其中：KP為比例系數(shù);τ為微分時間常數(shù)；KP與τ都是可調(diào)的參數(shù)。PD控制器的傳遞函數(shù)如圖6-14所示。圖6-14

PD控制器傳遞函數(shù)

PD控制器中的微分控制規(guī)律能反應(yīng)輸入信號的變化趨勢，產(chǎn)生有效的早期修正信號，以增加系統(tǒng)的阻尼程度，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在串聯(lián)校正時，可給系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，使系統(tǒng)的相角裕度提高，從而有助于系統(tǒng)動態(tài)性能的改善。

微分控制作用只對動態(tài)過程起作用，而對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響，且對系統(tǒng)噪聲非常敏感，所以單一的D控制器在任何情況下都不宜與被控對象串聯(lián)起來單獨使用。通常，微分控制規(guī)律總是與比例控制規(guī)律或比例—積分控制規(guī)律結(jié)合起來，構(gòu)成組合的PD或PID控制器，應(yīng)用于實際的控制系統(tǒng)。

3)積分(I)控制規(guī)律

具有積分控制規(guī)律的控制器稱為I控制器，I控制器的輸出m(t)與輸入信號e(t)的積分成比例，即

其中，KI為可調(diào)比例系數(shù)，由于控制器的積分作用，當輸入信號消失后，輸出信號可能是一個不為零的常數(shù)。積分控制器的傳遞函數(shù)如圖6-15所示。圖6-15

I控制器傳遞函數(shù)在串聯(lián)校正時，采用積分控制器可以提高系統(tǒng)的型別，有助于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的提高。但積分控制給系統(tǒng)增加了一個位于原點的開環(huán)極點，使信號產(chǎn)生90°的相位滯后，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。因此，在控制系統(tǒng)的校正設(shè)計中，通常不宜采用單一的積分控制器。

4)比例—積分控制規(guī)律

具有比例—積分控制規(guī)律的控制器稱為PI控制器。其輸出信號m(t)同時成比例的反映輸入信號e(t)及其積分，即

其中:KP為可調(diào)比例系數(shù);TI為可調(diào)積分時間常數(shù)。PI控制器的傳遞函數(shù)如圖6-16所示。圖6-16

PI控制器傳遞函數(shù)在串聯(lián)校正時，PI控制器相當于在系統(tǒng)中增加了一個位于原點的開環(huán)極點，同時也增加了一個位于s左半平面的開環(huán)零點。位于原點的極點可以增加系統(tǒng)的型別，以消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。而增加的開環(huán)零點則用來提高系統(tǒng)的阻尼程度，緩和開環(huán)零、極點對系統(tǒng)穩(wěn)定性的不利影響。只要積分時間常數(shù)ＴI足夠大，PI控制器對系統(tǒng)穩(wěn)定性的不利影響可大為削弱。在實踐中，PI控制器主要用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

5)比例—積分—微分控制規(guī)律

具有比例—積分—微分控制規(guī)律的控制器稱為PID控制器。其輸出信號m(t)同時成比例的反映輸入信號e(t)及其積分和微分，即

PID控制器的傳遞函數(shù)如圖6-17所示。圖6-17

PID控制器傳遞函數(shù)當利用PID控制器進行串聯(lián)校正時，除可使系統(tǒng)的型別提高一級外，還將提供兩個負實零點。與PI調(diào)節(jié)器相比，除了同樣具有提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能外，還多提供了一個負實零點，從而在提高系統(tǒng)動態(tài)性能方面具有更大的優(yōu)越性。因此，在工業(yè)過程控制系統(tǒng)中，廣泛使用PID控制器。6.3.2三種常用的調(diào)節(jié)器

1.比例—積分(PI)調(diào)節(jié)器

PI調(diào)節(jié)器的電路圖如圖6-18所示。

由于運算放大器工作時，UB≈0(虛地)，設(shè)輸入支路和反饋支路的復(fù)數(shù)阻抗分別為Z1和Z2，則有

圖6-18

PI調(diào)節(jié)器式中:τ=R2C；T=R1C；；TI=τ=R2C。PI調(diào)節(jié)器相當于一個積分環(huán)節(jié)和一個一階微分環(huán)節(jié)相串聯(lián)，不考慮式中的負號，則相應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-19所示。圖6-19

PI調(diào)節(jié)器對數(shù)頻率特性曲線

2.比例—微分(PD)調(diào)節(jié)器

PD調(diào)節(jié)器的電路圖如圖6-20所示。

設(shè)輸入支路和反饋支路的復(fù)數(shù)阻抗分別為Z1和Z2，則有圖6-20

PD調(diào)節(jié)器式中:τ=R1C；。PD調(diào)節(jié)器相當于一個比例放大環(huán)節(jié)和一個一階微分環(huán)節(jié)相串聯(lián)，不考慮式中的負號，則相應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-21所示。圖6-21

