2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2.3組合-6.2.4數(shù)組數(shù)【課件】

6.2.3組合

6.2.4組合數(shù)

第六章計(jì)數(shù)原理1|組合與組合數(shù)?1.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為①

一組

,叫做從n個(gè)不同元素

中取出m個(gè)元素的一個(gè)②

組合

.2.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的③

個(gè)數(shù)

,叫做從n個(gè)

不同元素中取出m個(gè)元素的④

組合數(shù)

,用符號(hào)⑤

表示.第六章計(jì)數(shù)原理2|組合數(shù)公式與性質(zhì)1.組合數(shù)公式:

=⑥

=⑦

=⑧

(n,m∈N*,m≤n).2.規(guī)定:

=⑨

1

.3.組合數(shù)性質(zhì):

=⑩

;

=

+

.第六章計(jì)數(shù)原理3|應(yīng)用組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟?1.判斷:判斷實(shí)際問(wèn)題是不是組合問(wèn)題.2.方法:選擇用直接法還是間接法解題.3.計(jì)算:利用組合數(shù)公式并結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)算.4.結(jié)論:根據(jù)計(jì)算結(jié)果寫出方案?jìng)€(gè)數(shù).

第六章計(jì)數(shù)原理

1.從a1,a2,a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合是

.

(

?)從三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素的組合數(shù)為

.2.從1,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得

個(gè)積.

(√)3.

=5×4×3=60.

(

?)

=

=10.4.

=

=2020.

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.5.從a,b,c,d中選取2個(gè)合成一組,其中a,b與b,a是同一個(gè)組合.

(√)6.組合和排列一樣,都與“順序”有關(guān).

(

?)排列要考慮元素之間的順序,組合則與順序無(wú)關(guān).

第六章計(jì)數(shù)原理1|組合數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)

組合數(shù)公式的主要適用范圍形式主要適用范圍乘積式

=

含具體數(shù)字的組合數(shù)的求值階乘式

=

含字母的組合數(shù)的有關(guān)變形及證明第六章計(jì)數(shù)原理

組合數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(1)性質(zhì)“

=

”的意義及作用:

(2)性質(zhì)“

=

+

”的順用,逆用,變形應(yīng)用:順用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè);逆用是“合二為一”;變形是

=

-

的使用,為某些項(xiàng)相互抵消提供了方便,在解題時(shí)要注意靈活運(yùn)用.第六章計(jì)數(shù)原理

(1)式子

(n∈N*)可表示為()A.

B.

C.101

D.101

(2)求值:

+

;(3)證明:

=

.第六章計(jì)數(shù)原理解析

(1)分式的分母是100!,分子是101個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積,最大的為n+100,最小

的為n,故

=101·

=101

.(2)由組合數(shù)的概念知

所以4≤n≤5.又因?yàn)閚∈N*,所以n=4或n=5.當(dāng)n=4時(shí),

+

=

+

=5;當(dāng)n=5時(shí),

+

=

+

=16.(3)證明:

=

·

=

=

.答案(1)D第六章計(jì)數(shù)原理

(1)計(jì)算

+

+

+…+

的值為

()A.

B.

C.

-1

D.

-1(2)解方程3

=5

;(3)解不等式

>

.解析

(1)

+

+

+…+

=

+

+

+…+

-

=

+

+…+

-1=…=

+

-1=

-1.(2)由排列數(shù)和組合數(shù)公式,知原方程可化為3·

=5·

,則

=

,第六章計(jì)數(shù)原理即(x-3)(x-6)=40,解得x=11或x=-2.易知x≥7,則x=11.(3)由

>

得

,?

?

又n∈N*,所以該不等式的解集為{6,7,8,9}.答案(1)C方法總結(jié)

與排列、組合有關(guān)的方程或不等式問(wèn)題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式以

及組合數(shù)的性質(zhì),涉及具體數(shù)字的可以直接用公式計(jì)算;涉及字母的多選用階乘式

計(jì)算;計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)

=

簡(jiǎn)化運(yùn)算.另外要注意

中m、n的范圍,因此求解后要驗(yàn)證所得結(jié)果是否符合題意.第六章計(jì)數(shù)原理2|分組與分配問(wèn)題

分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的,前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同,就是不可區(qū)

分的,而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同,但因元素不同,仍然是可區(qū)分的.1.分組問(wèn)題的求解策略常見形式處理方法非均勻不編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成m(m≤n)組,每組元素?cái)?shù)目均

不相同,且不考慮各組間的順序,不管是否分盡,

分法種數(shù)N=

·

·

·…·

第六章計(jì)數(shù)原理均勻不編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組,假定其中r組

元素個(gè)數(shù)相等,不管是否分盡,其分法種數(shù)為

(其中N為非均勻不編號(hào)分組中的分法種數(shù)).如果

再有k組均勻分組,則應(yīng)再除以

非均勻編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成m組,各組元素?cái)?shù)目均不相等,

