2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.1-分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【課件】

第六章計數(shù)原理1|分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案

中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=①

m+n

種不同的方法.推廣:完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案

中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有

N=②

m1+m2+…+mn

種不同的方法.2|分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方

法,那么完成這件事共有N=③

m×n

種不同的方法.推廣:完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方

法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=④

m1×m2×…×mn

種

不同的方法.第六章計數(shù)原理3|分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的比較與選擇1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的比較

分類加法計數(shù)原理

分步乘法計數(shù)原理不同點

分類完成,類類相加

分步完成,步步相乘

每類方案中的每一種方法都能獨立完

成這件事

每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法都不能獨立完成這件事)相同點兩個計數(shù)原理都可以用來計算完成某件事的方法種數(shù),最終的目的都是完成

某件事情注意點類類獨立,不重不漏步步相依,步驟完整第六章計數(shù)原理2.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇

在解決有關(guān)計數(shù)問題時,應(yīng)注意合理分類,準確分步,同時還要注意列舉法、模型

法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.第六章計數(shù)原理1.在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.

(

?)2.在分類加法計數(shù)原理中,每類不同方案中的方法都能完成這件事.

(√)3.在分步乘法計數(shù)原理中,任何一個單獨的步驟都能完成這件事.

(

?)4.把10個蘋果分成三份,要求每份至少有1個,至多有5個,則有4種不同分法.

(√)若其中一份有1個,則另兩份分別有4個、5個,有1種分法;若其中一份有2個,則另兩

份分別有3個、5個,或4個、4個,有2種分法;若其中一份有3個,則另兩份分別有3

個、4個,有1種分法.所以共有1+2+1=4種分法.5.在一次運動會上有四項比賽,冠軍僅在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠

情況共有43種.

(

?)因為每個項目的冠軍都有3種可能的情況,所以由分步乘法計數(shù)原理知,共有34種

不同的奪冠情況.判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.第六章計數(shù)原理6.三個袋子內(nèi)共裝有18個不同的小球,一個裝有5個白色小球,一個裝有6個黑色小

球,一個裝有7個紅色小球,若每次從中取兩個不同顏色的小球,則共有36種不同的

取法.

(

?)分為三類:一類是取白球、黑球,有5×6=30種取法;一類是取白球、紅球,有5×7=35

種取法;一類是取黑球、紅球,有6×7=42種取法,所以由分類加法計數(shù)原理知,共有3

0+35+42=107種不同的取法.

第六章計數(shù)原理1|兩個計數(shù)原理的選擇與應(yīng)用如圖所示,從甲地到乙地有3條公路可走,從乙地到丙地有2條公路可走,從甲地不經(jīng)

過乙地到丙地有2條水路可走.

第六章計數(shù)原理1.從甲地經(jīng)乙地到丙地的走法有多少種?提示:根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得從甲地經(jīng)乙地到丙地的走法共有3×2=6種.2.從甲地到丙地的走法一共有多少種?提示:根據(jù)分類加法計數(shù)原理,可得從甲地到丙地的走法共有6+2=8種.第六章計數(shù)原理

兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的應(yīng)用用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時,最重要的是在開始計算之前要仔細分析,分清是

分類還是分步.

第六章計數(shù)原理

類中有步,步中有類

從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.

從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.“類”用“+”連接,“步”用“×”連接,“類”獨立,“步”連續(xù),“類”標志一件

事的完成,“步”則缺一不可.第六章計數(shù)原理

應(yīng)用兩個計數(shù)原理的常用方法(1)當涉及元素數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當涉及元素數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接法:直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.②間接法:先去掉限制條件,計算方法總數(shù),然后減去所有不符合條件的方法數(shù)即可.第六章計數(shù)原理

在7名學(xué)生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另外2名

既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從這7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多

少種不同的選法?解析

分四類:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只

會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;第2類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會

下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;第3類,從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會

下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,有2×2=4種選法;第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比

賽,有2×1=2種選法.第六章計數(shù)原理故不同的選法共有6+6+4+2=18種.方法總結(jié)

在解決實際問題的過程中,并不一定是單一的分類或分步,而是可能同

時應(yīng)用兩個計數(shù)原理,即分類時,每類的方法數(shù)可能要分步完成;分步時,每步的方法

數(shù)可能會采取分類的思想解決.另外,具體問題是先分類后分步,還是先分步后分類,

應(yīng)視問題的特點而定.解題時經(jīng)常是兩個計數(shù)原理交叉使用,分類的關(guān)鍵在于要做

到“不重不漏”,分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序,即合理分類,準確分步.第六章計數(shù)原理

若直線方程Ax+By=0中的A,B可以從0,1,2,3,5這5個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字,求該

方程所表示的不同直線的條數(shù).思路點撥以A,B中是否有數(shù)字0為標準進行分類計數(shù),或利用排除法求解.解析

解法一:分兩類.第一類:當A,B中有一個為0時,方程表示直線x=0或y=0,共2條不同的直線.第二類:當A,B都不為0時,確定直線Ax+By=0需要分兩步完成.第一步,確定A的值,有4種不同的方法.第二步,確定B的值,有3種不同的方法.所以該方程所表示的不同直線共有2+4×3=14條.第六章計數(shù)原理解法二(間接法):分兩步.第一步:確定A的值,有5種不同的方法.第二步:確定B的值,有4種不同的方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以確定5×4=20條直線.在這20條直線中,當A=0,B=1,2,3,5時,表示同一直線y=0;當B=0,A=1,2,3,5時,表示同

一直線x=0,即有6條直線是重復(fù)計數(shù)的.故該方程所表示的不同直線有20-6=14條.名師點評

當問題從正面考慮情況比較多,而從反面考慮情況較少且容易計算時,

宜采用排除法,即先求出方法總數(shù),再減去不符合條件或重復(fù)計數(shù)的方法數(shù).排除法

體現(xiàn)了“正難則反”的思想.第六章計數(shù)原理2|涂色問題

涂色問題是計數(shù)原理應(yīng)用的典型問題,一般是指求用幾種不同顏色給已知圖形的

不同區(qū)域(或點)涂色,共有幾種涂法的問題.涂色本身就是策略的一個運用過程.涂

色時需要關(guān)注圖形特征:區(qū)域的個數(shù)、區(qū)域的相鄰情況、圖形形狀等.這些特征都

有可能使分類的標準、分步的過程不同.涂色問題大致有兩種解決方案:(1)選擇正

確的涂色順序,按步驟逐一涂色,應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理進行計算;(2)先根據(jù)涂色時

所用顏色種數(shù)的多少進行分類處理,再在每一類的涂色方案的計算中應(yīng)用分步乘

法計數(shù)原理,最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理對每一類的涂色方法數(shù)求和,即得到最終

的涂色方法數(shù).第六章計數(shù)原理

將紅、黃、綠、黑四種顏色涂在如圖所示的五個區(qū)域中,若要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同,則有多少種不同的涂色方法?

第六章計數(shù)原理解析

解法一:①當B與D同色時,不同的涂色方法有4×3×2×1×2=48種;②當B與D不同色時,不同的涂色方法有4×3×2×1×1=24種.故共有48+24=72種不同的涂色方法.解法二:按涂色時所用顏色種數(shù)分類:第一類,用4種顏色,此時B,D或A,E同色,則共有2×4×3×2×1=48種不同的涂色方法;第二類,用3種顏色,此時B,D同色,A,E同色,先從4