PD調(diào)節(jié)器對數(shù)頻率特性曲線

3.比例—積分—微分(PID)調(diào)節(jié)器

PID調(diào)節(jié)器的電路圖如圖6-22所示。

用同樣的方法可以寫出其傳遞函數(shù)為圖6-22

PID調(diào)節(jié)器式中:τ1=R1C1；τ2=R2C2；T=R1C2；；TI=τ1+τ2；?？梢钥闯?，這種調(diào)節(jié)器相當于比例加積分加微分。PID調(diào)節(jié)器相當于一個積分環(huán)節(jié)和兩個一階微分環(huán)節(jié)相串聯(lián)，不考慮式中的負號，則相應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線如圖6-23所示。圖6-23

PID調(diào)節(jié)器對數(shù)頻率特性曲線6.3.3串聯(lián)校正分析

在控制工程中，調(diào)節(jié)器通常用作串聯(lián)校正。下面分析3種常用的調(diào)節(jié)器的串聯(lián)校正，進而說明這3種常用調(diào)節(jié)器的校正作用。

1.PI調(diào)節(jié)器

【例題6-3】系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-24所示，采用PI調(diào)節(jié)器串聯(lián)校正，其調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)為

試分析校正前、后系統(tǒng)的性能。圖6-24系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

用MATLAB程序可得出原系統(tǒng)的幅值裕度與相角裕度。輸入：

>>G=tf(8.15,［0.0005,0.06,1］);

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G)在窗口顯示如下結(jié)果：

Gm=

Inf

Pm=

53.1180

Wcg=

Inf

Wcp=

108.4768

可以看出，這個系統(tǒng)有無窮大的幅值裕量，系統(tǒng)的相角裕度γ=53.18°，幅值穿越頻率ωc=108rad/s。引入一個校正裝置：

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為輸入：

>>G2=tf(8.15*［0.3065,6.13］,conv(［0.0005,0.06,1］,［1,0］));

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G2)

在窗口顯示如下結(jié)果：

Gm=

Inf

Pm=

65.5452

Wcg=

Inf

Wcp=

45.4775由此可見，校正后系統(tǒng)的相角裕度為γ=65.5°，幅值穿越頻率為ωc=45rad/s。

通過MATLAB程序得出校正前、后系統(tǒng)的伯德圖如圖

6-25所示(校正后的為虛線)。輸入語句：

>>G1=tf(8.15,［0.0005,0.06,1］);

>>G2=tf(8.15*［0.3065,6.13］,conv(［0.0005,0.06,1］,［1,0］));

>>G3=tf(6.13*［0.05,1］,［1,0］);

%校正環(huán)節(jié)

>>bode(G1)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G2,′′)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G3,′.′)

>>grid

輸出顯示如圖6-25所示。圖6-25校正前、后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線輸入以下語句可得到階躍響應(yīng)：

>>figure

>>G1_c=feedback(G1,1)

在窗口顯示如下結(jié)果：

Transferfunction:

8.15

--------------------------------

0.0005s^2+0.06s+9.15

輸入：

>>G2_c=feedback(G2,1)在窗口顯示如下結(jié)果：

Transferfunction:

2.498s+49.96

------------------------------------

0.0005s^3+0.06s^2+3.498s+49.96

輸入：

>>step(G1_c)

>>hold

Currentplotheld

>>step(G2_c,′′)

>>grid

階躍響應(yīng)曲線如圖6-26所示。圖6-26校正前、后階躍響應(yīng)曲線由以上的伯德圖和階躍響應(yīng)曲線可以看出：單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出由有誤差變?yōu)闊o誤差，校正后的系統(tǒng)由原來的0型系統(tǒng)提高為1型系統(tǒng)，且Kv=K′=50，顯著提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。同時校正后系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，且開環(huán)頻域指標ωc′=

45rad/s，γ′=65.5°，具有較好的動態(tài)性能。由本例可以看出PI調(diào)節(jié)器串聯(lián)校正的作用是：由于增加了一個原點處的開環(huán)極點，因而可將系統(tǒng)提高一個無差系統(tǒng)，從而顯著提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能；與此同時，增加的開環(huán)零點彌補了開環(huán)極點對系統(tǒng)穩(wěn)定性的不利影響，可保證校正后的系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，且具有較好的動態(tài)性能。由PI調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)可以看出，其作用相當于串聯(lián)了一個積分環(huán)節(jié)和一個比例微分環(huán)節(jié)，因此可以同時改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能，主要用于改善穩(wěn)態(tài)性能。