且考慮各組間的順序,其分法種數(shù)為N·

均勻編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成m組,其中r組元素個(gè)數(shù)相同

且考慮各組間的順序,其分法種數(shù)為

·

第六章計(jì)數(shù)原理2.相同元素分配問(wèn)題的處理策略(1)隔板法:如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,便可看作排成一行的小球的

空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”.每一種插入隔板的方法對(duì)

應(yīng)著小球放入盒子的一種方法,此方法稱為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分

配問(wèn)題.(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m),有

種方法.可理解為(n-1)個(gè)空中插入(m-1)塊板.第六章計(jì)數(shù)原理

按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)分成三份,每份2本;(4)分配給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本.第六章計(jì)數(shù)原理解析

(1)先從6本書中選擇1本,有

種方法,再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本,有

種方法,還剩3本書全選,有

種方法,所以總共有

=60種方法.(2)在(1)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分配即可,所以有

=360種方法.(3)從6本書中選擇2本書,有

種方法,再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本書,有

種方法,還剩2本書全選,有

種方法,所以共有

=90種方法.但是,這些方法中有重復(fù).假如6本書分別為A、B、C、D、E、F,若三個(gè)步驟分別選

出的是AB,CD,EF,則根據(jù)順序的不同,所有情況為(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,

EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但這只能算一種方法.第六章計(jì)數(shù)原理所以不同的方法共有

=15種.(4)在(3)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分配,則分配方法共有

×

=90種.(5)從6本書中選擇4本書的方法有

種,從剩余2本書中選擇1本書的方法有

種,因?yàn)樵谧詈髢杀緯倪x擇中發(fā)生了重復(fù),所以分配方法共有

=15種.(6)在(5)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分配即可,即有

×

=90種方法.方法總結(jié)

不同元素的分配問(wèn)題往往是先分組再分配.在分組時(shí),通常有三種類型:

①不均勻分組;②均勻分組;③部分均勻分組.注意各種分組類型中不同分組方式的

解法.第六章計(jì)數(shù)原理

把10個(gè)相同的小球全部放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)

不小于盒子的編號(hào)數(shù),則不同的方法共有

種.解析

首先在編號(hào)為2,3的兩個(gè)盒子中分別放入1,2個(gè)小球,這樣還剩10-3=7個(gè)小球,則問(wèn)題變?yōu)榍蟀?個(gè)相同的小球全部放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中,每個(gè)盒子至少

放一個(gè)球的不同方法的種數(shù),由隔板法可知共有

=15種方法.答案

15第六章計(jì)數(shù)原理3|排列、組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日,在宋代人們用寫“桃符”的方式祈福避禍,而現(xiàn)

代人們通過(guò)貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿.某商家

在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng),凡購(gòu)物金額滿50元的顧客,均可以從“?！弊?、春聯(lián)

和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件.第六章計(jì)數(shù)原理1.若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品,一共有多少種領(lǐng)取方式?提示:有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品,一共有34=81種領(lǐng)取方式.2.若這4名顧客都領(lǐng)取了一件禮品,他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率

應(yīng)如何計(jì)算?提示:他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同有

=36種領(lǐng)取方式,則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率P=

=

.

第六章計(jì)數(shù)原理

正確區(qū)分“有序”與“無(wú)序”區(qū)分排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”和“無(wú)序”,無(wú)序的問(wèn)題用組合的知識(shí)解

答,有序的問(wèn)題用排列的知識(shí)解答.

辯證看待“元素”與“位置”排列、組合問(wèn)題中的元素與位置沒(méi)有嚴(yán)格的界定標(biāo)準(zhǔn),哪些事件看成元素或位置,

隨解題者的思維方式的變化而變化,要視具體情況而定.有時(shí)“元素選位置”解決

問(wèn)題更簡(jiǎn)捷,有時(shí)“位置選元素”效果會(huì)更好.第六章計(jì)數(shù)原理

如圖,一個(gè)正方形花圃被分成5份.(1)若給這5個(gè)部分種植花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、

綠4種顏色的花,問(wèn)有多少種不同的種植方法?(2)若在這5個(gè)部分放入7個(gè)不同的盆栽,要求每個(gè)部分都有盆栽,問(wèn)有多少種不同的

放法?第六章計(jì)數(shù)原理解析

(1)先對(duì)A部分種植,有4種不同的種植方法;再對(duì)B部分種植,有3種不同的種

植方法;對(duì)C部分種植,進(jìn)行分類:①若C與B的顏色相同,則D有2種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有4×3

×1×2×2=48種不同的種植方法;②若C與B的顏色不同,則C有2種不同的種植方法,D有1種不同的種植方法,E有2種

不同的種植方法,共有4×3×2×1×2=48種不同的種植方法.綜上,共有48+48=