2.PD調(diào)節(jié)器

【例題6-4】已知單位反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-27所示,采用PD調(diào)節(jié)器串聯(lián)校正，其傳遞函數(shù)為Gc(s)=8(1+0.25s)，試分析校正前、后系統(tǒng)的性能。圖6-27系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解校正前原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為采用MATLAB輸入以下指令：

>>G1=tf(0.5,［0.5,1,0］);

>>G2=tf(4*［0.25,1］,conv(［0.5,1］,［1,0］));

>>G3=tf(8*［0.25,1］,［1］);

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G1)

Gm=

Inf

Pm=

76.3464

Wcg=

Inf

Wcp=

0.4858

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G2)

Gm=

Inf

Pm=

70.5288

Wcg=

NaN

Wcp=

2.8284

>>bode(G1)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G2,′′)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G3,′.′)

>>grid

通過MATLAB程序輸出，由上述結(jié)論可以看出系統(tǒng)的頻率指標與計算值相符合。

輸出曲線如圖6-28所示,實線為校正前系統(tǒng)特性，虛線為校正后系統(tǒng)特性，點畫線為校正網(wǎng)絡(luò)的特性。圖6-28校正前、后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線輸入如下指令可得單位階躍響應(yīng)曲線：

>>G1_c=feedback(G1,1);

>>G2_c=feedback(G2,1);

>>step(G1_c)

>>hold

Currentplotheld

>>step(G2_c,′′)

>>grid

階躍響應(yīng)曲線如圖6-29所示。圖6-29校正前、后階躍響應(yīng)曲線由以上分析可以看出：校正前系統(tǒng)為一個1型系統(tǒng)，且處于ξ=1的臨界阻尼狀態(tài)，響應(yīng)速度較慢。校正前系統(tǒng)的相角裕度為γ=76.34°，幅值穿越頻率為ωc=0.48rad/s,校正后系統(tǒng)的ωc′=2.82rad/s，γ′=70.52°。因此，校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，其無差型號沒有變化(均為1型系統(tǒng)),但穩(wěn)態(tài)誤差顯著減小。校正后系統(tǒng)是穩(wěn)定的，響應(yīng)速度明顯加快，可以算出校正后系統(tǒng)的，因此超調(diào)量也不大。由此可以看出PD調(diào)節(jié)器的作用是：PD調(diào)節(jié)器的作用相當于串聯(lián)一個放大環(huán)節(jié)和一個微分環(huán)節(jié)。其中放大環(huán)節(jié)可以加大系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)，減小穩(wěn)態(tài)誤差；微分環(huán)節(jié)可以提高系統(tǒng)的幅值穿越頻率，加快響應(yīng)速度，全面改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。同時系統(tǒng)增加了一個開環(huán)零點，使增大的相角彌補了幅值穿越頻率增大而引起的相角裕度的減小量，保證相角裕度基本不變。

3.PID調(diào)節(jié)器

【例題6-5】單位反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-30所示，采用PID調(diào)節(jié)器串聯(lián)校正，其傳遞函數(shù)為

試分析校正前、后系統(tǒng)的性能。

解校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

這是一個典型二階系統(tǒng)，超調(diào)量較大。校正前的對數(shù)頻率曲線如圖6-31所示。圖6-30系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖6-31校正前系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線可以算出，校正前系統(tǒng)的ωc=2.9，γ=33°。

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由G′(s)可畫出校正后的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-32所示。

可得ωc′=12，γ′=80.2°，因此，校正后系統(tǒng)是穩(wěn)定的，由原來的1型系統(tǒng)校正成2型系統(tǒng)，并且動態(tài)品質(zhì)也得到全面的改善。圖6-32校正后開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線

6.4復(fù)合校正

6.4.1按擾動補償?shù)那梆伩刂?/p>

當干擾直接可測時，加補償器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-33所示，圖中Gn(s)為補償器的傳遞函數(shù)?，F(xiàn)在要確定Gn(s)，使干擾N(t)對輸出沒有影響，達到E(t)=0，提高系統(tǒng)抗干擾的能力。圖6-33加補償器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖令R(s)=0，由上圖可以寫出輸出C(t)對擾動N(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

若能使上述傳遞函數(shù)為零，則干擾對輸出的影響就可以消除。令分子為零，得

G2(s)+Gn(s)G1(s)G2(s)=0得到對干擾全補償?shù)臈l件為

這種方式增加的補償器是設(shè)計在回路之外的，對閉環(huán)回路沒有影響，因此可以在不破壞穩(wěn)定性的前提下提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。6.4.2按輸入補償?shù)捻橉伩刂?/p>

順饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-34所示。

由圖可知，補償器的傳遞函數(shù)Gr(s)也是設(shè)計在系統(tǒng)回路

之外，因此，可以先對系統(tǒng)回路進行設(shè)計，保證其有較好的

動態(tài)性能，然后設(shè)置補償器Gr(s)，以提高系統(tǒng)對輸入信號的

穩(wěn)態(tài)精度。圖6-34順饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖現(xiàn)在確定Gr(s)，使系統(tǒng)滿足在輸入作用下，誤差得到完全補償。由圖可導出誤差傳遞函數(shù)：

若能使上面的傳遞函數(shù)為零，則可消除誤差，實現(xiàn)完全補償。令分子為零，得

1-Gr(s)G(s)=0

得出補償條件為

從圖可以看出，輸入信號通過補償器再加給系統(tǒng)的回路，增強了原控制信號的作用，使系統(tǒng)跟隨能力提高，既滿足了動態(tài)性能要求，又提高了穩(wěn)態(tài)精度。

6.5解題示范

【例題6-6】單位反饋1型系統(tǒng)原有部分的開環(huán)傳遞函數(shù)為

對該系統(tǒng)的要求是：

(1)系統(tǒng)的相角裕度γ′≥35°；

(2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥8。求串聯(lián)校正裝置的傳遞函

數(shù)。

解

(1)由穩(wěn)態(tài)指標的要求得

K=Kv≥8

(2)未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

畫出校正前系統(tǒng)的伯德圖如圖6-35所示，并計算原系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc和相角裕度γ。圖6-35校正前幅頻特性首先算出ω=1的對數(shù)幅值為

20lgK=20lg8

通過斜率為-40dB/dec的線段，求出幅值穿越頻率為

則相角裕度為

γ=180°-90°-arctan2.83-arctan(0.1×2.83)

=3.66°<35°

(3)根據(jù)γ′≥35°、γ=3.66°，取Δ=18.66°，則

有

又

在校正前系統(tǒng)的曲線上，算出L(ω)=-8.79dB所對應(yīng)的頻率，就是校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc′。

因為L(ω)=-8.79dB在-40dB/dec線段上，故利用其一個已知點ωc=2.83，得到

L(ω)=0-40(lgωc′-lg2.83)=-8.79dB

解得

ωc′=4.69rad/s

(4)由，得

于是可寫出

(5)檢驗校正后的相角裕度γ′。

校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為因為ωc′=4.69rad/s，所以

γ′=180°-90°+arctan0.588×4.69-arctan4.69

-arctan0.1×4.69-arctan0.077×4.69

=37.12°>35°

滿足要求的指標。

MATLAB程序如下：

>>G1=tf(8,conv(［1,1,0］,［0.1,1］));

>>G2=tf(8*［0.588,1］,conv(［1,1,0］,［0.0077,0.177,1］));

>>G3=tf(［0.588,1］,［0.077,1］);

>>bode(G1)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G2,′′)

>>hold

Currentplotheld

>>bode(G3,′.′)

>>grid

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G1)

Gm=

1.3750

Pm=

5.3243

Wcg=

3.1623

Wcp=

2.6910

>>［Gm,Pm,Wcg,Wcp］=margin(G2)

Gm=

4.2636

Pm=

39.9426

Wcg=

10.6771

Wcp=

4.2976

通過MATLAB程序輸出，由上述結(jié)論可以看出系統(tǒng)的頻率指標與計算值相符合。

輸出曲線如圖6-36所示，實線為校正前系統(tǒng)特性，虛線為校正后系統(tǒng)特性，點畫線為校正網(wǎng)絡(luò)的特性。圖6-36校正前、后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線

【例題6-7】設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求:(1)系統(tǒng)的相角裕度γ′≥30°；

(2)開環(huán)增益K=10，采用串聯(lián)滯后校正。求校正裝置的傳遞函數(shù)。

解

(1)已知K=10，原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

畫出校正前系統(tǒng)的伯德圖如圖6-37所示，并計算原系統(tǒng)的幅值穿越頻率ωc=3.16和相角裕度γ=-4°<30°?？梢娢葱Ｕ到y(tǒng)不穩(wěn)定，采用滯后校正。圖6-37校正前幅頻特性

(2)確定ωc′。取Δ=15°，則

γ′+Δ=30°+15°=45°

在原系統(tǒng)的φ(ω)曲線上算出與相角裕度45°對應(yīng)的頻率，作為ωc′：

γ′=180°-90°-arctan0.125×ωc′-arctanωc′

=45°

解得

ωc′=0.815

(3)計算網(wǎng)絡(luò)參數(shù)b、T。

首先算出原系統(tǒng)在ωc′=0.815處的對數(shù)幅值:

L(ωc′)=20lg10-20lgωc′=21.78dB

再令

L(ωc′)+20lgb=0

得

b=0.08再令

得

因此

(4)檢驗校正后的